Simulare Bac matematică tehnologic nr. 3

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{6}{\sqrt{10}-2}-\sqrt{10}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-21$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-6x+23$. Determinați ordonata punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x^2+12x)={\log }_2(5x+44)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre a căror sumă a cifrelor este egală cu $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,1)$ și $B(5,-3)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $180$ și $AC=9$. Arătați că lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu $41$.

Partea a II-a – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 1\\ 1& 6& 2\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$ și $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $A+m{I}_3=B$.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația matriceală $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\\ 1\end{array}\right)$, unde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=x+y-3xy$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast (-2)=5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (2x)=-3$.

c) (5 puncte) Știind că $e=0$ este elementul neutru al legii „$\ast$”, determinați simetricul lui $2$ față de această lege.

Partea a III-a – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=9\ln x-4x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{9-4x}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+7x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx=\frac{17}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^7\frac{7}{f(x)}dx=\ln 4$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a\in (1,+\infty )$, pentru care ${\int }_1^a{f}^{\prime }(x)\ln xdx=f(a)\ln a-18$.

Barem și răspunsuri

Un răspuns final scris singur, fără pașii care îl produc, nu ajunge la toate punctele subpunctului, în special la Subiectul al III-lea.

Exercițiul 1.

Amplificăm fracția cu $\sqrt{10}+2$: $\frac{6}{\sqrt{10}-2}=\frac{6(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}{)}^2-2^2}=\frac{6(\sqrt{10}+2)}{6}=\sqrt{10}+2$ (3 p).

Atunci expresia este $\sqrt{10}+2-\sqrt{10}=2$ (2 p).

(Probă: $\sqrt{10}\approx 3,162$, fracția este $\frac{6}{1,162}\approx 5,163$, iar $5,163-3,162\approx 2,00$. Capcană: la numitor se scade $2$ în loc de $2^2$; atunci numitorul ar fi $10-2=8$, nu $6$, iar fracția nu mai simplifică.)

Exercițiul 2.

Abscisa punctului de intersecție verifică $f(x)=g(x)$, adică $5x-21=-6x+23$, deci $11x=44$ și $x=4$ (3 p).

Ordonata este $f(4)=5\cdot 4-21=-1$ (2 p).

(Probă: $g(4)=-6\cdot 4+23=-1$, la fel ca $f(4)$. Capcană: se răspunde cu abscisa, $x=4$, deși enunțul cere ordonata, sau se calculează $g(4)$ cu semnul greșit: $6\cdot 4+23=47$.)

Exercițiul 3.

Logaritmii în aceeași bază sunt egali, deci argumentele sunt egale: $x^2+12x=5x+44$, adică $x^2+7x-44=0$ (2 p).

Soluțiile sunt $x=4$ și $x=-11$. Pentru $x=-11$ argumentul $5x+44$ este $-11$, negativ, deci soluția nu convine; pentru $x=4$ ambele argumente sunt $64>0$. Soluția ecuației este $\mathbf{x}=4$ (3 p).

(Probă: ${\log }_2(16+48)={\log }_{2}64={\log }_2(20+44)$. Capcană: se păstrează și $x=-11$ fără să se verifice argumentele; pentru $x=-11$ avem $x^2+12x=121-132=-11$, număr negativ, deci logaritmul nu există.)

Exercițiul 4.

Prima cifră $a$ nu poate fi $0$, iar suma cifrelor este $5$, deci $a$ poate fi $1,2,3,4$ sau $5$; numerele se numără pe cinci cazuri, după prima cifră (2 p).

Pentru o primă cifră $a$, celelalte două cifre au suma $5-a$, adică sunt $6-a$ perechi $(b,c)$. Cazurile dau $5$, $4$, $3$, $2$ și $1$ perechi, deci în total $5+4+3+2+1=15$ numere (3 p).

(Probă: pentru $a=1$ numerele sunt $104,113,122,131,140$, adică $5$ numere, ca în primul caz. Capcană: se numără și cazul $a=0$, cu $6$ perechi; atunci totalul ar fi $6+15=21$, dar un număr care începe cu $0$ nu are trei cifre.)

