Subiect Bac matematică pedagogic, august 2017 (varianta 10) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2017 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{\frac{9}{25}}-\frac{33}{55}=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația $3(x-1)<6$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4\left(x^2+4x+6\right)={\log }_{4}2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele $1,2,3,4$ și $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,1)$, $N(4,1)$ și $P(4,4)$. Arătați că triunghiul $MNP$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $BC=12$. Arătați că $m(\sphericalangle C)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+7(x+y)+42$.

1. (5 puncte) Arătați că $\sqrt{2}\ast \left(-\sqrt{2}\right)=40$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=-6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $2\ast a=65$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, $x>0$ pentru care $\left({\log }_{2}x\right)\ast \left({\log }_{2}x\right)=42$.

6. (5 puncte) Determinați numerele întregi $m$ pentru care $m\ast (2-m)\ge 57$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}6& -5\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 1& 6\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot B-B\cdot A=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A+xB)=1-3x$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\right)$.

5. (5 puncte) Arătați că $\det (A+B)+\det (A-B)=2(\det A+\det B)$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $A\cdot X-B=I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Barem și răspunsuri

Rândurile punctate ale foii oficiale sunt păstrate: cifra îngroșată din paranteză arată câte puncte din 5 valorează rândul. Toate cerințele au două rânduri, cu o singură excepție: cerința III.5 are trei rânduri, de 2 + 2 + 1 puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — un radical dintr-o fracție și o diferență de fracții.

Rădăcina pătrată a unei fracții este câtul rădăcinilor, deci $\sqrt{9}=3$ și $\sqrt{25}=5$: $$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\text{(2 p)}.$$ Fracția $\frac{33}{55}$ se simplifică prin $11$, deci $\frac{33}{55}=\frac{3\cdot 11}{5\cdot 11}=\frac{3}{5}$ și $$\frac{3}{5}-\frac{33}{55}=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}=0\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — inecuație în numere naturale nenule.

Împărțim inecuația $3(x-1)<6$ cu numărul pozitiv $3$, iar sensul rămâne același, apoi adunăm $1$: $$x-1<2⟺x<3\text{(2 p)}.$$ Numerele naturale nenule mai mici decât $3$ sunt $1$ și $2$; numărul $0$ nu este nenul, iar $3$ nu este mai mic decât $3$. Deci $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=2$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică în baza $4$.

Pentru orice $x$ real, argumentul $x^2+4x+6=(x+2{)}^2+2$ are valoarea cel puțin $2$, deci logaritmul din stânga există; logaritmul din dreapta are argumentul $2$, tot pozitiv. Logaritmii au aceeași bază, deci argumentele sunt egale: $$x^2+4x+6=2⟺x^2+4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este pătratul lui $x+2$, iar un pătrat este nul numai când baza lui este nulă: $x+2=0$, adică $\mathbf{x}=-2$. Verificare: argumentul este $(-2{)}^2+4\cdot (-2)+6=2$, iar ${\log }_{4}2={\log }_{4}2$, deci soluția convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numere impare formate cu cifre date.

Un număr este impar când cifra unităților este impară. Dintre cifrele $1,2,3,4,5$ sunt impare $1$, $3$ și $5$, deci cifra unităților se alege în $3$ moduri (2 p).

Enunțul nu cere cifre distincte: odată fixată cifra unităților, pentru zeci se pot lua toate cele cinci cifre, adică $5$ moduri. Regula produsului dă $3\cdot 5=15$ numere: cu unitățile $1$ sunt $11$, $21$, $31$, $41$, $51$; cu unitățile $3$ sunt $13$, $23$, $33$, $43$, $53$; cu unitățile $5$ sunt $15$, $25$, $35$, $45$, $55$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — un triunghi isoscel în reper.

Punctele $M(1,1)$ și $N(4,1)$ au aceeași ordonată, iar formula distanței dă $$MN=\sqrt{(4-1{)}^2+(1-1{)}^2}=3\text{(2 p)}.$$ Punctele $N(4,1)$ și $P(4,4)$ au aceeași abscisă: $NP=\sqrt{(4-4{)}^2+(4-1{)}^2}=3$. Cum $MN=NP$, triunghiul $MNP$ este isoscel; a treia latură, $MP=\sqrt{(4-1{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{18}$, este mai lungă (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — măsura unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic.

Triunghiul este dreptunghic în $A$, așa că $BC=12$ este ipotenuza, iar $AB=6$ stă în fața unghiului $C$, adică este cateta opusă lui. Pentru un unghi ascuțit, sinusul se obține împărțind cateta opusă la ipotenuză: $$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}\text{(2 p)}.$$ Raportul este $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, iar din tabelul valorilor $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Cum $A$ este unghiul drept, celelalte două unghiuri ale triunghiului, deci și $C$, sunt ascuțite; prin urmare $m(\sphericalangle C)=30^{\circ }$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere cu radicali.

