Subiect Bac matematică pedagogic, model 2014 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2014 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $\sqrt{12}+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)-\sqrt{8}$ este natural.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției $f$ și axa absciselor.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{x^2+1}=49$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10\%$, urmată de o ieftinire cu $10\%$ din noul preț, un produs costă $1980$ de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $P(3,4)$, $Q(4,2)$ și $R(7,2)$. Determinați coordonatele punctului $S$, știind că $PQRS$ este paralelogram.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați cosinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ în care $AB=5$, $AC=7$ și $BC=8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de $x\ast y=x+y-1$.

1. (5 puncte) Calculați $2\ast 3$.

2. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left(x^2\right)\ast x=11$.

5. (5 puncte) Arătați că $x\ast (x+2014)=(x+1012)\ast (x+1012)$, pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Determinați numărul real nenul $x$ pentru care $x\ast \frac{1}{x}=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m& m& 1\\ 1& 0& 1\\ m& 1& 0\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Calculați $\det \left(A(0)\right)$.

2. (5 puncte) Calculați $A(0)\cdot A(1)$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $\det \left(A(m)\right)=m$.

4. (5 puncte) Arătați că $A(2)+A(4)=2A(3)$.

5. (5 puncte) Verificați dacă matricea $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ este inversa matricei $A(0)$.

6. (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care sistemul $\{\begin{array}{l}mx+my+z=0\\ x+z=m\\ mx+y=1\end{array}$ are soluția $(0,1,0)$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare de mai jos urmează rândurile baremului oficial, iar numărul îngroșat din paranteză este punctajul rândului respectiv, din cele 5 puncte ale cerinței. Majoritatea cerințelor au două rânduri ($3+2$ sau $2+3$); asociativitatea, de la cerința II.3, are trei rânduri, de $2+2+1$. Împreună cu cele 10 puncte din oficiu, lucrarea totalizează 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — un număr cu radicali.

Scoatem din fiecare radical factorul pătrat perfect: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ și $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$ (2 p).

Expresia devine $2\sqrt{3}+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)-2\sqrt{2}$. Numărul $2$ din fața parantezei înmulțește ambii termeni din ea, apoi termenii cu $\sqrt{3}$ se reduc între ei, la fel cei cu $\sqrt{2}$: $$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}=0\in \mathbb{N}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — graficul și axa absciselor.

Orice punct al axei absciselor are ordonata $0$ (2 p).

Ordonata unui punct al graficului este $f(x)$, deci abscisa punctului căutat se află din $f(x)=0$, adică din $2x-3=0$: $$f(x)=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}.$$ Graficul taie axa absciselor în punctul $\left(\frac{3}{2},0\right)$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — o ecuație exponențială.

Scriem $49=7^2$, așa că în ambii membri apar puteri ale lui $7$. Funcția $t\mapsto 7^t$ ia fiecare valoare o singură dată, deci exponenții sunt egali: $$7^{x^2+1}=7^2⟺x^2-1=0\text{(3 p)}.$$

Din $x^2=1$ rezultă $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$; pentru ambele, $x^2+1=2$ și $7^2=49$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — o scumpire urmată de o ieftinire.

Fie $x$ prețul de dinainte de scumpire, în lei. După scumpirea cu $10\%$ prețul este $x+10\%\cdot x=\frac{11x}{10}$ (2 p).

Ieftinirea de $10\%$ se calculează din noul preț, $\frac{11x}{10}$, și duce la $1980$ de lei. Rămân $90\%$ din acest preț, adică $\frac{9}{10}\cdot \frac{11x}{10}=\frac{99x}{100}$, iar $\frac{99x}{100}=1980$ dă $x=1980\cdot \frac{100}{99}=2000$: $$\frac{11x}{10}-10\%\cdot \frac{11x}{10}=1980\Rightarrow \mathbf{x}=2000\text{(3 p)}.$$ Prețul înainte de scumpire este de $2000$ de lei.

Exercițiul 5. (5 p) — al patrulea vârf al unui paralelogram.

