Determinanți — clasa a XI-a

Determinantul este numărul atașat unei matrice pătratice, iar la clasa a XI-a el se calculează în trei feluri — formula de ordinul al doilea, regula lui Sarrus și dezvoltarea după o linie — și se folosește în trei: ca să spui dacă o matrice se poate inversa, ca să rezolvi sisteme și ca să scurtezi calcule de arie. Capitolul are 16 lecții și 5 teste cu barem și pornește de la permutări.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este al doilea capitol al anului: 16 lecții, mai multe decât are oricare alt capitol de algebră al clasei. Pornește de la permutări fiindcă definiția generală a determinantului se scrie cu ele, dar trece repede la ordinul al doilea și al treilea, singurele care se cer calculate direct la Bacalaureatul M1. Pagina de determinanți așază la un loc cele 16 lecții, cele douăsprezece pagini de formule ale temei, exercițiile rezolvate și cele cinci teste.

Ce se cere la Bacalaureatul M1 din determinanți

La proba M1 determinanții cad la Subiectul al II-lea, împreună cu matricele, iar cerințele sunt aproape întotdeauna de calcul cu discuție, nu de teorie. Șase feluri de cerință acoperă cele 75 de cerințe de determinanți date între 2010 și 2026, plus cerințele de inversă și de ecuație matriceală de pe tema vecină:

Cerințele date an cu an sunt strânse pe două pagini: determinanți la Bac M1, cu 75 de cerințe din 55 de probe între 2010 și 2026, și matrice inversabile și ecuații matriceale la Bac M1, cu 16 cerințe între 2010 și 2024 — temă care nu a mai apărut în subiectele de după 2024, dar rămâne în programă și la teză.

Teorie: cele 16 lecții ale capitolului

Capitolul se citește în patru etape: permutările, calculul determinanților, proprietățile lor și inversa unei matrice.

Permutările, adică de unde vine semnul. Permutări: definiție, notație și compunere arată că o permutare este o funcție bijectivă de la o mulțime finită la ea însăși și că se compune ca orice funcție, de la dreapta la stânga. Inversiuni și semnul unei permutări dă regula prin care fiecare permutare primește $+1$ sau $-1$: se numără perechile luate în ordine inversă. Semnul acesta este cel care apare mai târziu în fața fiecărui termen al determinantului.

Calculul propriu-zis. Determinantul de ordinul al doilea se reține imediat, ca diferență a două produse. Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului aduce cele două scheme de calcul, cu avertismentul care se uită întotdeauna: amândouă se opresc la ordinul al treilea. Determinantul de ordin n: definiția cu permutări o generalizează, cu sumă după toate permutările, și explică de ce nu se calculează niciodată așa în practică.

Proprietățile, adică scurtăturile. Cele două lecții de proprietăți — proprietățile determinanților (I): transpusa, liniile nule și factorul comun și proprietățile determinanților (II): schimbarea liniilor, liniile proporționale și transformările — sunt lecțiile în care un calcul lung se scurtează la câteva rânduri. Dezvoltarea după o linie sau o coloană este metoda care nu depinde de ordin, iar determinanții de ordin 4 calculați prin transformări elementare o folosesc abia după ce o linie a fost adusă la un singur element nenul. Determinantul produsului a două matrice dă relația care leagă capitolul de cel dinainte: determinantul unui produs este produsul determinanților.

Inversa și ce se face cu ea. Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului enunță condiția pe care se sprijină restul: o matrice pătratică se poate inversa exact când determinantul ei nu este nul. Calculul inversei cu matricea adjunctă dă procedura completă, inversa unei matrice de ordin 4 și matricele cu parametru o duce mai departe, iar ecuațiile matriceale arată la ce folosește: la rezolvarea ecuațiilor în care necunoscuta este o matrice, unde partea cu care înmulțești trebuie aleasă la stânga sau la dreapta, nu la întâmplare. Ecuația Hamilton-Cayley și puterile unei matrice de ordin 2 închide și subiectul puterilor, iar sinteza celor cinci metode de ridicare la putere compară toate metodele învățate în primele două capitole.

Formule

Tema de formule are douăsprezece intrări și acoperă exact traseul de mai sus. De calcul sunt determinantul de ordinul al doilea, regula lui Sarrus și minorul, complementul algebric și dezvoltarea determinantului — ultima îți trebuie de la lecția a opta încolo și rămâne cu tine până la sisteme.