Exercițiul 5.

Panta dreptei $AB$ este $m=\frac{-3-1}{5-(-3)}=-\frac{1}{2}$, iar ecuația prin $A$ este $y-1=-\frac{1}{2}(x+3)$ (3 p).

După înmulțirea cu $2$ și mutarea termenilor în același membru, ecuația este $\mathbf{x}+2y+1=0$ (2 p).

(Probă: coordonatele lui $B$ verifică ecuația: $5+2\cdot (-3)+1=0$. Capcană: în panta se scade în ordine diferită la numărător și la numitor, $\frac{-3-1}{-3-5}=\frac{1}{2}$; atunci $B$ nu mai verifică ecuația $y-1=\frac{1}{2}(x+3)$, căci $-3-1=-4$, iar $\frac{1}{2}(5+3)=4$.)

Exercițiul 6.

Aria triunghiului dreptunghic este $\frac{AB\cdot AC}{2}=180$, deci $\frac{AB\cdot 9}{2}=180$ și $AB=40$ (3 p).

Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=1600+81=1681$, deci $BC=41$ (2 p).

(Probă: $\frac{40\cdot 9}{2}=180$ și $9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$. Capcană: se uită factorul $2$ din formula ariei și se ia $AB=\frac{180}{9}=20$; atunci $B{C}^2=400+81=481$, iar $481$ nu este pătrat perfect.)

Exercițiul 7.

a) (5 p) Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: $2\cdot 3\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1+1\cdot 1\cdot 0=2$; cele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: $1\cdot 3\cdot 1+2\cdot 2\cdot 0+1\cdot 1\cdot 0=3$ (3 p). Rezultă $\det A=2-3=-1$ (2 p).

(Capcană: diferența se face în ordine inversă, $3-2=1$, și se obține semnul greșit.)

b) (5 p) Matricea $A+m{I}_3$ are pe diagonală elementele $2+m$, $3+m$ și $m$, iar în rest elementele lui $A$, care coincid cu cele ale lui $B$ (3 p). Din $2+m=5$, $3+m=6$ și $m=3$ rezultă $\mathbf{m}=3$ (2 p).

(Capcană: $m$ se adaugă la toate elementele lui $A$, nu doar la cele de pe diagonală; atunci elementul din colțul stâng sus ar rămâne $2+m=5$, dar elementul $a_{12}$ ar deveni $1+3=4$, în loc de $1$.)

c) (5 p) Avem $\Delta =\det A=-1\ne 0$, deci ecuația are o soluție unică, dată de formulele lui Cramer (2 p). Determinanții obținuți prin înlocuirea coloanelor cu coloana termenilor liberi sunt ${\Delta }_x=-1$, ${\Delta }_y=-2$ și ${\Delta }_z=-3$, deci $x=\frac{-1}{-1}=1$, $y=\frac{-2}{-1}=2$, $z=\frac{-3}{-1}=3$ și $X=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ (3 p).

(Probă: $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}2+2+3\\ 1+6+6\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\\ 1\end{array}\right)$. Capcană: fiecare ${\Delta }_{\bullet }$ se împarte la $1$ în loc de $-1$; atunci soluția ar fi $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$, dar $A\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ -13\\ -1\end{array}\right)$.)

Exercițiul 8.

a) (5 p) Avem $1\ast (-2)=1+(-2)-3\cdot 1\cdot (-2)$ (3 p). Rezultă $-1+6=5$ (2 p).

(Capcană: produsul $3xy$ se adună în loc să se scadă; atunci $1+(-2)+3\cdot 1\cdot (-2)=-7$.)

b) (5 p) Avem $x\ast (2x)=x+2x-3\cdot x\cdot 2x=3x-6x^2$ (2 p). Ecuația $3x-6x^2=-3$ se scrie $2x^2-x-1=0$, adică $(2x+1)(x-1)=0$, deci $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=-\frac{1}{2}$ (3 p).

