Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2019 (varianta 6) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2019 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi ${\left(b_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=2$ și $b_3=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(m,2m)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-6$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-10x+25}=5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $10\%$, urmată de o scumpire cu $10$ lei, prețul unui obiect este $190$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,4)$ și $B(6,0)$. Determinați, în triunghiul $AOB$, ecuația medianei din vârful $A$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2\sin 30^{\circ }-\sin 90^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2(xy+x+y)+1$.

1. (5 puncte) Arătați că $(-1)\circ 1=-1$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

3. (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=2(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

4. (5 puncte) Demonstrați că $e=-\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x-1)\circ (x+2)=-5$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $n\circ (n-1)\le 11$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

2. (5 puncte) Calculați $\det (A+B)$.

3. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A=B$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $aA+bB=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 6& 2\end{array}\right)$.

5. (5 puncte) Arătați că, dacă $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $X+A=B$, atunci matricea $X$ este inversabilă.

6. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $\det (A+B-a{I}_2)\le 0$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Barem și răspunsuri

Cerințele valorează în total 90 de puncte, iar împreună cu oficiul lucrarea are 100. Cifrele îngroșate din paranteze arată câte puncte din 5 aparțin fiecărui rând al foii de evaluare, în ordinea ei; toate cele 18 cerințe au câte două rânduri.

Exercițiul 1. (5 p) — suma unei progresii geometrice.

La o progresie geometrică de numere pozitive, pătratul termenului din mijloc este produsul celor doi vecini ai lui: $b_2^2=b_1\cdot b_3=2\cdot 8=16$. Termenul fiind pozitiv, $b_2>0$, deci $b_2=4$ (2 p).

Totalul primilor trei termeni este $S_3=b_1+b_2+b_3=2+4+8=14$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

În punctul de abscisă $m$ funcția are valoarea $f(m)=5m-6$ (2 p).

Condiția ca $A(m,2m)$ să fie pe grafic este egalitatea dintre a doua coordonată și funcția calculată în prima coordonată: $5m-6=2m$. De aici $3m=6$, deci $\mathbf{m}=2$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Pătratul fiecărui membru: în dreapta obținem $5^2=25$, iar ecuația devine $$x^2-10x+25=25\Rightarrow x^2-10x=0\text{(2 p)}.$$ Scoatem factorul comun, $x(x-10)=0$, deci $x=0$ sau $x=10$. Rădăcinile se încearcă în ecuația cu radical: sub radical stă pătratul lui $x-5$, iar rădăcina pătrată a unui pătrat este modulul numărului, adică $|0-5|=5$ pentru $x=0$ și $|10-5|=5$ pentru $x=10$. Rezultă $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{x}=10$, care convin (3 p).

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire procentuală și scumpire cu o sumă fixă.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. După ieftinirea cu $10\%$ prețul este $x-\frac{10}{100}x$, iar după scumpirea cu $10$ lei devine $$x-\frac{10}{100}\cdot x+10=190\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni dau $\frac{9}{10}x$, deci $\frac{9}{10}x=180$ și $x=180\cdot \frac{10}{9}=200$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mediana unui triunghi din reper.

Mijlocul segmentului $OB$, cu $O(0,0)$ și $B(6,0)$, are coordonatele semisumelor: $M\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+0}{2}\right)=M(3,0)$ (2 p).

Mediana din $A$ este dreapta $AM$, cu panta $\frac{4-0}{4-3}=4$. Ea trece prin $M(3,0)$, deci $y-0=4(x-3)$, adică $\mathbf{y}=4x-12$ (3 p). Pentru $x=4$ obținem $4\cdot 4-12=4$, așa că dreapta trece și prin $A$.

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Pentru un unghi de $30^{\circ }$ avem $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (2 p).

Pentru $90^{\circ }$ avem $\sin 90^{\circ }=1$, deci $2\sin 30^{\circ }-\sin 90^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}-1=1-1=0$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea „$\circ$” aplicată unei perechi de numere.

