Subiect Bac matematică pedagogic, model 2021 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2021 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{3}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $f(n)<0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(x^2-1\right)=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $20\%$, prețul unui obiect este $660$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $M(2,0)$ și este paralelă cu dreapta $d$ de ecuație $y=3x$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria rombului $ABCD$, știind că $AC=2\sqrt{5}$ și $BD=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=3xy+7(x+y)+14$.

1. (5 puncte) Arătați că $(-3)\ast 3=-13$.

2. (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=x$.

5. (5 puncte) Arătați că $x\ast \frac{1}{x}\ge 31$, pentru orice număr real $x$, $x>0$.

6. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $3^x\ast 3^x=83$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a& 3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(1)\right)=8$.

2. (5 puncte) Arătați că $A(0)\cdot A(2020)=3A(2020)$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det \left(A(a)\right)=-16$.

4. (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(2)+\dots +A(10)=10A\left(\frac{11}{2}\right)$.

5. (5 puncte) Determinați numărul natural $m$ pentru care matricea $B=A(m)+A\left(m^2\right)$ nu este inversabilă.

6. (5 puncte) Determinați perechile de numere întregi $(a,b)$ pentru care suma elementelor matricei $A(a)\cdot A(b)$ este egală cu $2$.

Barem și răspunsuri

Soluțiile păstrează rândurile foii de evaluare: la sfârșitul fiecărui rând, îngroșat, stau punctele lui. Un rând are 2 sau 3 puncte, iar două rânduri alcătuiesc o cerință de 5 puncte; cele 18 cerințe fac 90 de puncte, iar oficiul adaugă 10, până la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții cu radicali la numitor.

Numitorii $\sqrt{3}-1$ și $\sqrt{3}+1$ au produsul ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2=2$, deci fracțiile se aduc la numitorul comun $2$: $$\sqrt{3}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $2\sqrt{3}$, așa că fracția este $\sqrt{3}$, iar expresia devine $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — o inecuație cu valori naturale.

Funcția dă $f(n)=n-2$, deci condiția $f(n)<0$ înseamnă $n-2<0$ (2 p). De aici $n<2$. Numerele naturale mai mici decât $2$ sunt $0$ și $1$, așadar $\mathbf{n}\in \{0,1\}$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în baza $3$ al lui $t$ este egal cu $1$ numai pentru $t=3^1=3$, deci argumentul trebuie să fie $3$: $$x^2-1=3,\text{adica˘}{x}^2-4=0\text{(3 p)}.$$ Soluțiile sunt $\mathbf{x}=-2$ și $\mathbf{x}=2$. Argumentul logaritmului este $x^2-1=3>0$ în ambele cazuri, deci amândouă convin (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — prețul de dinainte de scumpire.

Fie $x$ prețul de dinainte, în lei. După scumpirea cu $20\%$ prețul este $x+\frac{20}{100}\cdot x$, iar acesta este $660$: $$x+\frac{20}{100}\cdot x=660\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{6x}{5}$, deci $x=660\cdot \frac{5}{6}=550$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — paralela printr-un punct.

Dreapta $d:y=3x$ are panta $3$. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are panta $3$ (2 p). Ea trece prin $M(2,0)$, așa că ecuația ei este $y-0=3(x-2)$, adică $$\mathbf{y}=3x-6\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui romb din diagonale.

Aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}$ (2 p). Cu $AC=2\sqrt{5}$ și $BD=4$: $${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{2\sqrt{5}\cdot 4}{2}=4\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea pentru o pereche.

În definiția legii se pun $x=-3$ și $y=3$: $$(-3)\ast 3=3\cdot (-3)\cdot 3+7\left((-3)+3\right)+14\text{(3 p)}.$$ Suma din paranteză este $0$, deci termenul cu $7$ dispare: $(-3)\ast 3=-27+0+14=-13$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Se compară $x\ast y$ cu $y\ast x$. Cum $xy=yx$ și $x+y=y+x$ pentru orice numere reale, $$x\ast y=3xy+7(x+y)+14=3yx+7(y+x)+14\text{(3 p)}.$$ Ultima expresie este definiția lui $y\ast x$, deci $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x$ și $y$ reali, iar legea „$\ast$” este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Termenul liber se scrie $14=\frac{49}{3}-\frac{7}{3}$, ca să se potrivească desfacerea produsului $3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)$: $$x\ast y=3xy+7x+7y+\frac{49}{3}-\frac{7}{3}\text{(3 p)}.$$ Se scoate $3x$ din $3xy+7x$ și $7$ din $7y+\frac{49}{3}$, iar apoi factorul comun $y+\frac{7}{3}$: $$x\ast y=3x\left(y+\frac{7}{3}\right)+7\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}=3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3},$$ oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuația $x\ast x=x$.

