Simulare Bac matematică tehnologic nr. 1

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{5}{6}+2\cdot \left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x-14$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a+2)=a+23$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $16^{x+2}=8^{x+5}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,17\}$. Un număr $n$ se alege la întâmplare din mulțimea $A$. Determinați probabilitatea ca $n$ să verifice inegalitatea $4n-7>25$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,-3)$, $M(1,2)$ și $B(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=21$ și măsura unghiului $B$ egală cu $60^{\circ }$. Arătați că $AC=21\sqrt{3}$.

Partea a II-a – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& 3\\ x+1& 4\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(6))=11$.

b) (5 puncte) Arătați că $3A(1)+A(5)=4A(2)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-x)\cdot A(x)=A(y)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=3xy+12(x+y)+44$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ (-3)=11$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=3(x+4)(y+4)-4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ x\circ x=239$.

Partea a III-a – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-7x+9\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4x^2-7x+9}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, dusă în punctul de abscisă $x=1$ al graficului.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge -5$, pentru orice $x\in [1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+8x+7$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-7)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-6x^2)e^{x}dx=7e+1$.

c) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, de axa $Ox$ și de dreptele de ecuații $x=0$ și $x=2$.

Barem și răspunsuri

La Subiectul al III-lea, un rezultat corect, scris fără calculul care duce la el, nu ia toate punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

Paranteza: $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$, iar $2\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{6}$ (3 p).

Suma: $\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$ (2 p).

(Capcană: numitorii se scad odată cu numărătorii, $\frac{3-2}{4-3}=1$, și iese $\frac{5}{6}+2\cdot 1=\frac{17}{6}$, nu $1$.)

Exercițiul 2.

Se înlocuiește $x$ cu $a+2$: $f(a+2)=8(a+2)-14=8a+2$, deci ecuația este $8a+2=a+23$ (3 p).

Rezultă $7a=21$, adică $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Probă: $f(5)=40-14=26=3+23$. Capcană: factorul $8$ înmulțește doar pe $a$, iar $f(a+2)$ devine $8a+2-14=8a-12$; ecuația $8a-12=a+23$ dă $a=5$, dar $f(7)=42\ne 28=5+23$.)

Exercițiul 3.

Ambele baze sunt puteri ale lui $2$: $16^{x+2}=2^{4(x+2)}$ și $8^{x+5}=2^{3(x+5)}$ (3 p).

Exponenții sunt egali: $4(x+2)=3(x+5)$, de unde, desfăcând parantezele, $\mathbf{x}=7$ (2 p).

(Probă: $16^9=2^{36}$ și $8^{12}=2^{36}$. Capcană: exponentul $3$ se adună în loc să se înmulțească, $8^{x+5}=2^{x+8}$; atunci $4(x+2)=x+8$ dă $x=0$, dar $16^2=2^8$, iar $8^5=2^{15}$.)

Exercițiul 4.

Mulțimea $A$ are $17$ elemente, deci sunt $17$ cazuri posibile. Inegalitatea $4n-7>25$ dă $4n>32$, adică $n>8$ (2 p).

Numerele $n\in A$ cu $n>8$ sunt $9,10,\dots ,17$, adică $17-8=9$ cazuri favorabile, iar $P=\frac{9}{17}$ (3 p).

(Probă: pentru $n=9$, $4\cdot 9-7=29>25$. Capcană: se include $n=8$, dar $4\cdot 8-7=25$ nu este mai mare decât $25$; ar ieși $\frac{10}{17}$.)

Exercițiul 5.

Mijlocul segmentului $AB$ are abscisa $\frac{4+a}{2}$ și ordonata $\frac{-3+b}{2}$. Din $\frac{4+a}{2}=1$ rezultă $4+a=2$, deci $\mathbf{a}=-2$ (3 p).

Din $\frac{-3+b}{2}=2$ rezultă $-3+b=4$, deci $\mathbf{b}=7$ (2 p).

(Probă: mijlocul segmentului cu capetele $A(4,-3)$ și $B(-2,7)$ este $\left(\frac{4-2}{2},\frac{-3+7}{2}\right)=(1,2)$. Capcană: se uită împărțirea la $2$, $4+a=1$, și iese $a=-3$; dar abscisa mijlocului ar fi $\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}\ne 1$.)

Exercițiul 6.

