Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2016 (varianta 8) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2016 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $48 - 27 = 3$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ și $g : R \to R$ , $g (x) = 2 - x$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{8 - 3 x} = 9$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele $5$ , $6$ , $7$ , $8$ și $9$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 4)$ , $B (5, 4)$ și $C (5, 8)$ . Arătați că $A B = B C$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ} + cos 6 0^{\circ} = 1$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y - x - y + 1$ .

1. (5 puncte) Arătați că $1 \circ 2016 = 0$ .

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = (x - 1) (y - 1)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ , pentru care $(x - 1) \circ x = 0$ .

5. (5 puncte) Arătați că $x^{2} \circ x^{2} = (x - 1)^{2} (x + 1)^{2}$ , pentru orice număr real $x$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale $a$ și $b$ , știind că $a \circ b = 3$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A = (2 - 4 1 - 2)$ , $I_{2} = (1001)$ și $M (a) = A + a I_{2}$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det A = 0$ .

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ , pentru care $det (M (a)) = 16$ .

3. (5 puncte) Arătați că $M (- 1) + M (0) + M (1) = 3 A$ .

4. (5 puncte) Demonstrați că $M (a) \cdot M (b) = (a + b) A + ab I_{2}$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .

5. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ , pentru care matricea $M (a)$ este inversabilă.

6. (5 puncte) Rezolvați în $M_{2} (R)$ ecuația $M (1) \cdot X = A$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările urmează rândurile punctate ale foii oficiale; numărul îngroșat din paranteză este valoarea rândului în cele 5 puncte ale cerinței. Toate cele 18 cerințe au câte două rânduri, cu $3 + 2$ sau $2 + 3$ puncte, iar împreună cu oficiul lucrarea are 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — o diferență de radicali.

Descompunem numerele de sub radical în câte un pătrat perfect înmulțit cu $3$ : $48 = 16 \cdot 3$ și $27 = 9 \cdot 3$ . Pătratul perfect iese de sub radical prin rădăcina lui: $48 = 16 \cdot 3 = 43, 27 = 9 \cdot 3 = 33 (2 p) .$ Termenii au același radical, deci coeficienții se scad: $43 - 33 = (4 - 3) 3 = 3$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția graficelor a două funcții.

Abscisa punctului comun se află din $f (x) = g (x)$ , iar ordonata se obține înlocuind-o în oricare dintre cele două funcții: $f (x) = g (x) ⟺ 2 x - 1 = 2 - x ⟺ 3 x = 3 (3 p) .$ Rezultă $x = 1$ , iar $f (1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ și $g (1) = 2 - 1 = 1$ coincid. Punctul de intersecție este $(1, 1)$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Scriem $9 = 3^{2}$ , ca ambii membri să fie puteri ale lui $3$ ; două puteri egale ale aceleiași baze au exponenții egali: $3^{8 - 3 x} = 3^{2} ⟺ 8 - 3 x = 2 (3 p) .$ Atunci $3 x = 6$ , deci $x = 2$ ; verificare: $3^{8 - 6} = 3^{2} = 9$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numere pare formate cu cifre date.

Un număr natural este par când cifra unităților este pară. Dintre cifrele $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ sunt pare doar $6$ și $8$ , deci cifra unităților se alege în $2$ moduri (2 p).

Cifrele pot fi repetate: enunțul nu le cere distincte, deci cifra zecilor este oricare dintre cele cinci, indiferent de cea aleasă la unități. Numerele sunt $56, 66, 76, 86, 96$ (unități $6$ ) și $58, 68, 78, 88, 98$ (unități $8$ ); în total $2 \cdot 5 = 10$ numere (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — două distanțe egale în reper.

Din formula distanței dintre două puncte, $A B = (5 - 1)^{2} + (4 - 4)^{2} = 16 = 4$ (2 p).

La fel, $B C = (5 - 5)^{2} + (8 - 4)^{2} = 16 = 4$ . Cum $A B = 4 = B C$ , egalitatea este demonstrată (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute ale unghiurilor remarcabile sunt $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ și $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ (3 p). Atunci $sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ} + cos 6 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1 (2 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x = 1$ și $y = 2016$ în $x \circ y = x y - x - y + 1$ : $1 \circ 2016 = 1 \cdot 2016 - 1 - 2016 + 1 (3 p) .$ Prima pereche de termeni dă $2016 - 1 = 2015$ , a doua dă $- 2016 + 1 = - 2015$ , iar suma lor este $0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Scriem $y \circ x$ cu aceeași definiție, schimbând rolurile lui $x$ și $y$ : $y \circ x = y x - y - x + 1$ (2 p).

Înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, deci $y x = x y$ și $- y - x = - x - y$ ; atunci $y \circ x = x y - x - y + 1 = x \circ y,$ oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ , așadar legea „ $\circ$ ” este comutativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — forma cu factori a legii.

