Subiect Bac matematică pedagogic, august 2019 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2019 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $4\sqrt{5}-\sqrt{75}+\sqrt{108}-\sqrt{3}+\sqrt{25}-\sqrt{80}=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, pentru care $f(1)=8$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele $1,2,3,4,5,6,7,8$ și $9$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=x-2$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a dreptei $d$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=6$, $AC=8$ și $BC=10$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy+x+y$.

1. (5 puncte) Arătați că $(-1)\ast 3=-1$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Verificați dacă $-\frac{1}{2}$ este simetricul lui $1$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $x\ast x\ast x=x$.

6. (5 puncte) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația $n\ast n=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1-2a& 2a\\ -3a& 1+3a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

2. (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(5)=2A(3)$.

3. (5 puncte) Arătați că $A(1)\cdot A(2)=A(5)$.

4. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

5. (5 puncte) Demonstrați că $A(a)\cdot A(-1)=A(-1)\cdot A(a)=A(-1)$, pentru orice număr real $a$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $\det \left(A\left(n^4\right)\right)<32$.

Barem și răspunsuri

La sfârșitul fiecărui rând al foii de evaluare, în bold, stă numărul de puncte al rândului din cele 5 ale cerinței; cele 18 cerințe adună 90, iar cu oficiul se ajunge la 100. Cerința II.6 are trei rânduri, restul câte două.

Exercițiul 1. (5 p) — sumă de radicali.

Scoatem de sub radical pătratele perfecte: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$, $\sqrt{25}=5$ și $\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$. Expresia devine $$4\sqrt{5}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-\sqrt{3}+5-4\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $\sqrt{5}$ dau $4\sqrt{5}-4\sqrt{5}=0$, iar cei cu $\sqrt{3}$ dau $(-5+6-1)\sqrt{3}=0$. Rămâne $5$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi cu parametru.

Pentru $x=1$, funcția are valoarea $f(1)=1+a$ (2 p).

Condiția $f(1)=8$ înseamnă $1+a=8$, de unde $\mathbf{a}=7$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Prin ridicare la pătrat, membrul stâng devine expresia de sub radical, $2x-1$, iar ecuația devine $$2x-1=x^2\Rightarrow x^2-2x+1=0\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este $(x-1{)}^2$, deci singura rădăcină este $1$. Ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, de aceea se verifică în ecuația cu radical: $\sqrt{2\cdot 1-1}=\sqrt{1}=1$, iar membrul drept este tot $1$. Prin urmare $\mathbf{x}=1$ convine (3 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numere cu cifre distincte.

Numărul are cifra unităților și cifra zecilor, alese din $\{1,2,\dots ,9\}$. Pentru unități se poate alege oricare dintre cele $9$ cifre, deci în $9$ moduri (2 p).

Distincte fiind cifrele, oricare ar fi unitățile alese, pentru zeci rămân $8$ cifre posibile. Regula produsului dă $9\cdot 8=72$ de numere (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — punctul comun al unei drepte și al axei $Ox$.

Punctele axei $Ox$ au ordonata $0$, așa că în ecuația dreptei punem $y=0$ (2 p).

Ecuația dreptei devine $0=x-2$, de unde $x=2$. Punctul căutat are abscisa $2$ și ordonata $0$, adică $(2,0)$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi cu laturile $6$, $8$, $10$.

Comparăm pătratele laturilor: $A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, vârful din fața celei mai mari laturi (3 p).

Aria se obține din semiprodusul catetelor $AB$ și $AC$: $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere concretă, calculată din definiție.

Punem $x=-1$ și $y=3$ în formula legii: $$(-1)\ast 3=(-1)\cdot 3+(-1)+3\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-3-1+3=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Adăugăm și scădem $1$: $x\ast y=xy+x+y+1-1$ (2 p).

Primii patru termeni se grupează: $xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)$. De aici $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Cu forma din cerința II.2, pentru orice $x$ real, $$x\ast 0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x\text{(3 p)}.$$ În cealaltă ordine, $0\ast x=(0+1)(x+1)-1=x$, tot pentru orice $x$. Fiindcă $x\ast 0=0\ast x=x$, numărul $e=0$ este elementul neutru (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: simetricul unui element.

Elementul neutru este $e=0$ (cerința II.3), deci $-\frac{1}{2}$ este simetricul lui $1$ dacă ambele compuneri dau $0$. Calculăm $$1\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=(1+1)\left(-\frac{1}{2}+1\right)-1=2\cdot \frac{1}{2}-1=0\text{(2 p)}.$$ În cealaltă ordine, $\left(-\frac{1}{2}\right)\ast 1=\left(-\frac{1}{2}+1\right)(1+1)-1=\frac{1}{2}\cdot 2-1=0$. Ambele rezultate sunt elementul neutru, deci $-\frac{1}{2}$ este simetricul lui $1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o ecuație de gradul al treilea.

