Sisteme de ecuații liniare — clasa a XI-a

Un sistem de ecuații liniare se scrie în clasa a XI-a ca o singură egalitate între matrice, iar întrebarea nu mai este doar „care sunt soluțiile", ci „câte soluții are". Capitolul are 14 lecții și 4 teste cu barem și dă trei metode de rezolvare și două teoreme care spun dinainte la ce te aștepți.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este al treilea capitol al anului și cel care închide blocul de algebră: folosește matricele din primul capitol și determinanții din al doilea, fără să adauge obiecte noi. În gimnaziu sistemele liniare se rezolvau prin substituție și prin reducere, pe două ecuații, iar în clasa a IX-a substituția a revenit la sisteme cu o ecuație de gradul al doilea; aici se rezolvă sisteme cu trei, patru sau $m$ ecuații și, mai important, se discută după un parametru. Pagina de sisteme liniare strânge cele 14 lecții, formulele de decizie, exercițiile rezolvate și cele patru teste.

Ce se cere la Bacalaureatul M1 din sistemele de ecuații liniare

La proba M1 sistemele cad la Subiectul al II-lea, de obicei într-o cerință în trei pași: se calculează un determinant, se discută după parametru, se rezolvă. Șase feluri de cerință acoperă cele 98 de cerințe de sisteme date între 2010 și 2026:

Tot ce s-a dat pe sisteme, de la o sesiune la alta, se găsește la sisteme de ecuații liniare la Bac M1.

Teorie: cele 14 lecții ale capitolului

Capitolul are trei intrări: metoda determinanților, criteriul rangului și metoda eliminării. Lecțiile le parcurg în această ordine fiindcă fiecare răspunde la o întrebare pe care cea dinainte o lasă deschisă, nu fiindcă s-ar folosi una pe alta.

Scrierea matriceală și regula lui Cramer. Forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă transformă un sistem într-o egalitate de tipul $AX=B$ și fixează cele două matrice cu care se lucrează tot capitolul. Teorema și formulele lui Cramer dau prima metodă completă, cu condiția ei: tot atâtea ecuații câte necunoscute și determinant nenul. Sistemele de tip Cramer cu patru ecuații și patru necunoscute arată că metoda nu se schimbă odată cu dimensiunea, doar calculul crește, iar rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse dă a doua față a aceleiași idei: dacă $A$ se poate inversa, soluția se scrie direct.

Rangul și cele două teoreme de compatibilitate. Rangul unei matrice: definiția cu minori introduce numărul care măsoară câte linii aduc informație nouă, iar rangul unei matrice prin transformări elementare dă metoda practică de calcul. Pe rang se sprijină teorema Kronecker-Capelli, care spune când sistemul are soluții, și teorema lui Rouché, care răspunde la aceeași întrebare cu determinanții caracteristici, fără să calculeze rangul matricei extinse. Sistemele compatibile nedeterminate și necunoscutele secundare arată ce se face când soluțiile sunt o infinitate: se aleg necunoscute secundare și se scrie soluția generală. Sistemele liniare omogene sunt cazul în care termenii liberi sunt zero, iar întrebarea se schimbă: soluția nulă există întotdeauna, deci se caută condiția în care apar și altele.

Eliminarea și discuția. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare rezolvă orice sistem prin transformări pe linii, fără niciun determinant, iar metoda lui Gauss pentru inversa unei matrice și pentru ecuații matriceale o duce înapoi în capitolul de determinanți. Sistemele de ecuații liniare cu parametru: discuția completă sunt lecția de care depinde nota la examen: acolo se învață toate cazurile, scrise, iar modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare arată de unde vin sistemele în afara manualului — amestecuri, rețele, echilibre de costuri.

Formule

Tema de formule are nouă intrări, în trei grupe. Prima grupă e de scriere și de rezolvare directă: forma matriceală a unui sistem liniar, regula lui Cramer și rezolvarea cu matricea inversă — pe ultima o deschizi doar când inversa este deja calculată, altfel Cramer cere mai puțină muncă.

A doua grupă e de decizie, adică paginile la care te întorci când nu știi dacă sistemul are soluții: rangul unei matrice, teorema Kronecker-Capelli, teorema lui Rouché și determinanții caracteristici și natura soluțiilor unui sistem compatibil, care leagă numărul de necunoscute secundare de rang.

A treia grupă sunt cazurile speciale: sistemele liniare omogene și metoda lui Gauss cu operațiile elementare pe linii. Tema întreagă este la formulele de sisteme liniare, fiecare pagină cu legenda literelor și cu un exemplu dus până la capăt.

