Matrice — clasa a XI-a

Matricele deschid clasa a XI-a: un tablou dreptunghiular de numere, cu linii și coloane, pe care se adună, se scad și se înmulțesc. Două dintre operații se fac element cu element, a treia nu. Capitolul are 12 lecții și 4 teste cu barem, iar ultimele cinci lecții sunt despre un singur lucru: ridicarea unei matrice pătratice la o putere mare.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este primul capitol al anului la profilul mate-info, cu patru ore de curriculum de specialitate pe săptămână (programa pentru planurile-cadru OMEC 4350/2025, aplicată din anul școlar 2026–2027), și este capitolul pe care se sprijină următoarele două: determinanții se calculează pe matrice pătratice, iar sistemele de ecuații liniare se scriu ca o egalitate între matrice. Ce se pierde aici se plătește în noiembrie. Pagina de față așază la un loc cele 12 lecții de matrice, formulele lor, exercițiile rezolvate și cele patru teste.

Ce se cere la Bacalaureatul M1 din matrice

La proba M1 matricele cad la Subiectul al II-lea, unde cerințele nu întreabă teoria, ci pun un calcul de dus până la capăt pe o matrice de ordinul al doilea sau al treilea. Șase feluri de cerință acoperă cele 93 de cerințe date pe această temă între 2010 și 2026:

Ce ți se cere	Cum sună o cerință de acest fel
Să efectuezi o combinație de matrice	„Calculați $5 A - 2 B$ , unde…"
Să înmulțești două matrice date	„Determinați matricea $A B$ ."
Să verifici o egalitate cu matrice	„Arătați că $A \cdot B = B \cdot A$ ."
Să determini un parametru dintr-o egalitate	„Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care…"
Să calculezi o putere a unei matrice	„Calculați $A^{n}$ , unde $n$ este număr natural nenul."
Să folosești matricea unitate într-o relație	„Arătați că $A^{2} = 2 A - I_{2}$ ."

Toate cerințele date la Bacalaureatul M1 pe operații cu matrice și puteri de matrice, an cu an, sunt strânse la operații cu matrice la Bac M1.

Teorie: cele 12 lecții ale capitolului

Ordinea de predare merge de la obiect la operații și de la operații la puteri. Primele două lecții fixează vocabularul, următoarele patru operațiile, a șaptea arată la ce se folosesc în afara caietului, iar ultimele cinci metodele de ridicare la putere.

Obiectul și vocabularul lui. Tablouri de date și noțiunea de matrice arată de unde vine obiectul — un tabel de date scris compact — și fixează notația cu doi indici, în care primul este linia, al doilea coloana. Tipuri de matrice adaugă numele de care ai nevoie ca să citești o cerință: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară. Numele nu sunt decor: în afară de matricea nulă, toate celelalte cer un tablou cu tot atâtea linii câte coloane.

Cele două operații care se fac element cu element. Egalitatea, adunarea și scăderea matricelor explică de ce un singur semn egal între două matrice ascunde de fapt un sistem de ecuații între numere — de aici vine metoda prin care se determină parametrii. Înmulțirea unei matrice cu un număr este operația fără capcane a capitolului: factorul intră în fiecare element, fără excepție.

Înmulțirea a două matrice, unde se schimbă regulile. Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul arată de ce produsul există doar când numărul de coloane ale primei matrice îl egalează pe cel de linii al celei de-a doua, iar proprietățile înmulțirii matricelor sunt lecția în care se pierde reflexul de la numere: produsul nu este comutativ, iar din $A B = O$ nu rezultă că una dintre matrice este nulă. Matricele care modelează situații practice arată la ce folosește produsul în afara caietului: costuri, fluxuri și stocuri combinate într-un singur calcul.

Cele patru metode de ridicare la putere care se învață aici. Pe ele cade grosul cerințelor de Subiectul al II-lea din capitol, iar cât cântărește tot blocul de algebră în probă se vede la ce intră la Bacalaureatul M1. Puterea unei matrice pătratice definește operația și o duce prin calcul direct până unde se poate ghici forma generală. Urmează ridicarea la putere prin inducție matematică, care demonstrează forma ghicită, ridicarea la putere cu binomul lui Newton, care cere ca matricea să se scrie ca sumă a două matrice care comută — de obicei matricea unitate și una cu pătratul nul —, și ridicarea la putere cu ajutorul șirurilor recurente, unde elementele puterii se leagă între ele printr-o relație de recurență. Matricea de rotație și puterile ei închide capitolul cu cazul în care puterea se citește geometric: a roti de $n$ ori cu unghiul $t$ înseamnă a roti o dată cu unghiul $n t$ .

Cele 12 lecții ale capitolului se opresc aici. A cincea metodă de ridicare la putere, cea cu relația Hamilton-Cayley, și lecția care le compară pe toate cinci — cum alegi metoda de ridicare la putere — sunt în capitolul următor, cel de determinanți.