Punem $x=\sqrt{2}$ și $y=-\sqrt{2}$ în $x\ast y=xy+7(x+y)+42$. Produsul este $\sqrt{2}\cdot \left(-\sqrt{2}\right)=-2$, iar suma din paranteză este $\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)=0$: $$\sqrt{2}\ast \left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\cdot \left(-\sqrt{2}\right)+7\left(\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)\right)+42=-2+7\cdot 0+42\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-2+42=40$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — forma cu factori a legii.

Începem cu legea dată și scriem $42=49-7$, pentru ca termenul liber $49=7^2$ să fie cel din desfacerea produsului factorilor $x+7$ și $y+7$: $$x\ast y=xy+7x+7y+42=xy+7x+7y+49-7\text{(2 p)}.$$ Grupăm $xy+7x=x(y+7)$ și $7y+49=7(y+7)$; factorul comun $y+7$ dă $$x(y+7)+7(y+7)-7=(x+7)(y+7)-7.$$ Egalitatea este valabilă pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru $-6$.

Numărul $-6$ trebuie să lase pe orice $x$ neschimbat atât din dreapta, cât și din stânga. Cu forma de la cerința II.2, din dreapta: $$x\ast (-6)=(x+7)(-6+7)-7=x+7-7=x\text{(2 p)}.$$ Din stânga: $(-6)\ast x=(-6+7)(x+7)-7=x+7-7=x$. Așadar $(-6)\ast x=x=x\ast (-6)$ oricare ar fi $x$ real; $-6$ lasă pe $x$ neschimbat și din dreapta, și din stânga, deci este element neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu $2\ast a$.

Cu forma de la cerința II.2, $2\ast a=(2+7)(a+7)-7=9a+63-7=9a+56$ (3 p).

Ecuația $2\ast a=65$ devine $9a+56=65$, adică $9a=9$ și $\mathbf{a}=1$. Verificare: $2\ast 1=9\cdot 8-7=65$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație cu logaritmi și legea.

Pentru $x>0$ notăm $t={\log }_{2}x$. Cu forma de la cerința II.2, $t\ast t=(t+7)(t+7)-7=(t+7{)}^2-7$, deci ecuația devine $${\left({\log }_{2}x+7\right)}^2-7=42⟺{\left({\log }_{2}x+7\right)}^2=49⟺{\log }_{2}x+7=-7\text{ sau }{\log }_{2}x+7=7\text{(3 p)}.$$ Din ${\log }_{2}x+7=-7$ rezultă ${\log }_{2}x=-14$, deci $x=2^{-14}$, iar din ${\log }_{2}x+7=7$ rezultă ${\log }_{2}x=0$, deci $x=1$. Ambele numere sunt pozitive, deci convin: $\mathbf{x}=2^{-14}$ sau $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o inecuație în numere întregi.

Cu forma de la cerința II.2 și cu $2-m+7=9-m$: $$m\ast (2-m)=(m+7)(9-m)-7=9m-m^2+63-7m-7=-m^2+2m+56\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $-m^2+2m+56\ge 57$ înseamnă $-m^2+2m-1\ge 0$, adică $-(m-1{)}^2\ge 0$: $$-m^2+2m+56\ge 57⟺-(m-1{)}^2\ge 0.$$ Un pătrat nu este negativ, deci $-(m-1{)}^2\le 0$ pentru orice $m$; ambele inegalități cer $-(m-1{)}^2=0$, adică $\mathbf{m}=1$, număr întreg. Verificare: $1\ast 1=8\cdot 8-7=57$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul matricei $A$.

Pentru o matrice de ordin $2$, determinantul se calculează scăzând din produsul elementelor de pe diagonala principală produsul elementelor de pe cea secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}6& -5\\ -1& 1\end{array}\right|=6\cdot 1-(-1)\cdot (-5)\text{(3 p)}.$$ Produsul $(-1)\cdot (-5)$ este $5$, deci $6-5=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — diferența $A\cdot B-B\cdot A$.

Produsele se fac linie cu coloană. Pentru $A\cdot B$: $6\cdot 1+(-5)\cdot 1=1$, $6\cdot 5+(-5)\cdot 6=0$, $(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0$ și $(-1)\cdot 5+1\cdot 6=1$. Pentru $B\cdot A$: $1\cdot 6+5\cdot (-1)=1$, $1\cdot (-5)+5\cdot 1=0$, $1\cdot 6+6\cdot (-1)=0$ și $1\cdot (-5)+6\cdot 1=1$. Ambele produse sunt $I_2$: $$A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Diferența a două matrice egale este matricea nulă: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{O}}_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu determinantul lui $A+xB$.

