Subiect Bac matematică pedagogic, model 2020 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2020 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=2$ și $a_3=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+5$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=f(1)+f(-1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^2+4\right)=3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un obiect costă $2000$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(-1,1)$, $C(-1,-1)$ și $D(1,-1)$. Calculați perimetrul patrulaterului $ABCD$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $m\left(\sphericalangle B\right)=45^{\circ }$ și $BC=4\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=2xy-8(x+y)+36$.

1. (5 puncte) Arătați că $0\ast 4=4$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=2(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=\frac{9}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x-1)\ast (x+1)=10$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $3^{x^2}\ast 3^{x^2}\ast 3^{x^2}=0$.

6. (5 puncte) Dați exemplu de numere raționale $p$ și $q$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $p\ast q$ este întreg.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ și $B(b)=\left(\begin{array}{cc}2& b\\ 2& 2\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(3)\right)=2$.

2. (5 puncte) Arătați că $A(2)\cdot B(2)=2\left(A(2)+B(2)\right)$.

3. (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(1)$.

4. (5 puncte) Demonstrați că $\det \left(A(a)+B(b)\right)=\det \left(A(a)\right)+\det \left(B(b)\right)$ dacă și numai dacă $a=b$.

5. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $C(a)=B(a)\cdot A(a)$ este inversabilă.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $\det \left(A(n)\right)>n^2-7$.

Barem și răspunsuri

Parantezele cu cifră îngroșată, de după fiecare etapă, dau punctele ei din cele 5 ale cerinței, în ordinea foii de evaluare. Adunate, cele 18 cerințe fac 90 de puncte, iar oficiul duce lucrarea la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — suma a trei termeni ai unei progresii aritmetice.

Suma primilor $n$ termeni este $\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$, deci pentru $n=3$: $$S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}=\frac{(2+8)\cdot 3}{2}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $S_3=\frac{30}{2}=15$. Verificare: $a_2=\frac{2+8}{2}=5$, iar $2+5+8=15$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — valori ale unei funcții de gradul întâi.

Valorile necesare sunt $f(m)=m+5$, $f(1)=1+5=6$ și $f(-1)=-1+5=4$, iar egalitatea din enunț se scrie $$m+5=6+4\text{(3 p)}.$$ Rămâne $m+5=10$, deci $\mathbf{m}=5$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică cu un pătrat în argument.

Prin definiția logaritmului, ${\log }_2\left(x^2+4\right)=3$ înseamnă că argumentul este $2^3$: $$x^2+4=2^3,\text{ adica˘ }{x}^2-4=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^2-4=0$ are soluțiile $-2$ și $2$. Argumentul $x^2+4$ rămâne strict pozitiv oricare ar fi $x$, așa că nicio soluție nu se pierde: $\mathbf{x}=-2$ și $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două scumpiri succesive.

Zece la sută din $2000$ de lei este $\frac{10}{100}\cdot 2000=200$ de lei, deci după prima scumpire prețul este $$2000+200=2200\text{(3 p)}$$ de lei. Pentru a doua scumpire se pornește de la $2200$ de lei: $\frac{10}{100}\cdot 2200=220$, deci în final se plătesc $2200+220=2420$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui patrulater în reper.

Fiecare latură unește două vârfuri, deci lungimea ei vine din coordonate: $$AB=\sqrt{(-1-1{)}^2+(1-1{)}^2}=2,BC=\sqrt{(-1+1{)}^2+(-1-1{)}^2}=2,$$ $$CD=\sqrt{(1+1{)}^2+(-1+1{)}^2}=2,DA=\sqrt{(1-1{)}^2+(1+1{)}^2}=2\text{(3 p)}.$$ Patrulaterul are patru laturi de lungime $2$, deci perimetrul este $4\cdot 2=8$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic isoscel.

Unghiurile triunghiului sunt $A=90^{\circ }$ și $B=45^{\circ }$, deci $C=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Unghiurile $B$ și $C$ fiind egale, catetele sunt egale: $AB=AC$. Teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$ dă $2\cdot A{B}^2=B{C}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2=32$, deci $A{B}^2=16$ și $AB=AC=4$ (2 p).