Într-un paralelogram diagonalele au același mijloc. În $PQRS$ diagonalele sunt $PR$ și $QS$; fie $M$ mijlocul lui $PR$. Coordonatele lui $M$ sunt mediile coordonatelor capetelor $P(3,4)$ și $R(7,2)$: $x_M=5$ și $y_M=3$ (3 p).

Punctul $M$ este și mijlocul diagonalei $QS$, cu $Q(4,2)$. Pentru abscise avem $5=\frac{4+x_S}{2}$, deci $x_S=6$; pentru ordonate, $3=\frac{2+y_S}{2}$, deci $y_S=4$: $$x_M=\frac{x_Q+x_S}{2}\Rightarrow x_S=6\text{și}{y}_M=\frac{y_Q+y_S}{2}\Rightarrow y_S=4.$$ Al patrulea vârf este $\mathbf{S}(6,4)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — cosinusul unui unghi dintr-un triunghi cu trei laturi date.

Latura opusă unghiului $A$ este $BC$. Teorema cosinusului, scrisă pentru această latură și rezolvată în raport cu $\cos A$, dă $$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+49-64}{2\cdot 5\cdot 7}\text{(3 p)}.$$

Numărătorul este $10$, iar numitorul este $70$, deci $\cos A=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem în definiția legii primul operand egal cu $2$ și al doilea egal cu $3$: $$2\ast 3=2+3-1\text{(3 p)}.$$ Suma primilor doi termeni este $5$, iar $5-1=4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Fie $x$ și $y$ numere reale oarecare. Scriem compunerea în ambele ordini: $x\ast y=x+y-1$ și $y\ast x=y+x-1$ (3 p).

Adunarea numerelor reale nu depinde de ordinea termenilor, deci $x+y-1=y+x-1$, adică $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x$ și $y$. Legea este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — asociativitatea legii.

Fie $x$, $y$ și $z$ numere reale oarecare. În prima grupare se compun întâi $x$ și $y$; a doua compunere adaugă pe $z$ și scade încă o dată $1$: $$(x\ast y)\ast z=(x+y-1)\ast z=x+y+z-2\text{(2 p)}.$$

În a doua grupare se compun întâi $y$ și $z$, apoi rezultatul se compune cu $x$: $$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-1)=x+y+z-2\text{(2 p)}.$$

Finalizare: cele două grupări dau aceeași expresie pentru orice $x$, $y$ și $z$ reali, deci legea este asociativă (1 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu $\left(x^2\right)\ast x$.

În $\left(x^2\right)\ast x$ primul operand este $x^2$, iar al doilea este $x$, deci $\left(x^2\right)\ast x=x^2+x-1$ (2 p).

Egalitatea cu $11$ dă $x^2+x-12=0$, care se descompune în $(x-3)(x+4)=0$: $$x^2+x-1=11⟺x_1=3\text{ și }{x}_2=-4\text{(3 p)}.$$ Soluțiile sunt $\mathbf{x}=3$ și $\mathbf{x}=-4$.

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — egalitatea cu numerele $2014$ și $1012$.

Calculăm separat cei doi membri ai egalității din enunț.

Membrul stâng: $x\ast (x+2014)=x+(x+2014)-1=2x+2013$ (2 p).

Membrul drept: ambii operanzi sunt $x+1012$, deci $(x+1012)\ast (x+1012)=(x+1012)+(x+1012)-1=2x+2023$, fiindcă $2\cdot 1012-1=2023$ (3 p).

⚠️ Divergență față de documentul oficial: baremul tipărit scrie $2x+2013$ și pentru membrul drept și încheie cu egalitatea celor doi membri. Calculul de mai sus dă $2x+2023$, deci $2x+2013\ne 2x+2023$, cu diferența $10$, pentru orice $x$: egalitatea cerută în enunț nu are loc. Am păstrat enunțul întocmai și nu l-am reparat în tăcere; ghidajul urmează calculul corect. Cu $x+1007$ în loc de $x+1012$ membrul drept ar fi $2\cdot 1007-1=2013$ și egalitatea ar fi adevărată.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație cu $x\ast \frac{1}{x}$.