Scriem $- y + 1$ ca $- (y - 1)$ : $x \circ y = x y - x - y + 1 = x y - x - (y - 1)$ (2 p).

Din primii doi termeni se scoate factorul comun $x$ , adică $x y - x = x (y - 1)$ ; apoi $x (y - 1) - (y - 1)$ are factorul comun $y - 1$ : $x \circ y = x (y - 1) - (y - 1) = (x - 1) (y - 1),$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu primul operand $x - 1$ .

Primul operand este $x - 1$ , iar al doilea este $x$ . Forma de la cerința II.3, cu $x - 1$ în locul lui $x$ și cu $x$ în locul lui $y$ , dă $(x - 1) \circ x = ((x - 1) - 1) (x - 1) = (x - 2) (x - 1) (2 p) .$ Un produs de două numere reale este nul când unul dintre ele este nul: $x - 2 = 0$ sau $x - 1 = 0$ , adică $x = 1$ sau $x = 2$ . Verificare: $0 \circ 1 = (0 - 1) (1 - 1) = 0$ și $1 \circ 2 = (1 - 1) (2 - 1) = 0$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o identitate cu pătrate.

Cu $x^{2}$ în locul lui $x$ și al lui $y$ , forma de la cerința II.3 dă $x^{2} \circ x^{2} = (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) (2 p) .$ Diferența de pătrate $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ se aplică fiecărui factor: $x^{2} \circ x^{2} = (x - 1) (x + 1) (x - 1) (x + 1) = (x - 1)^{2} (x + 1)^{2},$ pentru orice număr real $x$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație în numere naturale.

Din forma de la cerința II.3, egalitatea $a \circ b = 3$ înseamnă $(a - 1) (b - 1) = 3$ (2 p).

Numerele $a - 1$ și $b - 1$ sunt întregi cu produsul $3$ , deci perechile $(a - 1, b - 1)$ sunt $(1, 3)$ , $(3, 1)$ , $(- 1, - 3)$ și $(- 3, - 1)$ ; ele dau $(a, b) \in {(2, 4), (4, 2), (0, - 2), (- 2, 0)}$ . Doar primele două perechi au ambele numere naturale: $a = 2$ , $b = 4$ sau $a = 4$ , $b = 2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul matricei $A$ .

Determinantul se scrie cu produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $det A = 2 - 4 1 - 2 = 2 \cdot (- 2) - (- 4) \cdot 1$ (3 p).

Produsele sunt $- 4$ și $- 4$ , iar $- 4 - (- 4) = - 4 + 4 = 0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — o ecuație cu determinantul lui $M (a)$ .

Numărul $a$ se adună doar pe diagonală, deci $M (a) = A + a I_{2} = (2 + a - 4 1 - 2 + a)$ , iar determinantul este $det (M (a)) = (2 + a) (- 2 + a) - 1 \cdot (- 4) = a^{2} - 4 + 4 = a^{2} (3 p) .$ Ecuația $a^{2} = 16$ are rădăcinile $a = - 4$ și $a = 4$ ; în ambele cazuri determinantul este $16$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — suma $M (- 1) + M (0) + M (1)$ .

Din definiția lui $M (a)$ , cu $a = - 1$ , $a = 0$ și $a = 1$ : $M (- 1) + M (0) + M (1) = (A + (- 1) \cdot I_{2}) + (A + 0 \cdot I_{2}) + (A + 1 \cdot I_{2}) (3 p) .$ Aceasta este $A - I_{2} + A + A + I_{2}$ ; termenii $- I_{2}$ și $+ I_{2}$ se reduc, iar $A + A + A = 3A$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — produsul $M (a) \cdot M (b)$ .

Produsul $A \cdot A$ se face linie cu coloană: $2 \cdot 2 + 1 \cdot (- 4) = 0$ , $2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) = 0$ , $(- 4) \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 4) = 0$ și $(- 4) \cdot 1 + (- 2) \cdot (- 2) = 0$ , deci $A \cdot A = O_{2}$ (2 p).

Desfacem produsul, ținând seama că $I_{2}$ nu schimbă o matrice la înmulțire și că numerele $a$ , $b$ ies în fața matricelor: $M (a) \cdot M (b) = (A + a I_{2}) (A + b I_{2}) = A \cdot A + b A + a A + ab I_{2} = (a + b) A + ab I_{2},$ pentru orice numere reale $a$ și $b$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — valorile lui $a$ pentru care $M (a)$ este inversabilă.

O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul: $M (a)$ este inversabilă $⟺ det (M (a)) \neq = 0$ (2 p).