(Probă: pentru $x=1$, $3-6=-3$; pentru $x=-\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{2}-\frac{6}{4}=-3$. Capcană: se scrie $x\ast (2x)=3x+6x^2$, cu semnul plus; atunci ecuația ar fi $2x^2+x+1=0$, cu discriminantul $1-8=-7<0$, adică fără soluții reale.)

c) (5 p) Simetricul $x^{\prime }$ al lui $2$ verifică $2\ast x^{\prime }=e=0$, adică $2+x^{\prime }-3\cdot 2\cdot x^{\prime }=0$ (3 p). Rezultă $2-5x^{\prime }=0$, deci ${\mathbf{x}}^{\prime }=\frac{2}{5}$ (2 p).

(Probă: $2\ast \frac{2}{5}=2+\frac{2}{5}-6\cdot \frac{2}{5}=2+\frac{2}{5}-\frac{12}{5}=0$. Capcană: se pune condiția $2\ast x^{\prime }=2$, adică se confundă simetricul cu elementul dat; atunci $2-5x^{\prime }=2$ ar da $x^{\prime }=0$.)

Exercițiul 9.

a) (5 p) Derivata sumei este suma derivatelor: $(9\ln x{)}^{\prime }=\frac{9}{x}$ și $(4x{)}^{\prime }=4$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{9}{x}-4$ (3 p). Aducând la numitor comun, $f^{\prime }(x)=\frac{9-4x}{x}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Capcană: derivata lui $\ln x$ se scrie $x$ în loc de $\frac{1}{x}$; atunci $f^{\prime }(2)=9\cdot 2-4=14$, în loc de $\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Funcția este definită pe $(0,+\infty )$, deci se studiază limita în capătul $0$, la dreapta: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln x=-\infty$, iar $-4x$ tinde la $0$ (2 p). Rezultă $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$, deci dreapta $\mathbf{x}=0$ este asimptotă verticală (3 p).

(Capcană: se calculează limita la $+\infty$ în loc de limita în $0$; ar ieși $9\ln x-4x\to -\infty$ și la $+\infty$, dar acolo nu se poate vorbi de asimptotă verticală, care cere $x$ finit.)

c) (5 p) Derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)={\left(\frac{9}{x}-4\right)}^{\prime }=-\frac{9}{x^2}$ (2 p). Cum $x^2>0$, avem $f^{\prime \prime }(x)<0$ pe $(0,+\infty )$, deci $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(Capcană: $\frac{9}{x}$ se derivează ca $\frac{9}{x^2}$, fără semnul minus; atunci $f^{\prime \prime }>0$ și s-ar spune greșit că $f$ este convexă, deși, la $x=1$, derivata a doua corectă este $-\frac{9}{1^2}=-9<0$.)

Exercițiul 10.

a) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$, $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+7x}{x}=x+7$, iar o primitivă a funcției $x+7$ este $\frac{x^2}{2}+7x$ (3 p). Integrala este $\left(\frac{4}{2}+14\right)-\left(\frac{1}{2}+7\right)=16-\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$ (2 p).

(Capcană: se împarte prin $x$ numai primul termen și se scrie $\frac{f(x)}{x}=x+7x=8x$; atunci integrala ar fi $4\cdot 2^2-4\cdot 1^2=12$, nu $\frac{17}{2}$.)

b) (5 p) Numitorul este $f(x)=x(x+7)$, pozitiv pe $[1,7]$. Din $7=A(x+7)+Bx$, pentru $x=0$ rezultă $A=1$, iar pentru $x=-7$ rezultă $B=-1$, deci $\frac{7}{x(x+7)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+7}$ (3 p). O primitivă este $\ln x-\ln (x+7)=\ln \frac{x}{x+7}$, iar integrala este $\ln \frac{7}{14}-\ln \frac{1}{8}=\ln \frac{1}{2}+\ln 8=\ln 4$ (2 p).