În formula $x\circ y=2(xy+x+y)+1$ punem $x=-1$ și $y=1$: $$(-1)\circ 1=2\left((-1)\cdot 1+(-1)+1\right)+1\text{(3 p)}.$$ Paranteza are valoarea $-1-1+1=-1$, deci rezultatul este $2\cdot (-1)+1=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Scriem definiția legii și inversăm ordinea factorilor și a termenilor din paranteză, ceea ce nu modifică valoarea, fiindcă la numere reale ordinea factorilor și a termenilor nu contează: $$x\circ y=2(xy+x+y)+1=2(yx+y+x)+1\text{(3 p)}.$$ Ultima expresie este chiar definiția lui $y\circ x$. Prin urmare $x\circ y=y\circ x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$, iar legea „$\circ$” este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Desfacem paranteza, $x\circ y=2xy+2x+2y+1$, și scriem $1$ ca $2-1$: $$x\circ y=2xy+2x+2y+2-1\text{(2 p)}.$$ Grupăm $2xy$ cu $2x$ și $2y$ cu $2$: $2x(y+1)+2(y+1)-1$. Factorul $y+1$ iese în față, iar rezultatul este $x\circ y=2(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Cu forma $x\circ y=2(x+1)(y+1)-1$, pentru orice $x$ real avem $$x\circ \left(-\frac{1}{2}\right)=2(x+1)\left(-\frac{1}{2}+1\right)-1=x+1-1=x\text{(2 p)}.$$ În cealaltă ordine, $\left(-\frac{1}{2}\right)\circ x=2\left(-\frac{1}{2}+1\right)(x+1)-1=x+1-1=x$, tot pentru orice $x$. Cele două egalități arată că $e=-\frac{1}{2}$ nu schimbă niciun număr, indiferent de partea pe care stă; prin urmare este element neutru pentru legea „$\circ$” (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuație de gradul al doilea.

Punem $u=x-1$ și $v=x+2$ în $u\circ v=2(u+1)(v+1)-1$. Factorii sunt $(x-1)+1=x$ și $(x+2)+1=x+3$. Ecuația $2x(x+3)-1=-5$ dă $2x(x+3)=-4$, deci $x(x+3)=-2$. Pe scurt: $$2(x-1+1)(x+2+1)-1=-5⟺x^2+3x+2=0\text{(3 p)}.$$ Pentru discriminant: $9-8=1$; formula rădăcinilor dă $\frac{-3\pm 1}{2}$, deci $-2$ și $-1$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=-2$ și $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: inegalitate în numere naturale.

Cu aceeași formă, $n\circ (n-1)=2(n+1)(n-1+1)-1=2n(n+1)-1$. Inegalitatea $n\circ (n-1)\le 11$ devine $2n^2+2n-12\le 0$, iar împărțirea cu $2>0$ nu schimbă sensul: $$2(n+1)(n-1+1)-1\le 11⟺n^2+n-6\le 0\text{(2 p)}.$$ Trinomul are discriminantul $1+24=25$, rădăcinile $-3$ și $2$ și coeficientul $1>0$ la $n^2$, deci ia valori negative sau nule pentru $n\in [-3,2]$. Dintre întregii acestui interval, doar $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ sunt naturale nenule (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Determinantul unei matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ este $ps-qr$. Pentru $A$ avem $$\det A=1\cdot 0-1\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $0-2=-2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: determinantul unei sume.

Fiecare poziție a sumei este suma elementelor de pe poziția respectivă, deci $A+B=\left(\begin{array}{cc}1+3& 1+1\\ 2+2& 0+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 2\end{array}\right)$ (3 p).

Determinantul sumei este $\det (A+B)=4\cdot 2-2\cdot 4=8-8=0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: produsul a două matrice.

Produsul $A\cdot A$ se completează poziție cu poziție: pentru $(i,j)$ se iau linia $i$ din $A$ (stânga) și coloana $j$ din $A$ (dreapta), se înmulțesc elementele în ordine și se adună rezultatele: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+1\cdot 2& 1\cdot 1+1\cdot 0\\ 2\cdot 1+0\cdot 2& 2\cdot 1+0\cdot 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ După calcul, $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$, adică exact matricea $B$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu două necunoscute scalare.

Fiecare matrice se înmulțește cu scalarul ei, apoi se adună: $aA+bB=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ 2a& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3b& b\\ 2b& 2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+3b& a+b\\ 2a+2b& 2b\end{array}\right)$ (2 p).

Egalitatea a două matrice înseamnă egalitatea elementelor de pe poziții identice, deci $a+3b=5$, $a+b=3$, $2a+2b=6$ și $2b=2$. Din $2b=2$ rezultă $b=1$, iar din $a+b=3$ rezultă $a=2$; celelalte două ecuații se verifică, pentru că $2+3=5$ și $4+2=6$. Așadar $\mathbf{a}=2$ și $\mathbf{b}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: o necunoscută matriceală inversabilă.

Din $X+A=B$ se scade $A$ din ambii membri: $X=B-A$. Elementele diferenței sunt $\left(\begin{array}{cc}3-1& 1-1\\ 2-2& 2-0\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ (3 p).

Determinantul este $\det X=2\cdot 2-0\cdot 0=4\ne 0$, iar determinantul nenul garantează existența inversei; deci $X$ este inversabilă (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: inecuație cu determinant.