Latura $AB$ este alăturată unghiului $B$, iar $BC$ este ipotenuza, deci $\cos B=\frac{AB}{BC}$, adică $\frac{1}{2}=\frac{21}{BC}$, de unde $BC=42$ (3 p).

Latura $AC$ este opusă unghiului $B$: $\sin B=\frac{AC}{BC}$, deci $AC=42\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=21\sqrt{3}$ (2 p).

(Probă: $A{B}^2+A{C}^2=21^2+3\cdot 21^2=4\cdot 21^2=42^2=B{C}^2$. Capcană: se folosește sinusul pentru latura alăturată, $\sin 60^{\circ }=\frac{21}{BC}$; atunci $BC$ nu mai este dublul lui $AB$, iar $AC=BC\cdot \sin 60^{\circ }$ iese $21$, adică $AC=AB$, deși unghiurile $B$ și $C$ nu sunt egale.)

Exercițiul 7.

a) (5 p) Pentru $x=6$ avem $A(6)=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 7& 4\end{array}\right)$, deci $\det (A(6))=8\cdot 4-3\cdot 7$ (3 p). Rezultă $32-21=11$ (2 p).

(Capcană: diagonala secundară se scade din cea principală în ordine inversă, $3\cdot 7-8\cdot 4=-11$.)

b) (5 p) Avem $A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$ și $A(5)=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 6& 4\end{array}\right)$, deci $3A(1)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}9& 9\\ 6& 12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 6& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 12\\ 12& 16\end{array}\right)$ (3 p).

Cum $A(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 4\end{array}\right)$, avem $4A(2)=\left(\begin{array}{cc}16& 12\\ 12& 16\end{array}\right)$, adică egalitatea cerută (2 p).

(Capcană: $3A(1)$ se confundă cu $A(3)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 4& 4\end{array}\right)$; atunci suma ar fi $A(3)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}12& 6\\ 10& 8\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Avem $A(-x)=\left(\begin{array}{cc}2-x& 3\\ 1-x& 4\end{array}\right)$. Elementul din dreapta sus al produsului $A(-x)\cdot A(x)$ este $(2-x)\cdot 3+3\cdot 4=18-3x$, iar în $A(y)$ acest loc are valoarea $3$. Din $18-3x=3$ rezultă $\mathbf{x}=5$ (3 p).

Elementul din stânga sus al produsului este $(2-x)(x+2)+3(x+1)=-x^2+3x+7$, care pentru $x=5$ este $-3$; el trebuie să fie egal cu $y+2$, deci $\mathbf{y}=-5$ (2 p).

(Probă: $A(-5)\cdot A(5)=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ -4& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 6& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ -4& 4\end{array}\right)=A(-5)$. Capcană: produsul se face element cu element, iar în dreapta sus ar ieși $3\cdot 3=9$, nu $3$; matricele se înmulțesc linie cu coloană.)

Exercițiul 8.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=-3$: $1\circ (-3)=3\cdot 1\cdot (-3)+12(1+(-3))+44$ (3 p). Rezultă $-9-24+44=11$ (2 p).

(Capcană: se uită semnul lui $-3$ și iese $3\cdot 1\cdot 3+12\cdot 4+44=101$.)

b) (5 p) Se dezvoltă membrul drept: $3(x+4)(y+4)-4=3(xy+4x+4y+16)-4$ (2 p). Înmulțind cu $3$ și reducând, $3xy+12x+12y+48-4=3xy+12(x+y)+44=x\circ y$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ (3 p).

(Capcană: factorul $3$ se înmulțește doar cu primul termen al parantezei, $3xy+4x+4y+16-4$; atunci nu se obține $x\circ y$.)

c) (5 p) Din punctul b), $x\circ x=3(x+4{)}^2-4$. Atunci $(x\circ x)\circ x=3(3(x+4{)}^2-4+4)(x+4)-4=9(x+4{)}^3-4$ (2 p).

Din $9(x+4{)}^3-4=239$ rezultă $9(x+4{)}^3=243$, deci cubul lui $x+4$ este $27$, adică $x+4=3$ și $\mathbf{x}=-1$ (3 p).

(Probă: $(-1)\circ (-1)=3-24+44=23$, iar $23\circ (-1)=-69+264+44=239$. Capcană: se scrie $x\circ x\circ x=3(x+4{)}^3-4$, cu un singur factor $3$; cubul lui $x+4$ ar ieși $81$, care nu este cub perfect.)