Proprietățile stau strânse pe două pagini, proprietățile 1–4 și proprietățile 5–8; le deschizi când vrei să justifici o transformare, fiindcă la examen fiecare pas de simplificare trebuie numit. Tot de justificare țin determinantul produsului și determinantul unei matrice înmulțite cu un scalar, a doua fiind pagina la care te trimite prima greșeală de la ordinul al treilea.

Pentru inversare sunt patru: matricea inversabilă și matricea adjunctă, inversa unei matrice de ordinul al doilea, pe care o vei folosi la aproape fiecare cerință de inversă, inversa prin metoda Gauss-Jordan, care devine utilă la ordinul al treilea și al patrulea, și ecuațiile matriceale. Relația Hamilton-Cayley încheie tema, iar tema întreagă este la formulele de determinanți.

Definițiile scurte sunt în glosar: determinant, permutări, inversiune la permutări, signatura unei permutări, minorul unui element, dezvoltarea determinantului după o linie, matrice inversabilă, matricea adjunctă și inversa unei matrice.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt 12, fiecare cu variante de răspuns și cu rezolvarea sub „Vezi rezolvarea", alături de legătura spre lecția din care vine cerința. Acoperă compunerea permutărilor și semnul lor, determinanții de ordinul al doilea și al treilea, ecuațiile de forma „determinantul este nul", proprietățile folosite ca scurtătură, criteriul de inversabilitate și calculul unei inverse de ordinul al doilea. Pentru determinanții de ordin 4 și pentru matricele cu parametru se lucrează pe testele capitolului, unde enunțurile au loc de desfășurare.

Exerciții cu verificare

Determinanții nu se învață citind, ci ducând calculul până la ultimul semn. Testul ghidat de determinanți de ordinul 2 și 3 îți dă pasul următor acolo unde te-ai oprit. La determinanți ghidajul se oprește de obicei la semnele din regula lui Sarrus și la complementul algebric, unde semnul depinde de poziția elementului, nu de valoarea lui.

Teste cu barem

Toate cele cinci teste de determinanți cer 13 rezolvări și o oră de curs, iar din suta de puncte a fiecăruia zece se acordă din oficiu. Baremul este o secțiune deschisă la finalul fiecărui test.

• Test: permutări, inversiuni și semnul unei permutări — partea de care depinde definiția generală; se dă după primele două lecții.
• Test: determinanți de ordinul 2 și 3 — calculul direct, cu Sarrus și cu regula triunghiului, plus ecuațiile cu determinant.
• Test: proprietățile determinanților și dezvoltarea după o linie — transformările care simplifică un calcul, până la linia plină de zerouri.
• Test: matrice inversabile și calculul inversei — criteriul determinantului, matricea adjunctă și inversa de ordinul al doilea și al treilea.
• Test: ecuații matriceale și Hamilton-Cayley — ultimele două lecții, exact în tiparul cerut la Subiectul al II-lea.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului este recalcularea pe alt drum: orice determinant se poate obține în cel puțin două feluri, iar dacă amândouă dau același număr, rezultatul e bun. Un determinant de ordinul al treilea calculat cu Sarrus se verifică prin dezvoltare după o linie; unul dezvoltat după prima linie se verifică dezvoltând după o coloană; o inversă se verifică înmulțind-o cu matricea de la care ai pornit și cerând matricea unitate. Trei dintre cele patru greșeli tipice ale capitolului nu supraviețuiesc acestei probe; a treia cere altă probă, fiindcă se ascunde în transformare, nu în calcul:

1. Al doilea drum dă alt număr dacă primul a folosit Sarrus la ordinul 4 — regula nu se extinde peste ordinul al treilea: pe un tablou de ordin 4 ea scrie opt produse, acolo unde determinantul are 24 de termeni, iar dezvoltarea după o linie arată pe loc diferența. Drumul corect trece prin determinanții de ordin 4, cu transformări elementare și dezvoltare.
2. A doua dezvoltare, făcută după altă linie, prinde semnul complementului algebric luat după valoarea elementului în loc de poziția lui: cele două drumuri dau numere diferite. Se repară la dezvoltarea după o linie.
3. Factorul comun scos din tot determinantul când el este comun doar unei linii — sau invers, la înmulțirea întregii matrice cu un număr, unde factorul iese la puterea ordinului. Este singura greșeală care trece de recalculare, fiindcă amândouă drumurile pornesc din același determinant deja stricat; se prinde numai comparând valoarea de dinainte și de după transformare pe un caz mic. Se repară la proprietățile determinanților.
4. Proba prin înmulțire prinde inversa scrisă fără verificarea condiției ca determinantul să fie nenul: produsul cu matricea de la care ai pornit nu dă matricea unitate, și eșuează pe loc.