Vocabularul care se cere folosit exact în redactare este în glosar: sistem de ecuații liniare, sistem de tip Cramer, matricea extinsă, rangul unei matrice, minor principal, determinant caracteristic, sistem compatibil, sistem incompatibil, sistem liniar omogen și metoda lui Gauss.

Exerciții rezolvate

Capitolul are și douăsprezece exerciții rezolvate, toate cu variante de răspuns; „Vezi rezolvarea" arată la fiecare de ce răspunsul ales este cel corect, pas cu pas, și trimite la lecția de sisteme din care vine cerința. Acoperă scrierea matriceală, sistemele de tip Cramer cu două și cu trei necunoscute, calculul rangului, aplicarea celor două teoreme de compatibilitate, sistemele omogene și primii pași ai eliminării lui Gauss. Discuția completă după un parametru, care cere pagină întreagă, se lucrează pe testele capitolului.

Exerciții cu verificare

La sisteme, drumul scurt este să lucrezi în pagină, nu pe marginea caietului. Testul ghidat de sisteme Cramer îți dă pasul următor acolo unde te-ai oprit. La sisteme, ghidajul intervine de obicei înainte de calcul: verifică dacă sistemul îndeplinește condiția lui Cramer, fiindcă metoda aplicată unui sistem cu determinant nul dă o împărțire la zero, nu un rezultat greșit.

Teste cu barem

Capitolul are patru teste, iar cifrele lor nu sunt aceleași: primele două au 13 cerințe, ultimele două 12, iar timpul recomandat ține între 50 și 70 de minute, după cât de mult se scrie la fiecare. Baremul stă în josul fiecărei pagini, ca secțiune deschisă.

• Test: forma matriceală a unui sistem și regula lui Cramer — 13 cerințe în 70 de minute recomandate; zece puncte din sută vin din oficiu. Se dă primul.
• Test: rangul unei matrice — 13 cerințe și 60 de minute; conține și minorii care se caută sistematic, de la ordinul mare spre cel mic.
• Test: Kronecker-Capelli, Rouché și sisteme nedeterminate — 12 cerințe rezolvate într-o oră de curs; este testul de decizie al capitolului.
• Test: metoda lui Gauss și sisteme cu parametru — 12 cerințe și 55 de minute, cu discuția pe cazuri cerută integral în redactare.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului este o întrebare pusă înainte de calcul: câte soluții poate avea sistemul acesta? Răspunsul are numai trei forme — exact una, o infinitate, niciuna —, iar cea aleasă trebuie să se potrivească cu ce ai calculat: un sistem cu determinant nenul nu poate ieși nedeterminat, un sistem omogen nu poate ieși incompatibil, iar o soluție scrisă ca fiind singura, fără determinant calculat, nu e justificată. Când ai o soluție, o înlocuiești în toate ecuațiile, iar dacă ai o familie de soluții, ceri ca egalitățile să fie adevărate pentru orice valoare a necunoscutelor secundare; când n-ai nicio soluție de pus, verifici că fiecare caz al discuției a primit un răspuns. Prima jumătate a probei închide punctele 1 și 4 de mai jos, a doua pe 2; punctul 3 nu se vede la nicio probă numerică și se închide altfel:

1. Cramer aplicat unui sistem cu determinant nul — întrebarea de mai sus îl oprește din start, fiindcă un determinant nul scoate „exact o soluție" dintre răspunsurile pe care metoda le mai poate da: condiția se verifică înainte, nu după. Cazul acesta se tratează la sistemele cu parametru, unde valoarea care anulează determinantul este exact cazul care se discută separat.
2. Discuția oprită la primul caz — aici nu ai ce înlocui, fiindcă lipsesc tocmai cazurile netratate; proba este numărătoarea lor: sistemul are un răspuns pentru determinant nenul și cel puțin încă unul pentru fiecare valoare care îl anulează, iar un răspuns fără cazuri este un răspuns incomplet, pe care baremul îl punctează ca atare.
3. Rangul citit greșit, prin oprirea căutării la primul minor nul — singurul punct al listei pe care nicio probă numerică nu îl prinde, fiindcă un rang luat prea mic nu contrazice niciun calcul făcut cu el; se închide la definiție, recitită înainte de a opri căutarea: rangul este ordinul maxim al unui minor nenul, nu ordinul unui minor nenul oarecare, deci un minor nul nu încheie căutarea, care se face coborând de la ordinul maxim posibil. Se repară la rangul prin transformări elementare.
4. Sistemul omogen declarat incompatibil — răspunsul „niciuna" este exclus din capul locului la un sistem omogen: soluția cu toate necunoscutele nule verifică întotdeauna ecuațiile, deci întrebarea corectă este dacă mai există și altele.