(Probă: la $x=1$, $\frac{7}{1\cdot 8}=\frac{7}{8}$ și $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Capcană: se scrie primitiva cu semnele inversate, $\ln (x+7)-\ln x$; atunci rezultatul ar ieși $-\ln 4$, negativ, deși $\frac{7}{f(x)}>0$ pe $[1,7]$.)

c) (5 p) Cu $u(x)=\ln x$ și $v^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ avem $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ și $v(x)=f(x)$, deci ${\int }_1^a{f}^{\prime }(x)\ln xdx=f(a)\ln a-f(1)\ln 1-{\int }_1^a\frac{f(x)}{x}dx=f(a)\ln a-{\int }_1^a(x+7)dx$, iar ${\int }_1^a(x+7)dx=\frac{a^2}{2}+7a-\frac{15}{2}$ (3 p). Egalitatea din enunț cere $\frac{a^2}{2}+7a-\frac{15}{2}=18$, adică $a^2+14a-51=0$, cu soluțiile $3$ și $-17$; cum $a>1$, rezultă $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Probă: pentru $a=3$, $\frac{9}{2}+21-\frac{15}{2}=18$. Capcană: se uită valoarea primitivei în $1$ și se scrie $\frac{a^2}{2}+7a=18$; atunci $a^2+14a-36=0$, cu discriminantul $196+144=340$, care nu este pătrat perfect, iar $a$ nu mai iese $3$.)

Pentru părinți și profesori

Simularea aceasta are forma probei scrise de matematică de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027, 2028 și 2029, pe care o susțin absolvenții filierei tehnologice intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026. Cele zece cerințe păstrează verbele și împărțirea punctelor din probele oficiale; datele, funcțiile și matricele sunt însă scrise special pentru această foaie. Primul subiect trece prin radicali, logaritmi, numărare și geometrie analitică. Al doilea cere un sistem rezolvat cu ajutorul matricelor și o lege de compoziție cu element neutru și simetric. Al treilea pornește de la o funcție cu logaritm și se încheie cu trei integrale ale aceleiași funcții de gradul al doilea: o simplificare, fracții simple și integrarea prin părți. Fiecare capitol are lecția și testul lui de unitate; foaia de față le adună pe toate, ca în ziua examenului.

Notare. Totalul este de 100 de puncte: 90 de puncte din cele zece cerințe (6 a câte 5 puncte în primul subiect și 4 probleme a câte 15 puncte în următoarele două, fiecare cu trei subpuncte egale) și 10 puncte din oficiu.

Durată. Sunt 3 ore, fără pauză. Un plan de lucru, propus și fără valoare oficială: 40 de minute pentru primul subiect, câte 60 pentru următoarele două și 20 pentru recitire.

Cum o folosești. Lucrezi pe foaie, cu enunțurile în față și cu baremul închis. În primul subiect cerințele nu depind una de alta; la o problemă, dacă un subpunct nu iese, treci la următorul. La final îți corectezi foaia pas cu pas, după barem, și notezi punctele fiecărei cerințe. Ghidajul, cu întrebările lui scurte, îl deschizi numai acolo unde ai rămas blocat.

Cum îți citești rezultatul. Aduni punctele din barem la cele 10 din oficiu:

• 90–100 de puncte. Stăpânești materia foii; poți trece la simularea nr. 4.
• 75–89 de puncte. Ai una sau două cerințe de reparat. Lecția fiecăreia e în tabelul „Harta pe cerințe”: o recitești și refaci cerința, de data aceasta cu ghidajul.
• 60–74 de puncte. Te întorci la lecțiile cerințelor ratate, începând cu cele din primul subiect, apoi la testele de unitate ale acelor teme. Simularea o repeți după ce ai terminat tot ce era de reluat.
• Sub 60 de puncte. Începi cu cerințele scurte din primul subiect și cu subpunctele a) și b) ale fiecărei probleme, având ghidajul la îndemână; subpunctul c) vine la urmă.