Recapitulare și pregătire pentru Bacalaureatul M1

Determinanții se recapitulează împreună cu matricele și sistemele, în recapitulare: matrice, determinanți și sisteme; pentru repetat rapid sunt cartonașele cum se aplică regula lui Sarrus și cum știu dacă o matrice are inversă.

Materia de algebră care ajunge în probă e listată la ce intră la Bacalaureatul M1, iar felul în care sunt formulate se vede pe cele 91 de subiecte oficiale de Bacalaureat; neconcordanțele găsite la transcrierea baremelor sunt notate în ce am găsit în baremele oficiale de Bac M1.

De aici încolo

Capitolul vine după matrice, fără de care nu are obiect, și se continuă imediat în sisteme de ecuații liniare, unde determinantul devine criteriul după care un sistem are sau nu exact o soluție. Determinantul mai apare o dată în anul acesta, la dreapta în plan, în condiția de coliniaritate și în formula ariei. Unde stau determinanții față de restul anului se vede pe hub-ul clasei a XI-a; pentru exersat pe hârtie există fișe de lucru tipăribile. Structurile algebrice construite pe aceste operații urmează în clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul de determinanți, dacă permutările mi se par grele?

De la determinantul de ordinul al doilea, apoi de la Sarrus, și abia după aceea te întorci la permutări. Permutările sunt necesare doar pentru definiția generală și pentru semnul din ea; pentru calculul de ordinul al doilea și al treilea, adică pentru tot ce se cere la examen, nu îți trebuie. Lecțiile pot fi citite în această ordine fără pierdere.

În ce ordine se învață determinanții și ce se poate citi mai târziu?

În patru etape: permutări, calculul determinanților, proprietățile lor, apoi inversa unei matrice și ecuațiile matriceale. Singurul loc în care ordinea nu se poate schimba este ultimul: inversa se calculează cu determinantul și cu adjuncta, deci ambele trebuie stăpânite înainte. Restul etapelor suportă o citire în altă ordine, dacă ai motive.

Ce îmi trebuie din capitolul de matrice ca să pot începe aici?

Trei lucruri: înmulțirea a două matrice, matricea unitate și transpusa. Prima îți trebuie la verificarea inversei, a doua ca reper al probei, a treia în prima lecție de proprietăți. Dacă produsul de matrice nu este stăpânit, verificarea inversei devine imposibilă, iar capitolul se transformă într-o listă de rețete fără control.

Până la ce ordin se cere calculat un determinant la clasa a 11-a?

Se calculează curent până la ordinul al patrulea, dar numai ordinele al doilea și al treilea se cer cu formulă directă. La ordinul al patrulea se lucrează prin transformări elementare care fac zerouri pe o linie, urmate de dezvoltare. Definiția cu permutări acoperă orice ordin, însă nu este o metodă de calcul, ci temeiul teoretic al celorlalte.

Ce se schimbă la determinanți față de algebra din clasa a X-a?

Apare un obiect care nu se comportă ca un număr: determinantul depinde de poziții, nu doar de valori, iar simplificările permise sunt enumerate în opt proprietăți, nu deduse din reflexele de calcul. De aceea capitolul cere ca fiecare transformare să fie numită, iar o egalitate „evidentă" nescrisă nu se punctează la examen.

Trebuie învățate toate cele opt proprietăți ale determinanților?

Da, dar nu la fel. Patru dau valoarea fără calcul: o linie de zerouri, două linii identice sau două linii proporționale înseamnă determinant nul, iar transpusa are aceeași valoare ca matricea inițială. Celelalte patru servesc la transformat: factorul comun scos de pe o linie, schimbarea a două linii cu schimbarea semnului, adunarea unui multiplu de linie la altă linie și descompunerea unei linii scrise ca sumă de două linii. Primele se rețin ca reflexe, a doua grupă se învață scriind: la examen fiecare transformare trebuie numită, altfel pasul nu se punctează.

Ce se dă la teză din determinanți?

De obicei un determinant de calculat, o ecuație cu determinant, o cerință de inversabilitate cu discuție după un parametru și o ecuație matriceală. Cele cinci teste ale capitolului acoperă exact această combinație și au toate aceleași cifre — 13 cerințe și 50 de minute —, iar cel de proprietăți este singurul la care ordinea de lucru schimbă tot: cu transformările făcute înaintea calculului, un determinant de ordin 4 se rezolvă prin dezvoltare după o linie cu zerouri, nu prin cei 24 de termeni ai definiției.