Recapitulare și pregătire pentru Bacalaureatul M1

Sistemele se recapitulează la capătul blocului, în lecția de recapitulare a blocului de algebră; înainte de teză se repetă pe cartonașele înainte de teză sunt cartonașele cum se rezolvă un sistem cu regula lui Cramer și cum rezolv un sistem prin metoda lui Gauss.

Cât cântărește algebra clasei a XI-a din blocul de algebră cade în probă e scris la ce intră la Bacalaureatul M1, cerințele de sisteme date la examen, cu baremul lor, sunt pe cele 91 de subiecte oficiale de Bac M1, iar pentru sesiunea care vine există pagina de subiecte de Bacalaureat 2027.

De aici încolo

Capitolul se sprijină pe matrice, de unde vine scrierea $AX=B$, și pe determinanți, de unde vin toate criteriile. După el, anul schimbă domeniul: urmează geometria analitică, cu dreapta în plan, unde intersecția a două drepte este chiar un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Capitolul de sisteme stă lângă celelalte capitole ale anului, pe hub-ul clasei a XI-a; discuțiile după parametru cer spațiu de scris, deci merg pe fișe tipărite, iar anul dinaintea acestuia, cu numerele complexe și cu polinoamele pe care algebra de clasa a XII-a le reia în inele și corpuri, la matematica de clasa a X-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul de sisteme liniare?

De la forma matriceală, adică de la prima lecție. Fără ea, restul capitolului pare o colecție de rețete: nu se vede de ce determinantul sistemului decide numărul de soluții și nici de ce inversa matricei rezolvă sistemul dintr-o operație. După prima lecție poți merge direct la Cramer, care este metoda cerută de obicei în cerințele de examen.

În ce ordine se învață sistemele liniare și ce se poate lăsa la urmă?

Ordinea este Cramer, rang și teoreme, apoi Gauss. Nu se sare nimic din prima etapă, fiindcă restul se sprijină pe ea. Lecția de sisteme Cramer de ordin 4 se poate lăsa pentru mai târziu dacă timpul presează: nu aduce metodă nouă, ci doar volum de calcul. Lecția de discuție cu parametru se face întotdeauna, indiferent de timp.

Ce îmi trebuie din matrice și din determinanți ca să încep sistemele?

Determinantul de ordinul al doilea și al treilea, calculat fără ezitare, și înmulțirea a două matrice. În plus, este util să știi calcula o inversă de ordinul al doilea. Dacă determinanții nu sunt stăpâniți, capitolul nu poate începe: toate criteriile de compatibilitate sunt formulate în limbajul lor.

De ce are capitolul trei metode de rezolvare, dacă una singură ar ajunge?

Fiindcă niciuna nu acoperă tot. Cramer cere sistem pătratic și determinant nenul, deci se oprește exact acolo unde încep cerințele interesante. Metoda inversei cere aceleași condiții și, în plus, o inversă deja calculată. Gauss merge pe orice sistem, dar nu spune singur de ce, deci cerințele care cer o discuție motivată se scriu tot cu determinanți. Cele trei nu sunt variante ale aceluiași lucru, ci trei felii din întrebarea capitolului: câte soluții are sistemul.

Ce fac dacă la un exercițiu din capitol îmi ies o infinitate de soluții?

Nu ai greșit: este unul dintre cele trei răspunsuri posibile ale capitolului, alături de exact o soluție și de niciuna. Ce se schimbă e forma răspunsului, nu metoda: nu mai scrii numere, ci o familie de soluții, iar cerința se consideră închisă abia când ai spus și câte grade de libertate are. Un răspuns de forma „nu se poate rezolva" nu se punctează, iar lecția de sisteme compatibile nedeterminate arată cum se alege ce rămâne literă.

Trebuie învățate amândouă teoremele, Kronecker-Capelli și Rouché?

Da, fiindcă răspund la aceeași întrebare pe două drumuri diferite, iar cerințele le cer după caz. Prima compară rangul matricei sistemului cu rangul matricei extinse; a doua verifică dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli. Când matricea extinsă este mare, a doua cere mai puține calcule; când rangul este deja calculat, prima închide problema într-un rând.

De ce se punctează cazurile discuției, nu concluzia finală?

Fiindcă baremul plătește drumul, nu destinația: un sistem cu parametru nu are un răspuns, ci câte unul pentru fiecare valoare specială plus unul pentru rest, iar cine scrie doar cazul general pierde punctele celorlalte. Discuția se scrie în trei părți: determinantul sistemului ca expresie în parametru, valorile care îl anulează, apoi cazul general și fiecare valoare specială, tratate separat. La fiecare caz se spune ce fel de sistem a rezultat — cu exact o soluție, cu o infinitate sau fără — și se scrie soluția acolo unde există.