Formule

Tema de formule a capitolului are nouă intrări, care urmează exact traseul lecțiilor. Primele trei sunt de scriere, nu de calcul: matricea și elementul generic îți trebuie de la prima oră, matricea unitate, matricea nulă și matricele diagonale de la a doua, iar transpusa unei matrice revine la determinanți, unde devine unealtă de demonstrație.

Următoarele trei sunt operațiile: adunarea și înmulțirea cu un scalar, înmulțirea a două matrice și proprietățile înmulțirii — pe ultima o deschizi când o cerință îți cere să justifici un pas, fiindcă acolo scrie ce ai voie și ce nu.

Ultimele trei sunt de putere: puterea unei matrice pătratice, binomul lui Newton pentru matrice, cu condiția lui de aplicare, și matricea de rotație. Tema întreagă este la formulele de matrice, fiecare pagină cu legenda literelor și un exemplu.

Termenii care se cer știuți exact, nu aproximativ, sunt definiți scurt în glosar: matrice, matrice pătratică, matricea unitate, matricea nulă, matricea transpusă, înmulțirea matricelor, puterea unei matrice și urma unei matrice, noțiunea prin care intri în relația Hamilton-Cayley din capitolul următor.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate de matrice sunt douăsprezece grile, iar în dreptul fiecăruia, sub „Vezi rezolvarea", stau soluția, explicația și legătura spre lecția din care face parte cerința. Acoperă scrierea unei matrice dintr-o formulă în doi indici, recunoașterea tipurilor, egalitatea cu parametri, combinațiile liniare, produsul a două matrice de ordinul al doilea și primii pași spre puteri. Se lucrează întâi pe hârtie și abia apoi se deschide rezolvarea; altfel pagina se citește ca un text, iar calculul rămâne nefăcut.

Exerciții cu verificare

Pagina de mai sus se citește, testul ghidat se lucrează. Când vrei să rezolvi tu, intră în testul ghidat de operații cu matrice: scrii rezultatul în pagină, iar pasul următor apare acolo unde te-ai oprit. La matrice ghidajul intervine aproape întotdeauna în același loc — formatul: o adunare între tablouri de dimensiuni diferite nu se poate face, iar un produs cerut în ordinea greșită nici atât.

Teste cu barem

Cele patru teste de matrice au aceleași cifre: 13 cerințe și 100 de puncte, dintre care 10 din oficiu, în 50 de minute. Baremul și rezolvările stau în josul fiecărei pagini, ca secțiune deschisă: la matrice merită deschis abia după ce ai dus calculul până la ultimul element, fiindcă un rezultat parțial nu spune nimic.

Test: adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr — prima jumătate a capitolului: scriere, tipuri, transpusă, egalitate cu parametri și ecuații de forma $X + A = B$ . Se dă primul, fiindcă niciuna dintre cerințele lui nu are nevoie de produsul a două matrice.
Test: înmulțirea matricelor și proprietățile ei — produsul propriu-zis, ordinea factorilor și cerințele în care trebuie arătat că o egalitate este sau nu adevărată.
Test: puterea unei matrice — inducție și binomul lui Newton — calcul direct, formă generală ghicită și demonstrată prin inducție, plus cazul binomului lui Newton.
Test: șiruri recurente și matrice de rotație — ultimele două metode de ridicare la putere, în forma în care rotația și recurența ajung în cerințele probei M1.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului este proba pe format și pe un singur element, iar trei dintre cele patru greșeli care se repetă sunt instanțe ale ei. Înainte de orice calcul, scrie deasupra tabloului formatul fiecărei matrice, sub forma „linii × coloane". După calcul, alege un element al rezultatului, de preferință cel din colțul din dreapta jos, și recalculează-l singur. Dacă formatul iese și elementul ales se confirmă, primele trei greșeli de mai jos sunt excluse; a patra scapă oricărei verificări cu numere și se închide doar scriind pasul de demonstrație.

Formatul scris deasupra oprește adunarea imposibilă. Când cele două tablouri au „linii × coloane" diferite, suma nu există, iar observația aceasta este răspunsul complet la cerință, nu un accident de calcul. Se repară la lecția de adunare și egalitate.
Același format prinde produsul scris invers, fiindcă $A B$ și $B A$ au de obicei dimensiuni diferite. Când, întâmplător, au aceeași dimensiune, formatul tace și te salvează a doua jumătate a probei: elementul recalculat iese altul, fiindcă valorile diferă chiar și atunci.
Elementul recalculat prinde factorul scos dintr-o singură linie. Alege-l dinadins pe o linie pe care nu ai lucrat: dacă factorul a intrat doar într-una, valoarea de acolo iese alta decât cea scrisă.
Formatul iese, elementul se confirmă și tot nu ai demonstrat nimic. Forma generală „ghicită" și lăsată nedemonstrată la puteri este singura greșeală a capitolului pe care proba de mai sus nu o prinde: o formulă falsă trece și de format (formatul lui $A^{n}$ este cel al lui $A$ , oricare ar fi formula), și de proba pe un element, fiindcă se potrivește tocmai pe valorile din care a fost ghicită. A doua probă, pentru ea, nu e numerică, ci de scris: forma ghicită din primele două puteri este o ipoteză, iar ea se închide numai cu pasul de inducție, pe care baremul îl punctează separat. Se repară la ridicarea la putere prin inducție.