Fiind asociativă, legea permite scrierea lui $x\ast x\ast x$ fără paranteze. Din forma cu doi factori, $x\ast x=(x+1{)}^2-1$, iar $$x\ast x\ast x=\left((x+1{)}^2-1+1\right)(x+1)-1=(x+1{)}^3-1\text{(2 p)}.$$ Adunăm $1$ în ambii membri: în stânga rămâne cubul lui $x+1$, iar în dreapta chiar $x+1$. Mutăm $x+1$ în stânga și îl scoatem factor comun; al doilea factor este pătratul lui $x+1$ minus $1$, o diferență de pătrate egală cu produsul dintre $x+1-1$ și $x+1+1$, adică dintre $x$ și $x+2$. Așadar $$(x+1{)}^3-1=x⟺x(x+1)(x+2)=0.$$ Produsul se anulează doar dacă măcar un factor se anulează, deci $\mathbf{x}=-2$, $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=0$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o probabilitate.

În mulțimea $\{0,1,\dots ,9\}$ a numerelor naturale de o cifră se află $10$ numere, deci avem $10$ cazuri de luat în calcul (2 p).

Din forma cu doi factori, $n\ast n=(n+1{)}^2-1$, iar relația $n\ast n=3$ dă $(n+1{)}^2-1=3$, deci pătratul lui $n+1$ este $4$. Cum $n$ este natural, $n+1>0$, deci $n+1=2$ și $n=1$. Valoarea negativă a lui $n+1$ ar da pentru $n$ numărul $-3$, care nu este natural. Există un singur caz favorabil (2 p).

Probabilitatea se obține împărțind numărul cazurilor favorabile la numărul celor posibile: $\frac{1}{10}$ (1 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinantul unei matrice particulare.

Pentru $a=0$, elementele sunt $1-2\cdot 0=1$, $2\cdot 0=0$, $-3\cdot 0=0$ și $1+3\cdot 0=1$, deci $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Determinantul este $1\cdot 1-0\cdot 0=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o relație între trei matrice.

Pentru $a=1$ și $a=5$ obținem $A(1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 4\end{array}\right)$ și $A(5)=\left(\begin{array}{cc}-9& 10\\ -15& 16\end{array}\right)$, deci $$A(1)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}-10& 12\\ -18& 20\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Toate elementele sumei sunt divizibile cu $2$: $\left(\begin{array}{cc}-10& 12\\ -18& 20\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}-5& 6\\ -9& 10\end{array}\right)$. Matricea din paranteză este chiar $A(3)=\left(\begin{array}{cc}1-6& 6\\ -9& 1+9\end{array}\right)$, așadar $A(1)+A(5)=2A(3)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: un produs de două matrice.

Cu $A(1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 4\end{array}\right)$ și $A(2)=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ -6& 7\end{array}\right)$, fiecare poziție a produsului se completează cu o linie din stânga și o coloană din dreapta: $$A(1)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}(-1)(-3)+2\cdot (-6)& (-1)\cdot 4+2\cdot 7\\ (-3)(-3)+4\cdot (-6)& (-3)\cdot 4+4\cdot 7\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Calculele dau $\left(\begin{array}{cc}3-12& -4+14\\ 9-24& -12+28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-9& 10\\ -15& 16\end{array}\right)$. Aceasta este $A(5)$, pentru că $1-2\cdot 5=-9$, $2\cdot 5=10$, $-3\cdot 5=-15$ și $1+3\cdot 5=16$. Deci $A(1)\cdot A(2)=A(5)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: valorile parametrului pentru care există inversă.

Determinantul matricei $A(a)$ este $$\det (A(a))=(1-2a)(1+3a)-(-3a)\cdot 2a=1+a\text{(3 p)},$$ fiindcă $(1-2a)(1+3a)=1+a-6a^2$, iar $-(-3a)\cdot 2a=6a^2$, și termenii cu $a^2$ se reduc.

Inversabilitatea unei matrice pătrate echivalează cu un determinant diferit de zero, adică $1+a\ne 0$. Prin urmare $\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: egalități pentru orice valoare a parametrului.

Avem $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)$. Produsul în prima ordine se calculează linie cu coloană, păstrând litera $a$: $$A(a)\cdot A(-1)=\left(\begin{array}{cc}3(1-2a)+3\cdot 2a& -2(1-2a)-2\cdot 2a\\ -9a+3(1+3a)& 6a-2(1+3a)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)=A(-1).$$ Dispar toți termenii care conțin $a$, așadar egalitatea este valabilă oricare ar fi $a$ real (3 p).