Exercițiul 9.

a) (5 p) Derivata sumei este suma derivatelor: $f^{\prime }(x)=4x-7+9\cdot \frac{1}{x}=4x-7+\frac{9}{x}$ (3 p). Cu numitorul comun $x$, $f^{\prime }(x)=\frac{4x^2-7x+9}{x}$ (2 p).

(Capcană: factorul $9$ se pierde la derivare și derivata iese $4x-7+\frac{1}{x}$, care în $x=1$ dă $4-7+1=-2$, nu $6$.)

b) (5 p) Punctul de tangență are ordonata $f(1)=2-7+9\ln 1=-5$, iar panta este $f^{\prime }(1)=\frac{4-7+9}{1}=6$ (2 p). Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y+5=6(x-1)$, deci $\mathbf{y}=6x-11$ (3 p).

(Probă: punctul $(1,-5)$ verifică ecuația, $6-11=-5$. Capcană: se ia $\ln 1$ egal cu $1$; atunci $f(1)$ ar ieși $2-7+9=4$, iar tangenta ar fi $y=6x-2$.)

c) (5 p) Trinomul de la numărător are discriminantul $49-144=-95<0$ și coeficientul lui $x^2$ pozitiv, deci ia numai valori pozitive; cum $x>0$, $f^{\prime }(x)>0$ pe $(0,+\infty )$ (2 p). Funcția $f$ este crescătoare pe $(0,+\infty )$, așa că pentru orice $x\ge 1$ avem $f(x)\ge f(1)$, iar $f(1)=-5$ (3 p).

(Capcană: marginea nu se obține fără derivată; din $2x^2-7x\ge -\frac{49}{8}$ și $9\ln x\ge 0$, pentru $x\ge 1$, rezultă doar $f(x)\ge -\frac{49}{8}$, iar $-\frac{49}{8}<-5$. Nici verificarea în câteva puncte, de pildă $f(2)=9\ln 2-6$, nu demonstrează inegalitatea pe tot intervalul.)

Exercițiul 10.

a) (5 p) Avem $f(x)-7=6x^2+8x$ (2 p), iar ${\int }_0^1\left(6x^2+8x\right)dx=\left(2x^3+4x^2\right){|}_0^1=2+4=6$ (3 p).

(Capcană: primitiva lui $6x^2$ se scrie $6x^3$, fără împărțirea la $3$; ar ieși $6+4=10$.)

b) (5 p) Avem $f(x)-6x^2=8x+7$, deci integrala este ${\int }_0^1(8x+7)e^{x}dx$ (2 p). Prin părți, cu $u=8x+7$ și $v^{\prime }=e^x$, ${\int }_0^1(8x+7)e^{x}dx=[(8x+7)e^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}8e^{x}dx=15e-7-8(e-1)=7e+1$ (3 p).

(Probă: derivata lui $(8x-1)e^x$ este $8e^x+(8x-1)e^x=(8x+7)e^x$, iar $[(8x-1)e^x{]}_0^1=7e+1$. Capcană: se uită termenul $(8\cdot 0+7)e^0=7$ al parantezei; ar ieși $15e-8(e-1)=7e+8$.)

c) (5 p) Pe $[0,2]$, $6x^2\ge 0$, $8x\ge 0$ și $7>0$, deci $f(x)>0$ și aria este $\mathcal{A}={\int }_0^{2}f(x)dx$ (3 p). Rezultă $\left(2x^3+4x^2+7x\right){|}_0^2=16+16+14=46$ (2 p).

(Capcană: primitiva lui $8x$ se scrie $8x^2$, fără împărțirea la $2$; ar ieși $16+32+14=62$.)

Pentru părinți și profesori

Simularea aceasta are forma probei scrise de matematică de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027, 2028 și 2029, pe care o susțin absolvenții filierei tehnologice intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026: zece cerințe, trei subiecte, aceleași verbe și aceeași structură ca în probele oficiale din 2013–2026, dar cu funcții, matrice și numere noi. Ea nu verifică un singur capitol, ci materia de examen din toți cei patru ani, de la clasa a IX-a la clasa a XII-a, pe o foaie întreagă lucrată în timp măsurat. Testele de unitate și evaluarea sumativă a clasei a XII-a rămân locul unde se exersează fiecare capitol separat; simularea le pune laolaltă și arată ce nu ține încă.