Adunarea se face pe poziții, iar $xB$ are elementele lui $B$ înmulțite cu $x$: $A+xB=\left(\begin{array}{cc}6+x& -5+5x\\ -1+x& 1+6x\end{array}\right)$. Determinantul este $(6+x)(1+6x)-(-5+5x)(-1+x)$, cu $(6+x)(1+6x)=6+37x+6x^2$ și $(-5+5x)(-1+x)=5-10x+5x^2$: $$\det (A+xB)=\left|\begin{array}{cc}6+x& -5+5x\\ -1+x& 1+6x\end{array}\right|=x^2+47x+1\text{(2 p)}.$$ Ecuația $x^2+47x+1=1-3x$ se aduce la $x^2+50x=0$, adică $x(x+50)=0$: $$x^2+47x+1=1-3x⟺x^2+50x=0⟺x=-50\text{ sau }x=0.$$ Soluțiile sunt $\mathbf{x}=-50$ și $\mathbf{x}=0$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — un sistem scris matriceal.

Produsul se face linie cu coloană: $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6x-5y\\ -x+y\end{array}\right)$. Egalitatea cu $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\right)$ cere elementele corespunzătoare egale: $$\left(\begin{array}{cc}6& -5\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\right)⟺\{\begin{array}{l}6x-5y=7\\ -x+y=-1\end{array}\text{(3 p)}.$$ Din a doua ecuație, $y=x-1$; în prima, $6x-5(x-1)=7$, adică $x+5=7$. Rezultă $\mathbf{x}=2$ și $\mathbf{y}=1$. Verificare: $6\cdot 2-5\cdot 1=7$ și $-2+1=-1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o identitate între determinanți.

Adunarea și scăderea se fac pe poziții: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right),A-B=\left(\begin{array}{cc}5& -10\\ -2& -5\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Determinanții sunt $7\cdot 7-0\cdot 0=49$ și $5\cdot (-5)-(-10)\cdot (-2)=-25-20=-45$: $$\det (A+B)+\det (A-B)=\left|\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}5& -10\\ -2& -5\end{array}\right|=49+(-45)=4\text{(2 p)}.$$ Cu $\det A=1$ și $\det B=1\cdot 6-5\cdot 1=1$, partea dreaptă este $2(\det A+\det B)=2(1+1)=4$, egală cu $\det (A+B)+\det (A-B)$ (1 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație matriceală cu $A\cdot X-B=I_2$.

Din cerința III.1, $\det A=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. Inversa unei matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu determinantul $1$ este $\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$, deci $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 1& 6\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Această matrice este chiar $B$, în acord cu cerința III.2. Din $A\cdot X-B=I_2$ rezultă $A\cdot X=I_2+B$, iar înmulțirea la stânga cu $A^{-1}$ dă $X=A^{-1}\cdot (I_2+B)$. Cu $I_2+B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 7\end{array}\right)$, elementele produsului sunt $1\cdot 2+5\cdot 1=7$, $1\cdot 5+5\cdot 7=40$, $1\cdot 2+6\cdot 1=8$ și $1\cdot 5+6\cdot 7=47$: $$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}7& 40\\ 8& 47\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Varianta 10 din august 2017 a probei E. c de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare) este rezolvată mai jos, pe etape. Foaia oficială cuprinde trei subiecte obligatorii cu câte șase cerințe de 5 puncte, iar lucrarea durează trei ore; cele 18 cerințe valorează împreună 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele ale foii oficiale; rezolvările și ghidajul interactiv aparțin Matepolis, iar rândurile punctate ale baremului oficial devin etapele fiecărei rezolvări.

Conținutul subiectelor. Subiectul I cere o expresie cu radical și fracții, o inecuație în numere naturale nenule, o ecuație logaritmică, o numărare de numere impare de două cifre, dovada că un triunghi din reper este isoscel și măsura unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic. Subiectul II pornește de la legea $x\ast y=xy+7(x+y)+42$, fără cuvântul „asociativă” în enunț, și cere o valoare cu radicali, o formă cu factori, verificarea elementului neutru $-6$, o ecuație, o ecuație cu logaritmi și o inecuație în numere întregi. Subiectul III folosește matricele $A$ și $B$, dintre care $B$ este inversa lui $A$, și cere un determinant, o diferență de produse, o ecuație cu determinant, un sistem scris matriceal, o identitate între determinanți și o ecuație matriceală.

