Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2024 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2024 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{4}{3}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-8$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x-2}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}$, acesta să aibă suma cifrelor egală cu $2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$ și $B(6,8)$. Arătați că $OA=AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=12$, $AC=8$ și punctul $M$ mijlocul laturii $AB$. Arătați că $CM=10$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x-1& 2\\ 1& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(3)+2I_2=A(5)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x)+x{I}_2)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2x+2y-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ 1=5$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ (x+1)=5$.

c) (5 puncte) Arătați că $x\circ x\le 4x^2$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$ situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\ln \left(\frac{x}{2}\right)\le \frac{x-2}{2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3\frac{1}{f(x)}dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^{3}2xf(x)dx=\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^2\frac{e^x}{f(x)}dx=e(ae-a+1)$.

Barem și răspunsuri

Totalul maxim este 100 p: 90 p vin din cerințe, 10 p din oficiu. Fiecare subiect are 30 p. În Subiectul I, fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 p; în problemele 7–10, subpunctele valorează tot 5 p, scrise pe două rânduri de rezolvare. Punctele din dreapta rândurilor sunt cele ale baremului oficial al sesiunii de rezervă din august 2024 (Varianta 1). Restul — drumul de rezolvare, probele, capcanele — este scris de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Se aduc fracțiile din paranteză la numitorul $4$, deoarece $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$ Apoi se înmulțește cu $\frac{4}{3}$, care este inversa fracției $\frac{3}{4}$: $$\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}+\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$. Capcană: fracțiile se adună numărător cu numărător și numitor cu numitor, $\frac{1+1}{2+4}=\frac{1}{3}$, iar produsul iese $\frac{4}{9}$. Altă greșeală: se împarte în loc să se înmulțească, $\frac{3}{4}:\frac{4}{3}=\frac{9}{16}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — zeroul unei funcții afine.

Se înlocuiește $x$ cu $a$ în formula funcției: $$f(a)=2a-8\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(a)=0$ dă $2a=8$, deci $\mathbf{a}=4$ (3 p).

(Probă: $f(4)=8-8=0$, adică $4$ este abscisa în care graficul taie axa $Ox$. Capcană: $-8$ trece în dreapta cu semnul $-$, $2a=-8$, și iese $a=-4$, unde $f(-4)=-16$; sau factorul $2$ se pune în fața întregii diferențe, $2(a-8)=0$, iar $a=8$ nu verifică: $f(8)=8$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Ecuația este $\sqrt{3x-2}=1$. Se ridică ambii membri la pătrat: $$3x-2=1,\text{deci}3x=3\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{x}=1$. Verificare: $3\cdot 1-2=1\ge 0$ și $\sqrt{1}=1$, deci valoarea convine (2 p).

(Capcană: se scrie că radicalul poate fi $1$ sau $-1$, adică $3x-2=1$ sau $3x-2=-1$; a doua ecuație dă $x=\frac{1}{3}$, dar atunci expresia de sub radical este $3\cdot \frac{1}{3}-2=-1<0$, deci radicalul nu are sens. Altă greșeală: radicalul se aplică doar lui $3$, $\sqrt{3}x-2=1$, și iese $x=\sqrt{3}$, care nu verifică ecuația din enunț.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ conține numerele de la $11$ la $20$: sunt $10$ numere, deci $10$ cazuri posibile (2 p).

Se calculează suma cifrelor fiecărui număr. Suma este $2$ pentru $11$ ($1+1$) și pentru $20$ ($2+0$); celelalte numere din $A$ au sume de la $3$ la $10$. Sunt $2$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$

(Probă: sumele cifrelor numerelor $11,12,\dots ,19$ sunt $2,3,\dots ,10$, iar $20$ dă $2$. Capcană: numărul $20$ se uită, fiindcă are cifra zecilor $2$ și nu pare „de felul" celorlalte, iar probabilitatea iese $\frac{1}{10}$. Altă greșeală: numărul elementelor se calculează $20-11=9$, fără primul element, și iese $\frac{2}{9}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanțe față de origine.