În ordinea inversă, $A(-1)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}3(1-2a)+(-2)(-3a)& 3\cdot 2a+(-2)(1+3a)\\ 3(1-2a)+(-2)(-3a)& 3\cdot 2a+(-2)(1+3a)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 3& -2\end{array}\right)=A(-1)$, tot pentru orice $a$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o inecuație cu determinant.

Determinantul calculat la cerința III.4 este $\det (A(a))=(1-2a)(1+3a)+6a^2=1+a$, valabil pentru orice $a$. Cu $a=n^4$ obținem $\det \left(A\left(n^4\right)\right)=1+n^4$ (2 p).

Inegalitatea $1+n^4<32$ înseamnă $n^4<31$. La $n=1$ rezultă $n^4=1$, iar la $n=2$ rezultă $n^4=16$, ambele sub $31$. De la valoarea $3$ a lui $n$ în sus, $n^4$ este cel puțin $81$, deci mai mare decât $31$. Cum $n$ este natural nenul, $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 7 din sesiunea august 2019 a probei E. c) de matematică M_pedagogic este rezolvată mai jos etapă cu etapă. Foaia are trei subiecte obligatorii și se lucrează trei ore; cele 18 cerințe a câte 5 puncte adună 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele oficiale, iar soluțiile, notele și ghidajul interactiv aparțin Matepolis; fiecare etapă a unei rezolvări corespunde unui rând din foaia de evaluare.

Pe scurt. Subiectul I cuprinde o sumă de radicali, o funcție liniară, o ecuație cu radical, o numărare cu cifre distincte, o intersecție cu axa $Ox$ și aria unui triunghi cu laturile $6$, $8$ și $10$. Subiectul II este o problemă despre o lege asociativă pe mulțimea numerelor reale: cerința II.2 o aduce la o formă cu doi factori, iar cerințele II.3–II.6 se sprijină pe forma rescrisă (element neutru, simetric, o ecuație cu necunoscuta la puterea a treia și o probabilitate). Subiectul III lucrează cu o familie de matrice $A(a)$, ale căror elemente depind liniar de parametrul $a$.

În programă. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, valabilă la Bacalaureatul din 2019, pune în clasa a IX-a funcția liniară și intersecțiile graficului ei cu axele. În clasa a X-a stau radicalii, ecuațiile cu radicali, numărarea și probabilitatea. Clasa a XI-a aduce legile de compoziție împreună cu structurile algebrice, iar clasa a XII-a matricele, determinanții și inversele matricelor. Pentru radicali se poate relua lecția Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: de sub radical iese rădăcina pătratului perfect, deci $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$, nu $36\sqrt{3}$. Cu $36\sqrt{3}$ expresia ar fi $4\sqrt{5}-5\sqrt{3}+36\sqrt{3}-\sqrt{3}+5-4\sqrt{5}=5+30\sqrt{3}$, nu $5$.
• Exercițiul 4: dacă cifrele s-ar putea repeta, ar ieși $9\cdot 9=81$ de numere. Enunțul cere cifre distincte, așa că zecile se aleg în $8$ moduri, nu în $9$, iar rezultatul este $72$.
• Exercițiul 5: pe axa $Ox$ stau punctele cu ordonata $0$. Dacă s-ar anula abscisa, $x=0$, s-ar obține $y=0-2=-2$, adică punctul $(0,-2)$, care este pe axa $Oy$.
• Cerința II.5: egalitatea dată are trei soluții. Împărțirea ei la $x$ ar pierde soluția $x=0$, care verifică: $0\ast 0\ast 0=(0+1{)}^3-1=0$.
• Cerința III.2: parametrii nu se adună. Matricea $A(1)+A(5)$ nu este $A(6)$: pe diagonala principală suma are elementele $-10$ și $20$, iar $A(6)$ are $-11$ și $19$.
• Cerința III.6: pentru $n=0$ s-ar obține $1+0^4=1<32$, dar enunțul cere $n$ natural nenul. Numărul $n=3$ nu convine, fiindcă $1+3^4=82\ge 32$.

Despre litere. În itemul 2, $a$ este parametrul din $f(x)=x+a$ și totodată necunoscuta, iar $x$ este variabila funcției. În itemul 5, $d$ este dreapta dată, iar punctul căutat este necunoscut; în itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului, în timp ce în Subiectul III $A(a)$ este o matrice. La cerința II.3, $e=0$ este dat în enunț și doar se verifică; la cerința II.4, simetricul lui $1$ se judecă față de elementul neutru din cerința II.3. Cerința II.5 caută valori ale lui $x$, iar în cerința II.6, $n$ parcurge numerele naturale de o cifră. În Subiectul III, $a$ este parametrul real al matricei: necunoscută în cerința III.4, număr real oarecare în cerința III.5; în cerința III.6, $n$ este un număr natural nenul.