Aria se obține înmulțind catetele și împărțind la $2$: $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: calculul pe perechea $(0,4)$.

Punem $x=0$ și $y=4$ în definiția legii: $$0\ast 4=2\cdot 0\cdot 4-8(0+4)+36\text{(3 p)}.$$ Calculăm: $0-32+36=4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: forma cu paranteze.

Desfacem parantezele din definiție și scriem $36=32+4$: $$x\ast y=2xy-8x-8y+32+4\text{(2 p)}.$$ Grupăm termenii doi câte doi: $2xy-8x=2x(y-4)$ și $-8y+32=-8(y-4)$. Atunci $x\ast y=2x(y-4)-8(y-4)+4$, iar factorul comun $y-4$ dă $x\ast y=2(x-4)(y-4)+4$, pentru orice $x$ și $y$ reale (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: un candidat la element neutru.

Un neutru $e$ trebuie să verifice $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$ pentru orice $x$. Folosim forma $x\ast y=2(x-4)(y-4)+4$ și $\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$: $$x\ast \frac{9}{2}=2(x-4)\cdot \frac{1}{2}+4=x-4+4=x\text{(2 p)}.$$ Schimbând ordinea operanzilor, $\frac{9}{2}\ast x=2\cdot \frac{1}{2}\cdot (x-4)+4=x$, tot pentru orice $x$ real. Cele două egalități se verifică, de unde $e=\frac{9}{2}$ ca element neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: o ecuație cu pătratul necunoscutei.

Cu forma factorizată, $(x-1)-4=x-5$ și $(x+1)-4=x-3$, deci ecuația este $2(x-5)(x-3)+4=10$. Desfacem: $2\left(x^2-8x+15\right)+4=10$, adică $2x^2-16x+34=10$, de unde $$x^2-8x+12=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile cu suma $8$ și produsul $12$ sunt $2$ și $6$: $\mathbf{x}=2$ sau $\mathbf{x}=6$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: trei compuneri și o ecuație exponențială.

Notăm $t=3^{x^2}$. Legea este asociativă, deci $t\ast t\ast t$ are sens fără paranteze. Din forma $u\ast v=2(u-4)(v-4)+4$ rezultă $t\ast t=2(t-4{)}^2+4$. La a doua compunere, valoarea $t\ast t$ fără $4$ se înmulțește cu $2$ și cu $t-4$, deci factorul $2$ apare de două ori, iar $t-4$ de trei ori: $$t\ast t\ast t=4(t-4{)}^3+4\text{(2 p)}.$$ Ecuația $t\ast t\ast t=0$ devine $4{\left(3^{x^2}-4\right)}^3+4=0$, adică ${\left(3^{x^2}-4\right)}^3=-1$. Cubul unui număr real este $-1$ numai pentru $-1$, deci $3^{x^2}-4=-1$ și $3^{x^2}=3=3^1$. Exponenții sunt egali: $x^2=1$, deci $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: un exemplu.

Cu forma $p\ast q=2(p-4)(q-4)+4$ și cum $4$ este întreg, numărul $p\ast q$ este întreg exact când $2(p-4)(q-4)$ este întreg. Căutăm numere neîntregi pentru care acest produs este întreg; de exemplu $p-4=\frac{3}{2}$ și $q-4=\frac{2}{3}$, pentru care $2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}=2$ (2 p).

Atunci $p=\frac{3}{2}+4=\frac{11}{2}$ și $q=\frac{2}{3}+4=\frac{14}{3}$ sunt numere raționale care nu sunt întregi, iar $p\ast q=2+4=6$ este întreg. Verificare cu definiția: $2\cdot \frac{11}{2}\cdot \frac{14}{3}-8\left(\frac{11}{2}+\frac{14}{3}\right)+36=\frac{154}{3}-\frac{244}{3}+36=-30+36=6$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinantul lui $A(3)$.

