Operații cu matrice și puteri de matrice: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Operații cu matrice și puteri de matrice, în 2010–2026: 93 de cerințe din 54 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul al II-lea, în problemele de 15 puncte cu trei subpuncte. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Operații cu matrice și puteri de matrice» la Bac M1

93 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (5,7 %), în 54 de probe din 91.
A apărut în 17 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade numai la Subiectul al II-lea (0 cerințe la Subiectul I, 93 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 465 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 2,31 din 3 — stă spre subpunctele finale, cele care despart notele mari de restul.

Din cele 93 de cerințe, 71 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește operații cu matrice și puteri de matrice ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Operații cu matrice și puteri de matrice», an cu an

2026 — 4 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (a) \cdot A (a) = (2 a - 1) A (a)$ , pentru orice număr real $a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră matricea $B (n) = A (n) + n I_{3}$ , unde $n$ este număr natural. Determinați numărul natural $n$ pentru care… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (a) \cdot A (b) = A (a + b - 3 ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care $A (1) \cdot A (a) + A (5) = 2 A (4)$ .

2025 — 6 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) = 2 A (x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A (x) + A (3 x)) \cdot A (2 x) = 4 A (x^{2})$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $M (x) \cdot M (y) - x y I_{3} = (x + y + 1) M (0)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $M (1) \cdot M (x) - M (2) \cdot M (\frac{x}{2}) = 2 M (0)$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A - B (x) \cdot A = x I_{3}$ , pentru orice număr real $x$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $C (x)$ astfel încât $A \cdot C (x) = B (x)$ . Arătați că…

2024 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $B (x) \cdot B (y) - B (x + y) = x y A$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $B (x) \cdot B (x + 1) - B (2 x) \cdot B (1) = x A$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $M (x) \cdot M (2) = M (x - 1)$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $A (x) \cdot A (1) = 2 A (x)$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (a) \cdot A (b) = A (a) - A (b) + I_{3}$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați matricea $X \in M_{3} (R)$ pentru care $A (1) \cdot X \cdot A (0) = I_{3}$ .

2023 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) - A (x y) = (x + y - 2) A (0)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A (- 1) \cdot A (3) \cdot A (x) = A (y)$ .

2022 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (1) \cdot A (x) - A (x - 1) = 2 I_{3}$ , pentru orice număr real $x$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $A (1) \cdot A (1) \cdot A (x) = 3 A (1) + 2 I_{3}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural $n$ pentru care $A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) \cdot A (n + 3) = A (2 n^{2})$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $(A (x) - I_{3}) (A (x) - I_{3}) = O_{3}$ , pentru orice număr real $x$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $A (x) \cdot A (x) = x A (x) - (x - 1) I_{3}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (z_{1}) \cdot A (z_{2}) = A (z_{1} z_{2})$ , pentru orice numere complexe $z_{1}$ și $z_{2}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural $n$ pentru care…

2021 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați matricea $B \in M_{3} (R)$ , știind că $a B = A (a) - 2 I_{3}$ , pentru orice număr real $a$ .

2020 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (x) A (y) = A (y) A (x)$ , pentru orice $x, y \in (0, + \infty)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural $n$ pentru care…

2019 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (a) A (b) = ab I_{3} + (a + b + 1) A (0)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural $n$ pentru care $A (0) A (1) A (2) \dots A (2019) = n! A (0)$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (a) \cdot A (b) = 2 A (ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că matricea… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (a) A (b) = A (ab + a + b)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ , $a > 0$ , $b > 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ , $a > 0$ , știind că $A (a) A (a) A (a) = A (7)$ .

2018 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (x) A (y) = A (x + y - 2)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $m$ pentru care $A (1) A (2) A (3) \cdot \dots \cdot A (10) = A (m^{2} + m + 17)$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (x) + A (1 - x) = 2 A (\frac{1}{2})$ , pentru orice număr real $x$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $A (x) \cdot A (1 - x) = \frac{1}{2} A (\frac{1}{2})$ .

2017 — 5 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați matricea $X \in M_{3} (R)$ pentru care $A (2) \cdot X = A (0)$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (x) A (y) A (z) = x y z I_{3}$ , pentru orice numere reale $x$ , $y$ și $z$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, dacă numerele naturale $m$ și $n$ verifică relația $A (m) A (n) = A (2)$ , atunci $m + n = 3$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele naturale $n$ și $p$ , știind că $A (n) B (p) = B (3)$ .