Punctaj. Cele zece cerințe valorează 90 de puncte, iar 10 puncte din oficiu aduc totalul la 100. În Subiectul I, o cerință scurtă are 5 puncte; fiecare dintre cele patru probleme din celelalte două subiecte are 15 puncte, împărțite în trei subpuncte egale.

Timp. 3 ore de lucru efectiv, fără pauză. Un plan de lucru propus (nu o regulă oficială): 40 de minute pentru Subiectul I, câte 60 de minute pentru fiecare dintre Subiectele al II-lea și al III-lea și 20 de minute pentru recitire.

Cum se aplică. Elevul lucrează singur, pe foaie, cu enunțurile deschise și cu baremul închis. O cerință care nu iese se lasă pentru la urmă: cele șase cerințe de la Subiectul I nu depind una de alta, iar la fiecare problemă se poate începe cu subpunctul a). După lucru, elevul își corectează foaia cu baremul, pas cu pas, și trece punctajul fiecărei cerințe. Ghidajul, adică întrebările care îl duc pe elev prin fiecare cerință pas cu pas, se deschide numai la cerințele rămase nerezolvate.

Cum îți citești punctajul. Adună punctele din barem și cele 10 puncte din oficiu:

• 90–100 de puncte. Ai stăpânit foaia. Treci la simularea următoare din serie, care schimbă combinația de la Subiectul al II-lea.
• 75–89 de puncte. Mai ai de reparat una sau două cerințe. Caută mai jos lecția fiecărei cerințe nerezolvate, reia-o și lucrează cerința din nou, cu ghidajul.
• 60–74 de puncte. Reia pe rând lecțiile cerințelor nerezolvate, începând cu Subiectul I, apoi testul de unitate al fiecărei teme. Repetă simularea abia după ce toate temele au fost reluate.
• Sub 60 de puncte. Începe cu cerințele scurte din Subiectul I și cu primele două subpuncte ale fiecărei probleme, pentru care ajung înlocuirea și calculul direct. Lucrează-le cu ghidajul, apoi treci la ultimul subpunct al fiecărei probleme.

Formule de reținut, pe subiecte, din fișele de buzunar ale lecțiilor:

• Subiectul I. Fracțiile cu numitori diferiți se aduc la un numitor comun, atât când le compari, cât și când le aduni sau le scazi. Funcția de gradul I este $f(x)=ax+b$. Din $a^u=a^v$ rezultă $u=v$, pentru $a>0$ și $a\ne 1$. Probabilitatea este $P(A)=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$, iar de la $a$ la $b$ sunt $b-a+1$ numere întregi. Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. În triunghiul dreptunghic, $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}$ și $\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}$.
• Subiectul al II-lea. Determinantul de ordin 2 este $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$. Pentru matrice ale căror elemente sunt de forma $ax+b$, $pA(x_1)+qA(x_2)=(p+q)A(x_m)$, unde $x_m=\frac{p{x}_1+q{x}_2}{p+q}$ și $p+q\ne 0$. La produsul de matrice, $(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}$: linia $i$ din $A$ se înmulțește cu coloana $j$ din $B$. La legile de compoziție, $(x+a)(y+a)=xy+ax+ay+a^2$.
• Subiectul al III-lea. Derivata sumei este suma derivatelor, iar $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, pentru $x>0$. Tangenta în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Dacă $f^{\prime }>0$ pe un interval, $f$ crește pe el; dacă $f^{\prime }<0$, descrește. Formula Leibniz–Newton este ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, integrarea prin părți este ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$, iar aria sub un grafic aflat deasupra axei $Ox$ este $\mathcal{A}={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Harta materiei pe subiecte.

Harta pe cerințe. Ultima coloană spune în câte dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026 apare tema primei lecții din rândul respectiv.

Programa și examenul. Simularea urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii. Subiectul I ia materia claselor a IX-a și a X-a; la Subiectele al II-lea și al III-lea, problema 1 este din clasa a XI-a, iar problema 2 din clasa a XII-a; hărțile de mai sus așază fiecare cerință. Forma foii (șase cerințe de câte 5 puncte la Subiectul I, patru probleme cu câte trei subpuncte de câte 5 puncte la Subiectele al II-lea și al III-lea, 10 puncte din oficiu și 3 ore) este cea a probelor oficiale 2013–2026. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; simularea de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.