Originea este $O(0,0)$. Distanța de la $O$ la $A(3,4)$ este $$OA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ Pentru $A(3,4)$ și $B(6,8)$, diferențele coordonatelor sunt $6-3=3$ și $8-4=4$: $$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5,\text{ deci }\mathbf{OA}=\mathbf{AB}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $B(6,8)=2\cdot A(3,4)$, deci $A$ este mijlocul segmentului $OB$, iar mijlocul unui segment îl împarte în două părți egale. Capcană: diferențele se calculează cu semnul schimbat, $(6+3{)}^2+(8+4{)}^2=225$, de unde $AB=15$; sau pentru $OA$ se adună coordonatele, $3+4=7$, în loc să se ia rădăcina sumei pătratelor.)

Exercițiul 6. (5 p) — mediană într-un triunghi dreptunghic.

Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, deci $$AM=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{(2 p)}.$$ Triunghiul $CAM$ este dreptunghic în $A$, fiindcă $M$ se află pe latura $AB$. Din teorema lui Pitagora: $$CM=\sqrt{A{C}^2+A{M}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(6,8,10)$ este dublul tripletului pitagoric $(3,4,5)$. Capcană: se confundă $AM$ cu $AB$ și iese $\sqrt{8^2+12^2}=\sqrt{208}$; sau lungimile se adună, $CM=8+6=14$, deși $CM$ este ipotenuză și trebuie să fie mai mică decât suma catetelor, dar mai mare decât fiecare dintre ele.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$ se obține $x-1=1$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\det (A(2))=1\cdot 2-2\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=2-2=0\text{(2 p)}.$$

(Cele două linii ale lui $A(2)$ sunt egale, de aceea determinantul este $0$. Capcană: se înlocuiește $x$ și în elementul $x-1$ cu $2$ în loc de $1$; atunci $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$ și determinantul ar fi $2$.)

b) (5 p) Se scriu $A(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. Adunarea se face element cu element: $2+2=4$ și $3+2=5$ pe diagonală, iar în afara ei $2+0=2$ și $1+0=1$. Matricea sumă are deci primul rând $(4,2)$ și al doilea rând $(1,5)$ (3 p).

Pe de altă parte, în $A(5)$ elementul din stânga sus este $5-1=4$, cel din dreapta jos este $5$, iar $2$ și $1$ rămân neschimbate: primul rând este $(4,2)$, al doilea $(1,5)$, la fel ca la suma de mai sus. Egalitatea este adevărată (2 p).

(Explicație: matricea $2I_2$ adaugă $2$ doar pe diagonala principală, iar pe diagonală elementele $x-1$ și $x$ cresc cu $2$ când $x$ crește cu $2$. Capcană: $2$ se adaugă tuturor elementelor; atunci $A(3)+2=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 3& 5\end{array}\right)$, care nu este $A(5)$.)

c) (5 p) Matricea $x{I}_2$ are $x$ doar pe diagonala principală: $$A(x)+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2x-1& 2\\ 1& 2x\end{array}\right),\det =2x(2x-1)-2\cdot 1=4x^2-2x-2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $4x^2-2x-2=0$ se împarte la $2$ și devine $2x^2-x-1=0$, adică $(2x+1)(x-1)=0$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=-\frac{1}{2}$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$, $4-2-2=0$; pentru $x=-\frac{1}{2}$, $1+1-2=0$. Capcană: $x$ se adaugă și elementelor de pe diagonala secundară; atunci determinantul iese alt trinom, cu alte rădăcini. Altă greșeală: $x$ se adaugă doar în stânga sus, iar determinantul iese $2x^2-x-2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție liniară.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=1$ în formula legii: $$2\circ 1=2\cdot 2+2\cdot 1-1\text{(3 p)}.$$ $$2\circ 1=4+2-1=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: factorul $2$ se uită la al doilea termen și iese $2\cdot 2+1-1=4$; sau se unesc greșit factorii, $2\cdot 2\cdot 2\cdot 1-1=7$.)