2016 — 5 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $A (x) A (y) = A (x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ , $a \neq = - 1$ , știind că… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ , știind că $A (x) \cdot A (2 x) = A (x^{2} + 2)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Știind că $A (n) = A (1) \cdot A (2) \cdot A (3) \cdot \dots \cdot A (2016)$ , demonstrați că $n$ este număr natural… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Rezolvați ecuația matriceală $X \cdot A (0) = (2 - 1 1302)$ , unde…

2015 — 12 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) A (y) = A (x y + x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ , știind că $A (x) A (x) A (x) = A (7)$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $a$ , știind că $A^{2} (a) - 2 A (a) + I_{3} = O_{3}$ , unde $A^{2} (a) = A (a) A (a)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $A (2) + A (4) + A (6) + \dots + A (100) = 50 A (51)$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $B (x) + B (y) = 2 B (\frac{x + y}{2})$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $B (x^{2} + 1) B (x) = B (x^{2} + x + 1)$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A \cdot B (x) + B (x) \cdot A = 3 B (x)$ , pentru orice număr real $x$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $B (x) \cdot B (x) \cdot B (x) = B (x^{2} + x - 2)$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul natural $n$ , știind că $2 A (n^{2}) - A (n) = A (6)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că există o infinitate de matrice $X \in M_{3, 1} (R)$ care verifică relația… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $A (1) + A (- 1) = 2 A (0)$ .

2014 — 10 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x + y) = A (x) \cdot A (y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ știind că $A (x^{2} + 2) = A (x) \cdot A (x) \cdot A (x)$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $a$ astfel încât… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați matricea $X = x y z$ știind că… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y + 4 x y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul natural $n$ știind că $A (n) \cdot A (1) = A (3)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele naturale $p$ și $q$ știind că $A (p) \cdot A (q) = A (pq)$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $A (x) + A (- x) = 2 A (0)$ , pentru orice număr real $x$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că există o infinitate de matrice $X \in M_{3, 1} (R)$ care verifică relația… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile de numere naturale $(a, b)$ pentru care matricea $A (a) \cdot A (b)$ are suma elementelor egală cu…

2013 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $m$ știind că… sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Verificați dacă $A (0) \cdot A (1) = 5 A (1)$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $A (0) \cdot A (1)$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $5 A (a) - (A (a))^{2} = 4 I_{3}$ .

2012 — 4 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $X (p) \cdot X (q) \in G$ , pentru orice $X (p), X (q) \in G$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Rezolvați ecuația $(X (p))^{3} = I_{2} + 7 A$ , unde $X (p) \in G$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ pentru orice $x, y \in R$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A (x))^{2012} = I_{3}$ .

2011 — 7 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(1020) \in H$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că, dacă $A \in H$ , atunci $A^{n} \in H$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că mulțimea $H$ este infinită. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ , oricare ar fi $x, y \in R$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $(A (x) - A (y))^{2011} = O_{3}$ , pentru orice $x, y \in R$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $(A (2) - A (0))^{2010}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ , oricare ar fi $x, y \in R$ .

2010 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $A^{2010} = a^{670} \cdot I_{3}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul elementelor mulțimii $A$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că există o matrice nenulă $M \in A$ astfel încât…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Rezolvați în mulțimea $A$ ecuația $X^{2} = I_{2}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul elementelor mulțimii $G$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul soluțiilor ecuației $X^{2} = (\hat{1} \hat{0} \hat{0} \hat{0})$ , $X \in G$ .

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor — clasa a XI-a
Înmulțirea unei matrice cu un număr complex — clasa a XI-a
Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul — clasa a XI-a
Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea — clasa a XI-a
Tablouri de date și noțiunea de matrice — clasa a XI-a
Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Operații cu matrice și puteri de matrice», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Matrice, determinanți și sisteme liniare mai are 3 teme cu pagină proprie:

Sisteme de ecuații liniare — 98 de cerințe
Determinanți — 75 de cerințe
Matrice inversabile și ecuații matriceale — 16 cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu operații cu matrice și puteri de matrice s-au dat la Bac M1?

93 de cerințe în 2010–2026, din 54 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 17, între 2010 și 2026, dintre care 22 de cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

La ce subiect cade tema «Operații cu matrice și puteri de matrice»?

La Subiectul al II-lea cad 93 din cele 93 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 465 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 8,6 puncte din cele 90.

De ce se pierd puncte tocmai aici?

Fiindcă tema stă în subpunctele de final, cele care despart notele mari de restul. Dificultatea medie iese 2,31 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor, lecția care o predă de la zero, apoi Test: adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu operații cu matrice și puteri de matrice?

Mai ales ecuații exponențiale (6 cerințe), inele și corpuri (5 cerințe), numere complexe (4 cerințe). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.