Cu $y=x$ în forma cu doi factori, $x\ast x=3{\left(x+\frac{7}{3}\right)}^2-\frac{7}{3}$ (2 p). Ecuația $x\ast x=x$ este $3{\left(x+\frac{7}{3}\right)}^2-\frac{7}{3}=x$. Notând $u=x+\frac{7}{3}$, deci $x=u-\frac{7}{3}$, ea devine $3u^2-\frac{7}{3}=u-\frac{7}{3}$, adică $3u^2-u=u(3u-1)=0$. Cum $3u-1=3x+6$, ecuația este $$\left(x+\frac{7}{3}\right)(3x+6)=0,$$ deci $\mathbf{x}=-\frac{7}{3}$ sau $\mathbf{x}=-2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o inegalitate pentru $x>0$.

Pentru $x>0$, numărul $\frac{1}{x}$ este definit, iar în lege $y=\frac{1}{x}$ și $xy=1$: $$x\ast \frac{1}{x}=3\cdot x\cdot \frac{1}{x}+7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=17+7\left(x+\frac{1}{x}\right).$$ Inegalitatea $\ge 31$ este echivalentă cu $7\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge 14$, adică cu $x+\frac{1}{x}\ge 2$ (3 p). Totul se aduce într-un membru: $x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1{)}^2}{x}$. Numărătorul este un pătrat, deci $\ge 0$, iar numitorul $x$ este pozitiv, deci fracția este $\ge 0$. Pașii fiind echivalențe, $x\ast \frac{1}{x}\ge 31$ pentru orice $x>0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o ecuație cu $3^x$.

Se notează $t=3^x$, cu $t>0$. Din forma cu doi factori, $3^x\ast 3^x=83$ devine $$3{\left(t+\frac{7}{3}\right)}^2-\frac{7}{3}=83,\text{adica˘}{\left(t+\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{256}{9}\text{(2 p)}.$$ Aici $83+\frac{7}{3}=\frac{256}{3}$, iar împărțirea la $3$ dă $\frac{256}{9}$. Deci $t+\frac{7}{3}=\frac{16}{3}$ sau $t+\frac{7}{3}=-\frac{16}{3}$. A doua egalitate dă $t=-\frac{23}{3}<0$, imposibil, deoarece $3^x>0$. Prima dă $t=3$, adică $3^x=3$ și $\mathbf{x}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $a=1$ se obține $A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, iar determinantul este $$\det \left(A(1)\right)=3\cdot 3-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\det \left(A(1)\right)=9-1=8$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: un produs cu $A(0)$.

Pentru $a=0$, $A(0)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I_2$ (2 p). Matricea $I_2$ lasă neschimbată orice matrice cu care se înmulțește, deci $A(0)\cdot A(2020)=3I_2\cdot A(2020)=3A(2020)$ (3 p). Același rezultat se obține element cu element: $$A(0)\cdot A(2020)=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 3+0\cdot 2020& 3\cdot 2020+0\cdot 3\\ 0\cdot 3+3\cdot 2020& 0\cdot 2020+3\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 6060\\ 6060& 9\end{array}\right)=3A(2020).$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: ecuație cu determinantul.

Determinantul este $\det \left(A(a)\right)=3\cdot 3-a\cdot a=9-a^2$, pentru orice $a$ real (2 p). Ecuația $9-a^2=-16$ dă $a^2=25$, adică $a^2-25=0$, deci $\mathbf{a}=-5$ sau $\mathbf{a}=5$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: suma a zece matrice.