Pentru $x\ne 0$ avem $x\ast \frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-1$, deci ecuația este $x+\frac{1}{x}-1=1$. Aducem la același numitor, $x$: $$x+\frac{1}{x}-1=1⟺\frac{x^2-x+1}{x}=1⟺x^2-2x+1=0\text{(3 p)}.$$

Ultima ecuație se scrie $(x-1{)}^2=0$, deci $\mathbf{x}=1$, număr nenul. Verificare: $1\ast 1=1+1-1=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul de ordin 3 pentru $m=0$.

Înlocuim $m=0$ în elementele care conțin pe $m$ și lăsăm celelalte elemente neschimbate: $$A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Regula lui Sarrus adună trei produse și scade alte trei. Cele care se adună sunt $0$, $0$ și $1$, cu suma $1$, iar cele care se scad sunt $0$, $0$ și $0$, cu suma $0$. Rezultă $$\det \left(A(0)\right)=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right|=1\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — produsul a două matrice de ordin 3.

Pentru $m=1$ elementele cu $m$ devin $1$, iar celelalte rămân la fel: $$A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Pentru fiecare poziție $(i,j)$ a produsului $A(0)\cdot A(1)$, perechile de elemente ale liniei $i$ din $A(0)$ și ale coloanei $j$ din $A(1)$ se înmulțesc, iar cele trei produse se adună. Linia $1$ a lui $A(0)$ este $(0,0,1)$ și dă $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1=1$, $0\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 1=1$ și $0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0=0$. Linia $2$, $(1,0,1)$, dă $1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1=2$, $1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 1=2$ și $1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0=1$. Linia $3$, $(0,1,0)$, dă $0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 1=1$, $0\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1=0$ și $0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 0=1$. Prin urmare $$A(0)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu determinantul lui $A(m)$.

Regula lui Sarrus pentru $A(m)$: produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt $m\cdot 0\cdot 0=0$, $m\cdot 1\cdot m=m^2$ și $1\cdot 1\cdot 1=1$; cele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt $1\cdot 0\cdot m=0$, $m\cdot 1\cdot 0=0$ și $m\cdot 1\cdot 1=m$. Primele trei se adună, ultimele trei se scad: $$\det \left(A(m)\right)=0+1+m^2-0-m-0=m^2-m+1\text{(3 p)}.$$

Ecuația $m^2-m+1=m$ se scrie $m^2-2m+1=0$, adică $(m-1{)}^2=0$: $$m^2-m+1=m⟺\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o egalitate de matrice de ordin 3.

Scriem $A(2)$ și $A(4)$ și adunăm element cu element, adică pe poziții: $$A(2)+A(4)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 1\\ 1& 0& 1\\ 4& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& 6& 2\\ 2& 0& 2\\ 6& 2& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Toate elementele sumei sunt pare; dând factor comun $2$ rămâne o matrice cu $3$ în locul lui $m$, adică $A(3)$: $$\left(\begin{array}{ccc}6& 6& 2\\ 2& 0& 2\\ 6& 2& 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 1\\ 1& 0& 1\\ 3& 1& 0\end{array}\right)=2A(3)\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — verificarea unei inverse de ordin 3.

Pentru ca $B$ să fie inversa lui $A(0)$ trebuie ca produsul în ambele ordini să dea $I_3$. Linia $1$ a lui $A(0)$, $(0,0,1)$, dă pe coloanele lui $B$ valorile $1$, $0$ și $0$; linia $2$, $(1,0,1)$, dă $0$, $1$ și $0$; linia $3$, $(0,1,0)$, dă $0$, $0$ și $1$: $$A(0)\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3\text{(2 p)}.$$

În ordinea cealaltă, linia $1$ a lui $B$, $(-1,1,0)$, dă $1$, $0$ și $0$; linia $2$, $(0,0,1)$, dă $0$, $1$ și $0$; linia $3$, $(1,0,0)$, dă $0$, $0$ și $1$: $$B\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3.$$ Ambele produse dau $I_3$, deci $B$ este inversa matricei $A(0)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — un triplet care este soluție a sistemului.