b) (5 p) Al doilea argument este $x+1$: $$x\circ (x+1)=2x+2(x+1)-1=4x+1\text{(3 p)}.$$ Ecuația $4x+1=5$ dă $4x=4$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: $1\circ 2=2+4-1=5$. Capcană: paranteza se pierde și $2(x+1)$ devine $2x+1$; atunci iese $2x+2x+1-1=4x$, adică $4x=5$ și $x=\frac{5}{4}$, dar $\frac{5}{4}\circ \frac{9}{4}=\frac{5}{2}+\frac{9}{2}-1=6$.)

c) (5 p) Se calculează $x\circ x$: $$x\circ x=2x+2x-1=4x-1\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $4x-1\le 4x^2$ înseamnă $4x^2-4x+1\ge 0$, iar membrul stâng este un pătrat perfect, $(2x-1{)}^2$. Pătratul oricărui număr real este nenegativ, deci inegalitatea este adevărată pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (3 p).

(Egalitatea se atinge în $x=\frac{1}{2}$, unde $4\cdot \frac{1}{2}-1=1=4\cdot \frac{1}{4}$. Capcană: se scrie că $(2x-1{)}^2>0$, deși în $x=\frac{1}{2}$ pătratul este $0$; inegalitatea cerută este nestrictă. Altă greșeală: $x\circ x$ se calculează $2x\cdot 2x-1=4x^2-1$, ceea ce ar da $4x^2-1\le 4x^2$, o inegalitate fără legătură cu legea dată.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu logaritm natural.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $(x{)}^{\prime }=1$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=1-2\cdot \frac{1}{x}\text{(2 p)}.$$ Cu numitor comun $x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(4)=1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ și $\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$. Capcană: derivata lui $\ln x$ se scrie $x$ în loc de $\frac{1}{x}$ și iese $1-2x$; sau $\ln x$ se derivează ca $\frac{1}{x^2}$.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $1$. Cum $\ln 1=0$: $$f(1)=1-2\ln 1=1,f^{\prime }(1)=\frac{1-2}{1}=-1\text{(2 p)}.$$ Tangenta este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-1=-(x-1)$, deci $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+2\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta $y=-x+2$ trece prin $(1,1)$, adică prin punctul de tangență. Capcană: se uită valoarea $f(1)$ și iese $y=-(x-1)=-x+1$, care nu trece prin punctul $(1,1)$ al graficului; sau se confundă $\ln 1$ cu $1$ și iese $f(1)=-1$.)

c) (5 p) Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x}$ are semnul lui $x-2$, deoarece $x>0$:

• pe $(0,2]$: $f^{\prime }\le 0$, deci $f$ descrește;
• pe $[2,+\infty )$: $f^{\prime }\ge 0$, deci $f$ crește.

Funcția are deci un minim în $x=2$ (3 p), iar $f(2)=2-2\ln 2$. Atunci $f(x)\ge f(2)$ pentru orice $x>0$. Se mută termenul cu logaritm din stânga în dreapta și numerele în stânga, se folosește $\ln x-\ln 2=\ln \frac{x}{2}$ și se împarte la $2$: rămâne $\ln \frac{x}{2}\le \frac{x-2}{2}$ (2 p).