Cum $A+B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 2\end{array}\right)$, iar $a{I}_2$ are $a$ pe diagonala principală și zerouri în rest, $A+B-a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}4-a& 2\\ 4& 2-a\end{array}\right)$ și $$\det (A+B-a{I}_2)=(4-a)(2-a)-2\cdot 4=a^2-6a\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $a^2-6a\le 0$ se scrie $a(a-6)\le 0$. Graficul expresiei $a^2-6a$ este o parabolă deschisă în sus, cu zerourile $0$ și $6$, deci valorile ei sunt negative sau nule între zerouri, capetele incluse: $\mathbf{a}\in [0,6]$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia din sesiunea iunie 2019, varianta 6, a probei E. c) de matematică M_pedagogic este rezolvată aici cerință cu cerință. Sunt trei subiecte, iar lucrarea durează trei ore. Fiecare dintre cele 18 cerințe valorează 5 puncte, așa că partea cu cerințe are 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile urmează foaia oficială, iar rezolvările, observațiile și ghidajul interactiv sunt ale Matepolis; fiecare rând punctat al baremului se regăsește într-o etapă a rezolvării.

Cuprinsul. Subiectul I are șase probleme de sine stătătoare: totalul primilor trei termeni dintr-o progresie geometrică, un punct aflat pe un grafic, o ecuație cu radical dintr-un trinom pătrat perfect, un preț care scade procentual și crește apoi cu o sumă fixă, mediana unui triunghi din reper și o valoare trigonometrică. Subiectul II este o singură problemă despre o lege de compoziție: cerința II.3 o aduce la forma cu doi factori, pe care se sprijină cerințele II.4, II.5 și II.6. Subiectul III pornește de la două matrice, $A$ și $B$, legate prin egalitatea $A\cdot A=B$ din cerința III.3.

Locul în programă. Aplicată la Bacalaureatul din 2019, programa M_pedagogic (OMEN 4430/2014) cuprinde în clasa a IX-a progresiile geometrice, funcția liniară și inecuațiile de gradul II. Ecuațiile cu radicali, calculul procentual și ecuația dreptei în plan sunt în clasa a X-a. Legile de compoziție sunt în clasa a XI-a, iar matricele, determinanții și matricele inversabile în clasa a XII-a. Pentru calculul determinanților de la Subiectul III se poate relua lecția Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: media aritmetică a capetelor, $\frac{2+8}{2}=5$, este termenul de mijloc al unei progresii aritmetice, nu geometrice. Cu $5$ la mijloc suma ar fi $2+5+8=15$, în timp ce suma corectă este $14$.
• Exercițiul 3: dacă radicandul s-ar egala cu $0$, ar rezulta numai $x=5$, dar pentru $x=5$ radicalul este $\sqrt{0}=0$, nu $5$; membrul drept se ridică la pătrat și dă $5^2=25$, nu $0$.
• Exercițiul 4: din $190$ se scade scumpirea de $10$ lei și rămân $180$. Dacă la $180$ se adaugă $10\%$ din $180$, adică $18$, se obține $198$, nu $200$, pentru că ieftinirea de $10\%$ s-a aplicat prețului inițial, nu lui $180$.
• Cerința II.5: factorii legii sunt $(x-1)+1=x$ și $(x+2)+1=x+3$. Dacă se omit adunările cu $1$, factorii devin $x-1$ și $x+2$, iar ecuația se reduce la $x^2+x=0$, cu rădăcinile $0$ și $-1$: soluția $-2$ se pierde, iar valoarea $0$ apare în plus, fără să verifice, fiindcă $(0-1)\circ (0+2)=(-1)\circ 2=-1$, nu $-5$.
• Cerința II.6: intervalul $[-3,2]$ conține și $0$. Pentru $n=0$ avem $0\circ (-1)=-1\le 11$, deci inegalitatea se verifică, dar enunțul cere numere naturale nenule.
• Cerința III.3: dacă fiecare element al lui $A$ s-ar ridica separat la pătrat, s-ar obține $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 0\end{array}\right)$; produsul $A\cdot A$ este însă altă matrice, $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$, pentru că amestecă elementele unei linii cu cele ale unei coloane.

Despre litere. În itemul 1, $(b_n{)}_{n\ge 1}$ este progresia, iar $b_1$ și $b_3$ sunt termenii dați; rația nu are literă în enunț. În itemul 2, $m$ este necunoscuta și apare în ambele coordonate ale punctului $A(m,2m)$, iar $x$ este variabila funcției $f$. Exercițiul 4 nu folosește nicio literă: prețul inițial este notat abia în rezolvare. În itemul 5, $A$ și $B$ sunt puncte, $O$ este originea reperului, iar mijlocul $M$ al segmentului $OB$ apare doar în rezolvare; în Subiectul III, $A$ și $B$ sunt matrice. La cerința II.4, valoarea $e=-\frac{1}{2}$ vine din enunț, iar cerința este doar să o confirmi. În cerința II.5, $x$ este necunoscuta, iar în cerința II.6, $n$ este un număr natural nenul. În cerința III.4, $a$ și $b$ sunt necunoscute; în cerința III.5, $X$ este matricea căutată; în cerința III.6, $a$ este necunoscuta, iar $I_2$ este definită chiar în enunț, pentru că ea lipsește din cadrul Subiectului III.