Soluția $(0,1,0)$ înseamnă $x=0$, $y=1$ și $z=0$. Prima ecuație devine $m\cdot 0+m\cdot 1+0=0$, adică $m=0$; a doua devine $0+0=m$; a treia devine $m\cdot 0+1=1$, adevărată pentru orice $m$: $$\{\begin{array}{l}m=0\\ 0=m\\ 1=1\end{array}\text{(3 p)}.$$

Primele două condiții cer $m=0$, iar a treia nu aduce nicio restricție, deci $\mathbf{m}=0$ (2 p). Verificare: pentru $m=0$ sistemul este $z=0$, $x+z=0$, $y=1$, cu soluția $(0,1,0)$.

Pentru părinți și profesori

Pagina conține modelul din 2014 al probei E. c) de la M_pedagogic, adresat candidaților din filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare. Sunt trei subiecte obligatorii, fiecare cu șase cerințe de câte 5 puncte, iar cele 18 cerințe adună 90 de puncte. Elevii lucrează 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele apar exact ca pe foaia oficială; rezolvările și ghidajul interactiv sunt ale Matepolis și merg pe rândurile punctate din barem.

Ce cuprinde. Subiectul I are șase cerințe independente: un număr cu radicali, despre care se cere să se arate că este natural, punctul în care graficul funcției de gradul I $f$ întâlnește axa absciselor, o ecuație exponențială cu exponentul $x^2+1$, o scumpire urmată de o ieftinire, al patrulea vârf al unui paralelogram în reper și cosinusul unui unghi dintr-un triunghi cu laturile $5$, $7$ și $8$. Subiectul al II-lea pornește de la legea $x\ast y=x+y-1$: o valoare, comutativitatea, asociativitatea, o ecuație cu $\left(x^2\right)\ast x$, o egalitate cu numerele $2014$ și $1012$ și o ecuație cu $x\ast \frac{1}{x}$. La cerința II.5 egalitatea din enunț nu are loc, iar baremul oficial ajunge la ea printr-o greșeală de calcul; rezolvarea explică divergența. Subiectul al III-lea folosește matricea $A(m)$ de ordin $3$: un determinant, un produs, o ecuație cu determinantul, o egalitate între o sumă de matrice și dublul unei matrice, verificarea unei inverse și condiția ca un triplet să fie soluție a unui sistem.