Programa, pe clase. Din clasa a IX-a vin inecuațiile de gradul I și rezolvarea triunghiului dreptunghic. Din clasa a X-a vin radicalii, logaritmii, numărarea și distanța dintre două puncte din reper. Legea de compoziție aparține clasei a XI-a, iar matricele, determinanții, inversa, sistemele liniare și ecuațiile matriceale clasei a XII-a. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată de la Bacalaureatul din 2015, era în vigoare și la varianta din august 2017. Pentru cerința III.6 se poate relua lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Capcane verificate.

• Exercițiul 1: rădăcina pătrată a unei fracții se extrage și din numărător, nu doar din numitor. Cu $\frac{9}{5}$ în loc de $\frac{3}{5}$ ar ieși $\frac{9}{5}-\frac{33}{55}=\frac{6}{5}$, nu $0$.
• Exercițiul 2: numărul $0$ verifică $3(x-1)<6$, dar nu este nenul, iar numărul $3$ nu o verifică, fiindcă $3\cdot 2=6$ nu este mai mic decât $6$.
• Exercițiul 3: ecuația $x^2+4x+4=0$ are o singură rădăcină, fiindcă un pătrat este nul numai când baza lui este nulă. Dacă $2$ ar trece în stânga cu plus, ecuația obținută ar avea discriminantul $16-32=-16$ și nicio rădăcină reală.
• Exercițiul 4: enunțul nu cere cifre distincte, deci cifra zecilor poate fi și cifra unităților, ca în $11$, $33$ sau $55$. Cu cifre distincte s-ar număra $3\cdot 4=12$ numere, nu cele $15$ ale baremului.
• Exercițiul 6: din $\sin C=\frac{1}{2}$ rezultă $30^{\circ }$, nu $60^{\circ }$, fiindcă $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Unghiul de $150^{\circ }$ are același sinus, dar $C$ este ascuțit.
• Cerința II.3: cele două părți se verifică separat. Pentru legea $x\diamond y=x+2y$, numărul $0$ lasă neschimbat orice $x$ din dreapta, fiindcă $x\diamond 0=x$, dar $0\diamond 3=6$, nu $3$, deci $0$ nu este neutru.
• Cerința II.4: dacă se uită scăderea lui $7$, din $9a+63=65$ ar ieși $a=\frac{2}{9}$, dar $2\ast \frac{2}{9}=58$, nu $65$.
• Cerința II.5: ecuația ${\left({\log }_{2}x+7\right)}^2=49$ are două soluții. Dacă se păstrează doar ${\log }_{2}x=0$, se pierde $x=2^{-14}$, pentru care ${\left(-14+7\right)}^2-7=42$.
• Cerința II.6: pentru $m=0$ și pentru $m=2$ expresia $m\ast (2-m)$ este $56$, mai mică decât $57$; singura valoare întreagă care convine este $m=1$.
• Cerința III.2: matricele nu se înmulțesc element cu element. În stânga sus, produsul $A\cdot B$ are suma $6\cdot 1+(-5)\cdot 1=1$, nu singurul produs $6\cdot 1=6$.
• Cerința III.3: determinantul sumei nu este suma determinanților. Pentru $x=3$, $\det (A+3B)=151$, dar $\det A+\det (3B)=1+9=10$.
• Cerința III.5: produsul diagonalei secundare se scade. La $\det (A-B)$ se calculează $5\cdot (-5)-(-10)\cdot (-2)=-45$; cu produsul adunat ar ieși $-25+20=-5$.
• Cerința III.6: în $A\cdot X-B=I_2$, matricea $B$ trece în dreapta cu plus. Cu minus, $X=A^{-1}\left(B-I_2\right)$ ar fi $\left(\begin{array}{cc}5& 30\\ 6& 35\end{array}\right)$, nu $\left(\begin{array}{cc}7& 40\\ 8& 47\end{array}\right)$.

Litere și simboluri. Subiectul I: la itemul 2, $x$ este un număr natural nenul, iar la itemul 3 este un număr real; la itemul 5, $M$, $N$ și $P$ sunt punctele din reper, iar la itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. Subiectul II: cerința II.2 cere o egalitate pentru orice $x$ și $y$ reale; la cerința II.3, $x$ rămâne un număr real oarecare; la cerința II.4, necunoscuta este $a$; la cerința II.5, $x$ este necunoscuta pozitivă, iar litera $t$ din rezolvare ne aparține și nu apare în enunț; la cerința II.6, $m$ este un număr întreg. Subiectul III: $A$ și $B$ sunt matrice date; $x$ este necunoscuta de la cerința III.3, perechea $(x,y)$ de la cerința III.4, iar $X$ este matricea căutată la cerința III.6. Literele $A$ și $B$ numesc deci vârfuri la itemul 6 și matrice în Subiectul III.