Din cerința III.2, $det (M (a)) = a^{2}$ , iar $a^{2} \neq = 0$ exact când $a \neq = 0$ . Așadar $M (a)$ este inversabilă pentru $a \in R ∖ {0}$ ; pentru $a = 0$ avem $M (0) = A$ și $det A = 0$ , deci $A$ nu are inversă (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație matriceală cu $M (1)$ .

Matricea $M (1) = A + 1 \cdot I_{2} = (3 - 4 1 - 1)$ are determinantul $3 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 4) = 1 \neq = 0$ , deci este inversabilă. Formula inversei de ordinul 2 (se schimbă între ele elementele diagonalei principale, se schimbă semnele celorlalte două, se împarte la determinant) dă $(M (1))^{- 1} = \frac{1}{1} (- 1 4 - 1 3) = (- 1 4 - 1 3) (2 p) .$ Verificare, în ambele ordini: $M (1) \cdot M (1)^{- 1}$ și $M (1)^{- 1} \cdot M (1)$ au elementele $1$ , $0$ , $0$ , $1$ , adică sunt $I_{2}$ .

Matricea $M (1)$ stă în stânga lui $X$ , deci ecuația se înmulțește la stânga cu inversa ei: $X = (M (1))^{- 1} \cdot A = (- 1 4 - 1 3) (2 - 4 1 - 2) = (2 - 4 1 - 2) (3 p) .$ Elementele produsului sunt $(- 1) \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 4) = 2$ , $(- 1) \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 2) = 1$ , $4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 4) = - 4$ și $4 \cdot 1 + 3 \cdot (- 2) = - 2$ ; se observă că $X = A$ .

Pentru părinți și profesori

Varianta 8 din sesiunea iunie 2016 a probei E. c) de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare) are trei subiecte obligatorii, fiecare cu șase cerințe de 5 puncte, iar cele 18 cerințe valorează în total 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Lucrarea durează trei ore. Enunțurile sunt copiate de pe foaia oficială, iar rezolvările și ghidajul interactiv, construite pe rândurile punctate ale foii de evaluare, sunt scrise de Matepolis.

Ce cuprinde. Subiectul I cere o scădere de radicali, intersecția a două drepte, o ecuație exponențială, numărarea numerelor pare formate cu cinci cifre date, două distanțe egale în reperul cartezian și o expresie trigonometrică. Subiectul al II-lea se bazează pe legea $x \circ y = x y - x - y + 1$ : o valoare, comutativitatea, o formă cu paranteze, o ecuație, o identitate cu pătrate și o ecuație în numere naturale. Subiectul al III-lea pornește de la matricea $A$ și de la familia $M (a) = A + a I_{2}$ : un determinant nul, determinantul familiei, o sumă, un produs, inversabilitatea și o ecuație matriceală.