Pentru $a=3$ avem $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, iar formula $ad-bc$ pentru determinantul lui $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ dă $$\det \left(A(3)\right)=3\cdot 2-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $6-4=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o relație între produs și sumă.

Avem $A(2)=B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$. Pentru fiecare poziție a produsului se adună produsele dintre linia din $A(2)$ și coloana din $B(2)$: $$A(2)\cdot B(2)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+2\cdot 2& 2\cdot 2+2\cdot 2\\ 2\cdot 2+2\cdot 2& 2\cdot 2+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Suma este $A(2)+B(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$, iar $2\left(A(2)+B(2)\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right)$. Cele două matrice coincid, deci $A(2)\cdot B(2)=2\left(A(2)+B(2)\right)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: inversa unei matrice de ordin 2.

Pentru $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ avem $\det A(1)=1\cdot 2-2\cdot 2=-2$, deci $A(1)$ este inversabilă (2 p).

Pentru $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu determinantul $\Delta \ne 0$, inversa este $\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Aici $$A^{-1}(1)=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Verificare în ambele ordini: pentru $A(1)\cdot A^{-1}(1)$ elementele sunt $1\cdot (-1)+2\cdot 1=1$, $1\cdot 1+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0$, $2\cdot (-1)+2\cdot 1=0$ și $2\cdot 1+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1$, deci produsul este $I_2$. Pentru $A^{-1}(1)\cdot A(1)$ elementele sunt $-1\cdot 1+1\cdot 2=1$, $-1\cdot 2+1\cdot 2=0$, $1\cdot 1+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2=0$ și $1\cdot 2+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2=1$, deci și acest produs este $I_2$.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o echivalență cu determinanți.

Matricele se adună poziție cu poziție: $A(a)+B(b)=\left(\begin{array}{cc}a+2& 2+b\\ 4& 4\end{array}\right)$, deci $\det \left(A(a)+B(b)\right)=4(a+2)-4(2+b)=4a-4b$. Separat, $\det \left(A(a)\right)=2a-4$ și $\det \left(B(b)\right)=4-2b$, deci $$\det \left(A(a)\right)+\det \left(B(b)\right)=2a-2b\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $4a-4b=2a-2b$, adică $2a=2b$ și $a=b$. Fiecare pas se citește și în sens invers: din $a=b$ rezultă $2a=2b$, adică $4a-4b=2a-2b$. Așadar egalitatea din enunț este adevărată exact atunci când $a=b$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: când este inversabilă $C(a)$.

Același procedeu dă produsul $B(a)\cdot A(a)$: $$C(a)=\left(\begin{array}{cc}2& a\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a+2a& 4+2a\\ 2a+4& 4+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4a& 4+2a\\ 2a+4& 8\end{array}\right).$$ Determinantul este $\det \left(C(a)\right)=4a\cdot 8-(4+2a)(2a+4)=32a-4a^2-16a-16=-4a^2+16a-16$ (3 p).

Inversabilitatea cere un determinant diferit de zero. Cum $-4a^2+16a-16=-4(a-2{)}^2$, determinantul este nul numai pentru $a=2$, deci $C(a)$ este inversabilă pentru $\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o inecuație cu determinantul lui $A(n)$.

Determinantul este $\det \left(A(n)\right)=n\cdot 2-2\cdot 2=2n-4$, iar inegalitatea cerută devine $2n-4>n^2-7$, adică $$n^2-2n-3<0\text{(2 p)}.$$ Avem $n^2-2n-3=(n+1)(n-3)$, care este negativ între rădăcinile $-1$ și $3$, adică pentru $n\in (-1,3)$. Singurele numere naturale nenule dintre $-1$ și $3$ sunt $1$ și $2$; numărul $3$ nu intră, inegalitatea fiind strictă. Deci $\mathbf{n}=1$ sau $\mathbf{n}=2$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

În pagina aceasta este rezolvat modelul de subiect publicat de minister pentru proba E. c) de matematică M_pedagogic de la Bacalaureatul din 2020. Lucrarea are trei subiecte cu câte 6 cerințe, adică 18 cerințe; fiecare valorează 5 puncte, iar suma este de 90 de puncte. Se lucrează 3 ore, timp efectiv. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt reproduse întocmai; calculele, explicațiile și ghidajul sunt ale noastre și urmează rândurile punctate ale foii de evaluare.