(Altă cale: cu $t=\frac{x}{2}$, inegalitatea cerută este $\ln t\le t-1$. Capcană: se scrie că $f$ are un maxim în $2$, din cauza semnului minus din $-2\ln x$, și inegalitatea iese în sens opus; dar $f^{\prime }\le 0$ înainte de $2$ și $f^{\prime }\ge 0$ după $2$ arată un minim. Altă greșeală: la $f(2)$ se pierde factorul $2$ din fața logaritmului, $f(2)=2-\ln 2$, iar inegalitatea obținută nu mai este cea din enunț.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu polinom, logaritm și integrare prin părți.

a) (5 p) Din $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ rezultă $\frac{1}{f(x)}=x^2+1$. O primitivă este $\frac{x^3+3x}{3}$, fiindcă derivata ei este $\frac{3x^2+3}{3}=x^2+1$: $${\int }_0^3\left(x^2+1\right)dx=F(3)-F(0),F(x)=\frac{x^3+3x}{3}\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{27+9}{3}-0=12\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită termenul $3x$ din primitivă, deci integrala lui $1$, și iese $\frac{27}{3}=9$; sau se alege $x^3+x$ drept primitivă și iese $30$.)

b) (5 p) Integrandul este $2xf(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, iar numărătorul $2x$ este derivata numitorului $x^2+1$. Așadar o primitivă este $\ln \left(x^2+1\right)$ (numitorul este pozitiv): $${\int }_2^3\frac{2x}{x^2+1}dx=\ln \left(x^2+1\right){|}_2^3\text{(3 p)}.$$ $$=\ln 10-\ln 5=\ln \frac{10}{5}=\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\ln \left(2^2+1\right)=\ln 5$ și $\ln \left(3^2+1\right)=\ln 10$. Capcană: diferența logaritmilor se scrie ca logaritm al diferenței, $\ln (10-5)=\ln 5$; regula corectă este $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$. Altă greșeală: se alege $\frac{x^2}{x^2+1}$ ca primitivă, a cărei derivată are alt numărător.)

c) (5 p) Din $\frac{1}{f(x)}=x^2+1$, integrandul este $e^x\left(x^2+1\right)$. Se integrează prin părți, cu $u=x^2+1$ și $v^{\prime }=e^x$: $$\int e^x\left(x^2+1\right)dx=e^x\left(x^2+1\right)-\int 2x{e}^{x}dx.$$ Încă o integrare prin părți dă $\int 2x{e}^{x}dx=2x{e}^x-2e^x$, deci o primitivă este $$F(x)=e^x\left(x^2+1\right)-2x{e}^x+2e^x=e^x\left(x^2-2x+3\right)\text{(3 p)}.$$ Atunci $F(2)-F(1)=3e^2-2e=e(3e-2)$. Egalitatea cu $e(ae-a+1)$ dă $3e-2=ae-a+1$, adică $a(e-1)=3(e-1)$, iar cum $e\ne 1$, rezultă $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Probă: $F^{\prime }=e^x\left(x^2-2x+3\right)+e^x(2x-2)=e^x\left(x^2+1\right)$. Capcană: primitiva produsului se ia produsul primitivelor celor doi factori; derivata acestui produs nu este $e^x\left(x^2+1\right)$. Altă greșeală: după prima integrare prin părți se ia semnul $+$ în fața lui $\int 2x{e}^{x}dx$, deși formula cere minus.)

Pentru părinți și profesori

Ce conține pagina. Este lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea de rezervă de la sfârșitul lui august 2024, Varianta 1, cu toate cerințele rezolvate și cu un ghidaj care pune întrebări în loc să dea răspunsul. Lucrarea e a elevilor din filiera tehnologică, indiferent de profil (servicii, resurse sau tehnic) și de calificare. Pe foile oficiale apare numele Centrului Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile sunt transcrise ca în original, iar celelalte texte aparțin site-ului nostru; din documentul oficial s-a preluat numai numărul de puncte de pe fiecare rând.