Locul în programă. Această variantă din 2016 se încadrează în programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, valabilă din Bacalaureatul 2015. Din clasa a IX-a vin graficele funcțiilor de gradul I și valorile trigonometrice ale unghiurilor de $4 5^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ ; din clasa a X-a, radicalii, ecuațiile exponențiale, numărarea și distanța dintre două puncte; din clasa a XI-a, legile de compoziție; din clasa a XII-a, matricele, determinantul, inversa și ecuațiile matriceale. Pentru radicali se poate relua lecția Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic, iar pentru ecuația cu matrice lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 1: din $27 = 9 \cdot 3$ iese factorul $3$ , nu $9$ : $27 = 33$ , iar pătratul lui $93$ este $243$ , nu $27$ .
Exercițiul 2: intersecția celor două grafice cere $f (x) = g (x)$ , nu $f (x) = 0$ . Ecuația $f (x) = 0$ dă $x = \frac{1}{2}$ , abscisa intersecției cu axa $O x$ , dar $g (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ , deci punctul $(\frac{1}{2}, 0)$ nu este pe graficul lui $g$ .
Exercițiul 3: egalarea exponenților cere aceeași bază, deci $9$ se scrie $3^{2}$ ; din $8 - 3 x = 9$ ar ieși $x = - \frac{1}{3}$ , dar atunci $3^{8 - 3 x}$ ar fi $3^{9} = 19683$ , nu $9$ .
Exercițiul 4: enunțul nu cere cifre distincte, deci cifra zecilor poate fi aleasă dintre toate cele cinci cifre, chiar și dintre cele folosite la unități: $2 \cdot 5 = 10$ numere, nu $2 \cdot 4 = 8$ .
Exercițiul 5: se compară $A B$ cu $B C$ , nu cu $A C$ . Segmentul $A C$ are lungimea $42$ , fiindcă $4^{2} + 4^{2} = 32$ și $32 = 42$ ; este altă lungime și nu egalează pe $4$ .
Exercițiul 6: produsul $\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2}$ este $\frac{2}{4}$ , fiindcă $2 \cdot 2 = 2$ . Cu $\frac{2}{4}$ în locul lui $\frac{2}{4}$ , suma $\frac{2}{4} + \frac{1}{2}$ ar fi mai mică decât $1$ .
Cerința II.2: egalitatea verificată pe o singură pereche nu dovedește comutativitatea. Legea $x ⋆ y = x^{2} y$ dă $0 ⋆ 5 = 0 = 5 ⋆ 0$ , dar $1 ⋆ 2 = 2$ , iar $2 ⋆ 1 = 4$ .
Cerința II.3: în $x y - x - (y - 1)$ , minusul din fața parantezei schimbă semnul ambilor termeni: $- (y - 1) = - y + 1$ , nu $- y - 1$ . Cu $- y - 1$ s-ar obține o expresie care la $x = y = 0$ dă $- 1$ , iar $0 \circ 0 = 1$ .
Cerința II.4: primul operand este $x - 1$ , deci primul factor al formulei este $(x - 1) - 1 = x - 2$ . Dacă ambii factori ar fi $x - 1$ , produsul ar fi pătratul lui $x - 1$ , care se anulează numai la $x = 1$ , și s-ar pierde soluția $x = 2$ , deși $(2 - 1) \circ 2 = 1 \circ 2 = 0$ .
Cerința II.5: $(x^{2} - 1)^{2}$ nu este $x^{4} - 1$ , ci $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ ; pentru $x = 2$ avem $(4 - 1)^{2} = 9$ , iar $2^{4} - 1 = 15$ .
Cerința II.6: produsul $3$ are și descompuneri cu factori negativi, $(- 1) (- 3)$ și $(- 3) (- 1)$ . Ele dau $a = 0$ , $b = - 2$ și $a = - 2$ , $b = 0$ , iar $- 2$ nu este număr natural, deci perechile se resping.
Cerința III.1: minusul din fața produsului diagonalei secundare se aplică numărului $(- 4) \cdot 1 = - 4$ , deci se adună $4$ . Dacă paranteza se uită, $2 \cdot (- 2) - 4 \cdot 1$ ar da $- 8$ , nu $0$ .
Cerința III.2: ecuația $a^{2} = 16$ are două soluții, nu una. Pentru $a = - 4$ matricea $M (- 4)$ are elementele $- 2$ , $1$ , $- 4$ și $- 6$ , iar determinantul ei este $(- 2) (- 6) - 1 \cdot (- 4) = 16$ , ca la $a = 4$ .
Cerința III.3: $M (0) = A + 0 \cdot I_{2} = A$ , nu $O_{2}$ . Fără $M (0)$ , suma $M (- 1) + M (1) = (A - I_{2}) + (A + I_{2})$ ar fi $2 A$ , nu $3 A$ .
Cerința III.4: produsul $A \cdot A$ se face linie cu coloană, nu pe poziții. Pe poziții elementele ar fi $2 \cdot 2 = 4$ , $1 \cdot 1 = 1$ , $(- 4) (- 4) = 16$ și $(- 2) (- 2) = 4$ , adică liniile $(4, 1)$ și $(16, 4)$ , iar produsul adevărat este $O_{2}$ .
Cerința III.5: valorile $- 4$ și $4$ din cerința III.2 fac determinantul $16$ , nu $0$ ; matricele $M (- 4)$ și $M (4)$ sunt inversabile. Singura valoare care anulează determinantul $a^{2}$ este $a = 0$ , iar $M (0) = A$ are $det A = 0$ .
Cerința III.6: numărul $1$ din $M (1) = A + 1 \cdot I_{2}$ se adună numai pe diagonală, fiindcă $1 \cdot I_{2}$ are zero în afara ei. Adunat la toate elementele lui $A$ , ar fi dat matricea cu liniile $(3, 2)$ și $(- 3, - 1)$ , al cărei determinant este $- 3 + 6 = 3$ , nu $1$ .

Despre litere. În itemul 2, $f$ și $g$ sunt numele funcțiilor, iar $x$ este abscisa căutată. În itemul 3, $x$ este necunoscuta din exponent. În itemul 5, $A$ , $B$ și $C$ sunt punctele date. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt numere reale arbitrare; $x$ devine necunoscută la cerința II.4 și rămâne arbitrar la cerința II.5; la cerința II.6, $a$ și $b$ sunt numerele naturale căutate. În Subiectul III, $A$ , $I_{2}$ și $M (a)$ sunt matrice date, iar $a$ este parametrul real al lui $M (a)$ : necunoscută la cerințele III.2 și III.5, număr arbitrar la cerința III.4, unde apare și $b$ ; $X$ de la cerința III.6 este matricea necunoscută. Literele $a$ și $b$ din Subiectul II nu au legătură cu cele din Subiectul III.