Cum sunt grupate cerințele.

• Itemii 1–6 sunt independenți: adunarea primilor termeni ai unei progresii, o funcție de gradul întâi, o ecuație logaritmică, două scumpiri succesive, perimetrul unui patrulater în reper și aria unui triunghi cu unghiul drept și un unghi de $45^{\circ }$.
• Cerințele II.1–II.6 pornesc de la legea asociativă $x\ast y=2xy-8(x+y)+36$ și de la forma ei $2(x-4)(y-4)+4$.
• Cerințele III.1–III.6 lucrează cu matricele $A(a)$ și $B(b)$, de la un determinant numeric până la o inecuație cu determinantul lui $A(n)$.

Programa. Potrivit OMEN 4430/2014, în programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2020, la clasa a IX-a se studiază progresia aritmetică, dreapta ca grafic al funcției de gradul întâi și calculele în triunghiul dreptunghic. Clasa a X-a aduce logaritmii, procentele și distanța dintre două puncte în reper; în clasa a XI-a vin legile de compoziție, iar în clasa a XII-a matricele, determinanții și matricele inversabile. Pentru itemul 4 se poate relua lecția Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru cerința III.3 lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 3: ambele soluții ale ecuației $x^2-4=0$ convin, fiindcă pentru $x=2$ și pentru $x=-2$ argumentul logaritmului este $8$, iar ${\log }_{2}8=3$.
• Exercițiul 4: două scumpiri de $10\%$ nu fac o scumpire de $20\%$. Prețul $2000\cdot \frac{120}{100}=2400$ este diferit de $2420$, pentru că a doua scumpire se aplică prețului de $2200$ de lei.
• Cerința II.5: expresia $3^{x^2}$ nu este ${\left(3^x\right)}^2$. La $x=1$ avem $3^{1^2}=3$, dar ${\left(3^1\right)}^2=9$.
• Cerința II.6: perechea $p=5$, $q=6$ dă $p\ast q=2\cdot 1\cdot 2+4=8$, număr întreg, dar nu convine, deoarece $p$ și $q$ sunt întregi.
• Cerința III.3: matricea formată din inversele elementelor lui $A(1)$ nu este inversa lui $A(1)$. Produsul $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{cc}2& \frac{3}{2}\\ 3& 2\end{array}\right)$, nu $I_2$.
• Cerința III.5: pentru $a=2$ determinantul $-4a^2+16a-16$ este $-16+32-16=0$, iar $C(2)$ nu are inversă.
• Cerința III.6: inegalitatea fiind strictă, valoarea $3$ rămâne în afară, pentru că $3^2-2\cdot 3-3=0$; la fel $0$, care nu este natural nenul.

Despre litere. Literele nu păstrează același sens pe toată foaia. În itemul 2, $m$ este numărul real căutat, iar în itemul 6, $m\left(\sphericalangle B\right)$ este măsura unghiului $B$. În itemul 5, $A(1,1)$ este un punct descris prin două coordonate, pe când în cerința III.1, $A(3)$ este matricea $A(a)$ pentru $a=3$; la fel, $B$ este punct în itemul 5 și matricea $B(b)$ în cerințele III.1–III.6. În cerința II.3, $e=\frac{9}{2}$ este dat în enunț și doar se verifică. În cerința II.6, $p$ și $q$ sunt numerele raționale căutate. Parametrii $a$ și $b$ ai matricelor sunt numere reale: în cerința III.4 contează relația dintre ei, în cerința III.5 $a$ este necunoscuta, iar în cerința III.6, $n$ este natural și nenul. Litera $t$ din rezolvarea cerinței II.5 este notația noastră pentru $3^{x^2}$ și nu apare în enunț.