Formule de reținut, pe subiecte, din fișele de buzunar ale lecțiilor:

• Subiectul I. O fracție cu radical la numitor se amplifică cu conjugatul: conjugatul lui $\sqrt{a}-b$ este $\sqrt{a}+b$, iar produsul lor este $a-b^2$. Doi logaritmi în aceeași bază sunt egali doar dacă argumentele lor sunt egale, iar argumentele trebuie să fie pozitive. La numărare, regula produsului: dacă primul loc se alege în $p$ moduri, al doilea în $q$ moduri și al treilea în $r$ moduri, numărul total este $p\cdot q\cdot r$; când alegerile depind de prima cifră, se împarte pe cazuri și se adună (regula sumei). Dreapta prin $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ are panta $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ și ecuația $y-y_A=m(x-x_A)$. Aria triunghiului dreptunghic cu catetele $a$ și $b$ este $\frac{a\cdot b}{2}$, iar ipotenuza $c$ verifică $c^2=a^2+b^2$; din arie și o catetă se află cealaltă catetă.
• Subiectul al II-lea. Determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus: aduni cele trei produse ale diagonalei principale și ale paralelelor ei, apoi scazi cele trei produse ale diagonalei secundare și ale paralelelor ei. Dacă $\det A=\Delta \ne 0$, sistemul $A\cdot X=C$ are soluția unică $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, $z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$, unde ${\Delta }_x$ iese din $\Delta$ prin înlocuirea coloanei lui $x$ cu termenii liberi. Elementul neutru $e$ al unei legi „$\ast$” verifică $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$, iar simetricul lui $x$ este numărul $x^{\prime }$ pentru care $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$.
• Subiectul al III-lea. Se derivează termen cu termen, iar $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$. Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală dacă limita la stânga sau la dreapta în $a$ este $\pm \infty$. Dacă $f^{\prime \prime }(x)>0$ pe un interval, funcția este convexă pe acel interval, iar dacă $f^{\prime \prime }(x)<0$, este concavă. Formula Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$. O fracție cu numitorul $(x-p)(x-q)$, cu $p\ne q$ și numărătorul $P$ de grad cel mult $1$, se descompune în fracții simple: $\frac{P(x)}{(x-p)(x-q)}=\frac{A}{x-p}+\frac{B}{x-q}$, cu $A=\frac{P(p)}{p-q}$ și $B=\frac{P(q)}{q-p}$; $\frac{1}{x-p}$ are primitiva $\ln (x-p)$ pe un interval unde $x-p>0$. Integrarea prin părți: ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; se derivează factorul care se simplifică, de pildă $\ln x$, și se integrează celălalt.

Harta materiei pe subiecte.

• Subiectul I (cerințele 1–6, câte 5 puncte): fracție cu radical, intersecția a două grafice, ecuație logaritmică, numărare, ecuația dreptei, ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Materia claselor a IX-a și a X-a.
• Subiectul al II-lea (cerințele 7 și 8, câte 15 puncte): determinant de ordin 3, egalitate de matrice și ecuație matriceală; lege de compoziție, neutru și simetric. Problema 1 este din clasa a XI-a, problema 2 din clasa a XII-a.
• Subiectul al III-lea (cerințele 9 și 10, câte 15 puncte): derivată, asimptotă verticală și concavitate; integrală după simplificare, fracții simple și integrare prin părți. Problema 1 este din clasa a XI-a, problema 2 din clasa a XII-a.
• Din oficiu: 10 puncte, date tuturor candidaților, ceea ce duce totalul la 100.

Harta pe cerințe. Coloana „Probe” arată în câte dintre cele 83 de probe din 2013–2026 apare tema primei lecții din celula de lângă ea, coloana următoare numără cerințele sau subpunctele din toate probele care cer tema aceea, iar ultima dă lungimea primei lecții, în cuvinte.

Programa și examenul. Simularea urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii. Primul subiect cuprinde materia claselor a IX-a și a X-a. În următoarele două, prima problemă este din clasa a XI-a și a doua din clasa a XII-a, așa cum arată cele două hărți. Probele 2013–2026 se dau tot în trei ore și tot cu zece cerințe, ca în foaia aceasta. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; simularea de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.