Fiecare $A(k)$, cu $k=1,2,\dots ,10$, are $3$ pe diagonala principală și $k$ pe cealaltă. Matricele se adună pe poziții: pe diagonala principală se adună de zece ori numărul $3$, iar în celelalte două poziții se adună numerele de la $1$ la $10$: $$A(1)+A(2)+\dots +A(10)=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 10& 1+2+\dots +10\\ 1+2+\dots +10& 3\cdot 10\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cum $3\cdot 10=30$ și $1+2+\dots +10=\frac{10\cdot 11}{2}=55$, suma este $\left(\begin{array}{cc}30& 55\\ 55& 30\end{array}\right)$. Se scoate factorul $10$: $\left(\begin{array}{cc}30& 55\\ 55& 30\end{array}\right)=10\left(\begin{array}{cc}3& \frac{11}{2}\\ \frac{11}{2}& 3\end{array}\right)=10A\left(\frac{11}{2}\right)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: când $B$ nu este inversabilă.

Suma $B=A(m)+A\left(m^2\right)$ are $3+3=6$ pe diagonală și $m+m^2$ pe cealaltă diagonală, deci $$\det B=6\cdot 6-\left(m+m^2\right)\left(m+m^2\right)=36-{\left(m+m^2\right)}^2,\text{pentru orice }m\text{ natural}\text{(2 p)}.$$ Matricea $B$ nu este inversabilă exact când $\det B=0$, adică ${\left(m+m^2\right)}^2=36$. De aici $m+m^2=6$ sau $m+m^2=-6$. Pentru $m$ natural, $m+m^2\ge 0$, deci rămâne $m+m^2=6$, adică $m^2+m-6=(m-2)(m+3)=0$. Soluțiile $2$ și $-3$ sunt singurele; numai $2$ este natural, deci $\mathbf{m}=2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o sumă de elemente egală cu $2$.

Produsul se face poziție cu poziție: $$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 3+a\cdot b& 3\cdot b+a\cdot 3\\ a\cdot 3+3\cdot b& a\cdot b+3\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9+ab& 3a+3b\\ 3a+3b& ab+9\end{array}\right).$$ Adunând cele patru elemente, $(9+ab)+(3a+3b)+(3a+3b)+(ab+9)=2ab+6a+6b+18$. Condiția din enunț este deci $2(9+ab)+6(a+b)=2$, iar după împărțirea la $2$: $ab+3a+3b+9=1$ (2 p). Membrul stâng se scrie ca produs de doi factori, deci $(a+3)(b+3)=1$. Numerele $a+3$ și $b+3$ sunt întregi cu produsul $1$, deci ambele sunt $1$ sau ambele sunt $-1$. Din $a+3=b+3=1$ rezultă $(a,b)=(-2,-2)$, iar din $a+3=b+3=-1$ rezultă $(a,b)=(-4,-4)$. Perechile sunt $(-2,-2)$ și $(-4,-4)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia modelului de matematică M_pedagogic pentru Bacalaureatul 2021, la filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, nu are număr de variantă: în colțul din dreapta sus stă cuvântul „Model”. Cele trei subiecte au câte șase cerințe de 5 puncte, deci în total 90 de puncte; candidatul lucrează trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile reproduc foaia oficială, iar rezolvările, capcanele și întrebările de ghidaj sunt ale Matepolis; punctele fiecărei rezolvări urmează rândurile foii de evaluare.

Cuprins. Primul subiect începe cu produsul $\sqrt{3}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)$, continuă cu inecuația $f(n)<0$ pentru $f(x)=x-2$, cu ecuația ${\log }_3\left(x^2-1\right)=1$, cu o scumpire de $20\%$ și cu o dreaptă paralelă cu $y=3x$ prin $M(2,0)$, și se încheie cu aria unui romb. Al doilea subiect definește legea $x\ast y=3xy+7(x+y)+14$, pe care cerința II.3 o scrie ca $3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}$; forma aceasta este folosită la cerințele II.4 și II.6. Al treilea subiect lucrează cu matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a& 3\end{array}\right)$ și cu sume, determinanți, inversabilitate și o egalitate cu suma elementelor.

Locul în programă. Din programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014): inecuația cu funcția $f(x)=x-2$ este de clasa a IX-a; radicalii, logaritmul, ecuațiile logaritmice și cele exponențiale, procentele și dreapta paralelă cu o dreaptă dată sunt de clasa a X-a; legile de compoziție sunt de clasa a XI-a; matricele, determinanții și inversabilitatea, de clasa a XII-a. Aria rombului din itemul 6 este o noțiune de gimnaziu, nelegată de un capitol al programei de liceu. Pentru itemul 2 se poate relua lecția Inecuații pe condiții de lucru, la tehnologic, iar pentru cerința II.2, lecția Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru.