Recapitulare și pregătire pentru Bacalaureatul M1

Tot blocul de algebră se reia în recapitulare: matrice, determinanți și sisteme; pentru repetat înainte de teză sunt cartonașele cum se înmulțesc două matrice de ordin 2 și cum se ridică o matrice la pătrat.

Cât cântăresc matricele în proba M1 și în ce subiect cad se vede în ce intră la Bacalaureatul M1, iar enunțurile date efectiv, cu barem și rezolvare, se citesc pe cele 91 de subiecte oficiale. Data propusă pentru proba din 2027 și subiectele ei, când vor fi publicate, stau la Bacalaureatul 2027 la matematică M1.

De aici încolo

Capitolul continuă direct în determinanți, unde matricea pătratică primește un număr atașat, și în sisteme de ecuații liniare, unde produsul de matrice devine forma scurtă a unui sistem. Metoda cu șiruri recurente de la ultima lecție se înțelege mai bine după limitele de șiruri. Matricele sunt primul capitol de pe hub-ul clasei a XI-a, care arată și ce urmează după ele; tablourile se exersează pe fișe tipăribile. Anul care urmează, cu grupuri, inele și polinoame construite pe operațiile de aici, este la matematica de clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul de matrice, dacă am pierdut primele ore?

De la formatul unei matrice și de la notația cu doi indici, adică de la primele două lecții. Fără ele, adunarea pare să meargă între orice două tablouri, iar produsul pare o înmulțire element cu element. Nu-ți trebuie nimic din clasa a X-a în afară de calcul algebric elementar și de binomul lui Newton, care revine abia la a zecea lecție.

În ce ordine se învață cele 12 lecții și de ce contează ordinea?

Întâi obiectul și tipurile, apoi cele două operații simple, apoi produsul, apoi puterile. Ordinea contează la un singur pas, dar acolo contează mult: puterile presupun produsul stăpânit, fiindcă $A^{2}$ înseamnă $A \cdot A$ , cu toate regulile lui. Cine sare la puteri direct calculează de fapt pătratul fiecărui element, ceea ce dă alt rezultat.

Ce se pierde dacă sar peste lecția de proprietăți ale înmulțirii?

Se pierde exact partea care nu se poate ghici din calcul. Tehnica produsului se prinde din două exemple, dar regulile care spun ce ai voie să faci într-o egalitate cu matrice se învață numai acolo: că ordinea factorilor nu se schimbă, că dintr-un produs nul nu rezultă un factor nul și că nu se simplifică cu o matrice. Fără ele, cerințele de la Subiectul al II-lea în care trebuie justificat un pas rămân nescrise, iar puterile se calculează cu reguli împrumutate de la numere.

A cincea metodă de ridicare la putere de ce nu intră în acest capitol?

Fiindcă are nevoie de un obiect care nu există încă: relația Hamilton-Cayley se scrie cu determinantul și cu urma matricei, iar determinantul se învață abia în capitolul următor. Patru metode se învață aici: calculul direct cu ghicirea formei generale, inducția, binomul lui Newton și șirurile recurente. Lecția de sinteză le compară și arată după ce semne din enunț se alege metoda.

În ce ordine dau cele patru teste de matrice?

În ordinea lecțiilor: operații simple, produs, puteri prin inducție și binom, apoi șiruri recurente și rotație. Fiecare test presupune rezolvat testul de dinaintea lui, iar ultimul se apropie de forma de examen. Dacă ai timp pentru unul singur înainte de teză, dă-l pe al doilea: produsul apare în toate cerințele care urmează.

Ce fac dacă produsul a două matrice îmi iese altfel decât în barem?

Refaci un singur element, nu tot tabloul: alegi elementul din colțul din dreapta jos și îl recalculezi ca sumă de produse între ultima linie a primei matrice și ultima coloană a celei de-a doua. Dacă acela iese, greșeala este într-o altă poziție și o găsești repede; dacă nu iese, ai inversat ordinea factorilor.

La ce folosesc matricele în afara examenului?

La scrierea compactă a unor tabele de date cu care apoi se calculează: costuri pe produse și furnizori, fluxuri între noduri, stocuri pe depozite. Capitolul nu tratează aplicațiile ca decor: a șaptea lecție e construită pe ele, iar cerințele de acolo cer aceleași operații ca cele de examen, doar cu enunț de viață.