Cum se împarte lucrarea. Subiectul I are șase cerințe independente (30 de puncte). Fiecare dintre Subiectele al II-lea și al III-lea adună două probleme cu câte trei subpuncte, adică tot 30 de puncte. Toate subpunctele valorează 5 puncte, în două rânduri de rezolvare, iar cele zece puncte din oficiu se adaugă la total.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Adunarea și înmulțirea fracțiilor, în contextul numerelor reale, se cer la examen în clasa a IX-a. În programa școlară nouă pentru clasa a IX-a nu există unitate despre numere reale, de aceea tehnica stă la noi în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile cu radicali sunt, la examen, materie de clasa a X-a. Programa școlară nouă le rezolvă numai grafic sau digital, deci ridicarea la pătrat și verificarea stau în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Calculul distanței dintre puncte se cere în clasa a X-a, dar programa școlară nouă o așază în clasa a IX-a, în unitatea despre reperul cartezian. Diferența vine din modul în care sunt așezate cele două programe, nu dintr-o scăpare.
• Nota 4. Triunghiul dreptunghic este, pentru examen, materie de clasa a IX-a; programa școlară nouă îl trece în clasa a X-a. Mijlocul unei laturi nu este numit în programa de examen, dar cerința 6 îl folosește.

Ce a avut special varianta 1. Cerințele 5 și 6 se rezolvă cu ajutorul unor observații geometrice simple: punctul $A$ este mijlocul segmentului $OB$, iar mediana $CM$ este ipotenuza unui alt triunghi dreptunghic. La Subiectul al II-lea, aceeași familie de matrice $A(x)$ apare în trei subpuncte; legea de compoziție este liniară în fiecare argument, iar inegalitatea de la 8.c) se reduce la un pătrat perfect. În Subiectul al III-lea, subpunctul 9.c) cere o inegalitate cu logaritm care se deduce din minimul funcției de la începutul problemei; integrala de la 10.c) se egalează cu o expresie în care apare necunoscuta $a$.

Cum îți împarți timpul. Lucrarea durează trei ore și se dă fără calculator. Dacă păstrezi zece minute pentru verificare, rămân 170 de minute la 90 de puncte, adică aproape două minute pentru fiecare punct. Pe barem scrie că orice soluție corectă primește punctajul cuvenit, chiar dacă diferă de cea tipărită, că punctele nu se fracționează și că nota este totalul împărțit la zece. Cu cele zece puncte din oficiu, un total de 50 de puncte înseamnă nota 5.

Atenție la redactare: la 3, soluția fără verificarea că expresia de sub radical nu este negativă; la 4, un număr uitat din mulțime (cel care începe cu cifra $2$); la 7.c), $x$ adăugat și în afara diagonalei; la 8.c), concluzia „pătratul este pozitiv" în loc de „pătratul este nenegativ"; la 9.c), inegalitatea scrisă fără a spune de unde provine.

Cum folosești pagina. Lucrează fiecare problemă pe ciornă, apoi urmărește rândurile oficiale și compară. Ghidajul îți pune câte o întrebare pe rând, cu variante de răspuns; fiecare variantă greșită are o explicație scurtă. Un total sub 40 de puncte arată că Subiectul I merită reluat; între 40 și 65 se lucrează subpunctele cu o idee în plus; peste 65 contează ritmul.

Formule folosite în varianta 1

• Subiectul I. Ridicarea la pătrat a unei ecuații cu radical poate introduce soluții străine, deci se verifică; pentru distanță se adună pătratele diferențelor dintre coordonatele de același fel și se extrage rădăcina pătrată din sumă; teorema lui Pitagora leagă pătratul ipotenuzei de suma pătratelor catetelor; mijlocul unui segment are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor.
• Subiectul al II-lea. Determinantul unei matrice cu două linii este diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și cel de pe diagonala secundară; $kM$ înmulțește fiecare element al lui $M$ cu $k$; pătratul oricărui număr real este nenegativ.
• Subiectul al III-lea. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$; integrarea prin părți: $\int u{v}^{\prime }=uv-\int u^{\prime }v$.

Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos vine din barem; noi spunem „cerința". Litera $f$ numește trei obiecte diferite (cerințele 2, 9 și 10), iar $A$ este mulțime la cerința 4, punct la 5, vârf de triunghi la 6 și matrice la 7. Litera $O$ de la cerința 5 este originea reperului.