Locul în programă. Ordinul OMEN 4430/2014, cu programa de examen M_pedagogic, intră în vigoare pentru Bacalaureatul 2015; modelul din 2014 îl precede, deci îl luăm numai ca reper de grupare a capitolelor, nu ca regulă a acestei lucrări. Funcția de gradul I și teorema cosinusului aparțin clasei a IX-a. Clasa a X-a cuprinde radicalii, ecuațiile exponențiale, procentele și coordonatele punctelor în plan. Legea de compoziție vine din clasa a XI-a, iar matricele, determinanții de ordin cel mult $3$, inversa și sistemele liniare, din clasa a XII-a. Pentru determinantul de ordin $3$ se poate relua lecția Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou, iar pentru cosinusul unui unghi lecția Teorema cosinusului la tehnologic: pe teren.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: numărul $2$ din fața parantezei înmulțește ambii termeni. Dacă înmulțește doar pe $\sqrt{2}$, se obține $2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}$, care nu este număr natural.
• Exercițiul 2: axa absciselor are ordonata $0$, nu abscisa $0$. Pentru $x=0$ avem $f(0)=-3$, deci punctul $(0,-3)$ stă pe axa ordonatelor.
• Exercițiul 3: exponenții se egalează după ce $49$ se scrie $7^2$. Cu $x^2+1=49$ ar rezulta $x^2=48$, iar $7^{x^2+1}$ ar fi $7^{49}$, nu $49$.
• Exercițiul 4: ieftinirea de $10\%$ se calculează din prețul de după scumpire, deci procentele nu se anulează. Un preț de $1000$ de lei ajunge după scumpire la $1100$, iar ieftinirea de $10\%$ din $1100$ îl aduce la $990$, nu la $1000$.
• Exercițiul 5: coordonatele mijlocului se obțin împărțind sumele la $2$. Fără împărțire, coordonatele lui $P$ și $R$ ar da $(10,6)$, în loc de mijlocul $(5,3)$.
• Exercițiul 6: latura opusă unghiului $A$ este $BC$. Formula scrisă cu latura $AC$ ca opusă dă $\cos B$: $\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{1}{2}$, nu $\frac{1}{7}$.
• Cerința II.1: ultimul termen al legii este $-1$. Dacă ar fi trecut cu plus, ar ieși $2\ast 3=6$, iar legea dă $4$.
• Cerința II.2: comutativitatea compară $x\ast y$ cu $y\ast x$, nu două grupări de trei numere. De exemplu, $2\ast 5=6=5\ast 2$.
• Cerința II.3: sunt două compuneri, deci $1$ se scade de două ori. Pentru $x=y=z=0$ avem $(0\ast 0)\ast 0=(-1)\ast 0=-2$, nu $-1$.
• Cerința II.4: numărul $4$ nu este soluție. Pentru $x=4$ avem $4^2+4-1=19$, nu $11$; soluțiile sunt $3$ și $-4$.
• Cerința II.5: operandul $x+1012$ apare de două ori, deci $1012$ se adună de două ori: $(x+1012)+(x+1012)-1=2x+2023$. Pentru $x=0$ membrul stâng este $2013$, iar membrul drept este $2023$.
• Cerința II.6: legea are termenul $-1$, care nu se omite. Fără el, ecuația ar fi $x+\frac{1}{x}=1$, adică $x^2-x+1=0$, cu $\Delta =1-4=-3$, deci fără soluții reale, deși $x=1$ verifică ecuația din enunț, fiindcă $1\ast 1=1$.
• Cerința III.1: în $A(0)$ rămân neschimbate elementele care nu conțin pe $m$. Matricea nulă ar avea determinantul $0$, iar $\det \left(A(0)\right)=1$.
• Cerința III.2: produsul de matrice nu se face pe poziții. Produsul elementelor de pe aceleași poziții ale lui $A(0)$ și $A(1)$ are $0$ în stânga sus, iar produsul de matrice are acolo $1$.
• Cerința III.3: produsul $m\cdot 1\cdot 1=m$ de pe a doua diagonală se scade. Dacă s-ar aduna, ar ieși $m^2+m+1$, care pentru $m=1$ dă $3$, pe când determinantul corect este $1$.
• Cerința III.4: se adună și elementele fără $m$. Suma $A(2)+A(4)$ are $2$ în dreapta sus, în timp ce $A(6)$ are acolo $1$.
• Cerința III.5: o inversă se recunoaște prin produsul de matrice, nu prin produsul pe poziții. Produsul pe poziții al lui $A(0)$ și $B$ are un singur element nenul, deci nu poate fi $I_3$.
• Cerința III.6: tripletul $(0,1,0)$ se citește în ordinea $(x,y,z)$. Cu $(x,y,z)=(1,0,0)$ prima ecuație ar da $m=0$, iar a doua $1=m$, deci condițiile s-ar contrazice.

Despre litere. Subiectul I folosește pe $x$ în trei roluri: abscisa necunoscută a punctului de intersecție, necunoscuta ecuației exponențiale și, cu litera pusă de noi ca în barem, prețul căutat; $P$, $Q$ și $R$ sunt punctele date ale cerinței cu paralelogramul, $S$ este punctul căutat, iar $M$, introdus în rezolvare, este mijlocul diagonalei $PR$; $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. În Subiectul II, litera $x$ (împreună cu $y$ la comutativitate, cu $y$ și $z$ la asociativitate) reprezintă numere reale arbitrare când se demonstrează o proprietate sau o egalitate cu $2014$ și $1012$, dar este necunoscută în cele două ecuații, a doua cu număr nenul. În Subiectul III, $m$ este parametrul matricei $A(m)$: necunoscut în ecuația cu determinantul și în condiția pentru sistem, cu valori date în celelalte cerințe; $B$ este matricea de verificat, $I_3$ este matricea unitate de ordin $3$, iar $x$, $y$ și $z$ din ultima cerință sunt necunoscutele sistemului.