Capcane cu dovada lor.

• Exercițiul 2: numărul $0$ este natural și verifică inecuația, pentru că $f(0)=-2<0$; numărul $2$ nu o verifică, deoarece $f(2)=0$, iar inegalitatea este strictă.
• Exercițiul 3: ambele valori $x=\pm 2$ convin, fiindcă argumentul logaritmului este $x^2-1=3>0$ și pentru $2$, și pentru $-2$.
• Exercițiul 4: procentul se aplică prețului de dinainte; dacă s-ar scădea $20\%$ din $660$ s-ar obține $528$, dar $\frac{6}{5}\cdot 528=\frac{3168}{5}\ne 660$, iar prețul cerut este $550$.
• Exercițiul 5: dreapta $y=3x$ are aceeași pantă, dar trece prin origine, nu prin $M(2,0)$: la $x=2$ ea dă $6$, nu $0$.
• Exercițiul 6: aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor; produsul întreg, $2\sqrt{5}\cdot 4=8\sqrt{5}$, este dublul ariei $4\sqrt{5}$.
• Cerința II.1: suma $(-3)+3$ este $0$; cu $3+3$ în locul ei s-ar aduna $7\cdot 6=42$ și s-ar obține $-27+42+14=29$ în loc de $-13$.
• Cerința II.3: în produsul $3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)$ termenul liber este $3\cdot \frac{49}{9}=\frac{49}{3}$, iar $\frac{49}{3}-\frac{7}{3}=14$, termenul liber al legii.
• Cerința II.4: ecuația $x\ast x=x$ are două soluții; pentru $x=-\frac{7}{3}$ se obține $\left(-\frac{7}{3}\right)\ast \left(-\frac{7}{3}\right)=-\frac{7}{3}$, iar pentru $x=-2$ se obține $(-2)\ast (-2)=-2$.
• Cerința II.5: condiția $x>0$ este necesară; la $x=-1$ avem $x+\frac{1}{x}=-2<2$, deci inegalitatea nu s-ar mai păstra. La $x=1$ se obține chiar egalitatea, $1\ast 1=31$.
• Cerința II.6: ramura negativă a ecuației ${\left(3^x+\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{256}{9}$ dă $3^x=-\frac{23}{3}$, imposibil, pentru că $3^x>0$.
• Cerința III.4: suma $1+2+\dots +10$ este $\frac{10\cdot 11}{2}=55$, nu $10\cdot 11=110$.
• Cerința III.5: ecuația ${\left(m+m^2\right)}^2=36$ dă $m+m^2=6$ sau $m+m^2=-6$; a doua este imposibilă pentru $m$ natural, iar prima are soluțiile $2$ și $-3$, dintre care numai $2$ este natural.
• Cerința III.6: perechile $(-2,-4)$ și $(-4,-2)$ nu verifică egalitatea, pentru că $(-2+3)(-4+3)=-1$, nu $1$.

Despre litere. Exercițiul 2: $f$ este funcția dată, iar $n$ este numărul natural căutat. Exercițiul 3: $x$ este necunoscuta. Exercițiul 4: $x$ este prețul de dinainte de scumpire, notat de rezolvare. Exercițiul 5: $d$ este dreapta dată, $M$ este punctul prin care trece dreapta căutată, iar $x$ și $y$ sunt coordonatele unui punct oarecare al ei. Exercițiul 6: $ABCD$ este rombul, iar $AC$ și $BD$ sunt diagonalele lui. În problema cu legea, $x$ și $y$ iau valori reale arbitrare la cerințele II.2 și II.3; $x$ este necunoscuta la cerințele II.4 și II.6 (la cerința II.6 ca exponent al lui $3$, iar $t=3^x$ este notația rezolvării) și un număr real pozitiv oarecare la cerința II.5; la cerința II.4, $u=x+\frac{7}{3}$ este tot o notație a rezolvării. În problema cu matrice, $A(a)$ este familia dată; la cerința III.4, $k$ numără matricele din sumă; $a$ este necunoscut la cerința III.3, $m$ este numărul natural căutat la cerința III.5, iar $a$ și $b$ sunt numerele întregi căutate la cerința III.6.