Subiect Bac matematică pedagogic, august 2014 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2014 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Scrieți în ordine crescătoare numerele $2014^0$, $\sqrt{9}$ și $2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$ și axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1}=2^{-1}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $1$, $3$, $5$, $7$ și $9$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(5,2)$ și $C(2,5)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$ știind că $AB=5$ și $BC=13$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-x-y+5$.

1. (5 puncte) Calculați $0\ast 1$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-1)(y-1)+4$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

4. (5 puncte) Verificați dacă $x\ast 1=4$ pentru orice număr real $x$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ știind că $x\ast x=8$.

6. (5 puncte) Determinați numărul perechilor de numere întregi $(m,n)$ știind că $m\ast n=5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Calculați $\det A$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A+I_2=B$.

3. (5 puncte) Verificați dacă $A\cdot B=B\cdot A$.

4. (5 puncte) Arătați că matricea $C=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$ este inversa matricei $A$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ știind că $\det \left(A+a{I}_2\right)=10$.

6. (5 puncte) Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $A\cdot X=B$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare de mai jos păstrează ordinea rândurilor din baremul tipărit, care împarte o cerință în rânduri de 1, 2 sau 3 puncte; numărul îngroșat din paranteză este punctajul rândului respectiv. Șaptesprezece cerințe au câte două rânduri, de $3+2$ sau de $2+3$, iar itemul 4 are trei, de $1+2+2$. Cu cele 10 puncte din oficiu, totalul lucrării este de 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — ordonarea a trei numere.

Puterea cu exponentul $0$ a unui număr diferit de zero este $1$, deci $2014^0=1$; iar $\sqrt{9}=3$, fiindcă $3^2=9$ (2 p).

Comparăm $1$, $2$ și $3$: $1<2<3$. Scrise ca în enunț, numerele în ordine crescătoare sunt $$2014^0<2<\sqrt{9}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — graficul și axa $Ox$.

Punctul de intersecție cu axa $Ox$ are ordonata $0$, deci abscisa lui verifică $f(x)=0$, adică $2x-4=0$ (2 p).

Rezultă $2x=4$ și $x=2$. Punctul de intersecție are coordonatele $x=2$ și $y=0$, adică $(2,0)$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — o ecuație exponențială.

Ambii membri sunt puteri ale lui $2$, iar funcția $t\mapsto 2^t$ este injectivă: două puteri egale ale lui $2$ au exponenți egali. Așadar $$2^{2x+1}=2^{-1}⟺2x+1=-1\text{(3 p)}.$$

Din $2x=-2$ rezultă $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numere de trei cifre distincte.

Numărul are cifra unităților, cifra zecilor și cifra sutelor, toate alese dintre $1$, $3$, $5$, $7$, $9$. Pentru cifra unităților sunt $5$ alegeri (1 p).

Cifrele sunt distincte, așa că pentru cifra zecilor rămân $4$ alegeri, fiindcă nu se poate relua cifra unităților, iar pentru cifra sutelor rămân $3$ alegeri (2 p).

Alegerile se înmulțesc, deci există $5\cdot 4\cdot 3=60$ de numere de trei cifre distincte (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — un triunghi isoscel în reper.

Segmentul $AB$ este orizontal, fiindcă $A(2,2)$ și $B(5,2)$ au ordonata $2$; lungimea lui este $AB=\sqrt{(5-2{)}^2+(2-2{)}^2}=3$ (2 p).

Segmentul $AC$ este vertical, fiindcă $A(2,2)$ și $C(2,5)$ au abscisa $2$; lungimea lui este $AC=\sqrt{(2-2{)}^2+(5-2{)}^2}=3$. Cum $AB=AC$, triunghiul $ABC$ este isoscel (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Triunghiul are unghiul drept la vârful $A$, așa că latura opusă lui, $BC$, este ipotenuza, iar relația dintre pătratele laturilor dă $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=169-25=144$, de unde $AC=12$ (2 p).

Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{5\cdot 12}{2}=30\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=0$ și $y=1$ în $xy-x-y+5$: $$0\ast 1=0\cdot 1-0-1+5\text{(3 p)}.$$

Primul produs este $0$, iar $0-0-1+5=4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Fie $x$ și $y$ numere reale oarecare. Compunerea în ordinea dată este $x\ast y=xy-x-y+5$ (2 p).

În ordinea inversă, primul operand este $y$ și al doilea este $x$. Pentru numere reale avem $yx=xy$ și $-y-x=-x-y$: $$y\ast x=yx-y-x+5=x\ast y,\text{pentru orice }x\text{ și }y.$$ Legea este comutativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — forma cu produs de paranteze.

Scriem termenul liber $5$ ca $1+4$ în definiția legii: $$x\ast y=xy-x-y+1+4\text{(2 p)}.$$

Primii patru termeni se grupează, dând factor comun $y-1$: $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$. Prin urmare $$x\ast y=x(y-1)-(y-1)+4=(x-1)(y-1)+4,\text{pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o verificare cu numărul $1$.

Folosim forma din itemul precedent, $x\ast y=(x-1)(y-1)+4$, cu $y=1$: $$x\ast 1=(x-1)(1-1)+4\text{(3 p)}.$$

Factorul $1-1$ este $0$, așa că produsul se anulează pentru orice $x$, iar $x\ast 1=0+4=4$ pentru fiecare număr real $x$; egalitatea din enunț este adevărată (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație cu $x\ast x$.

Cu $y=x$ în forma $(x-1)(y-1)+4$, avem $x\ast x=(x-1{)}^2+4$, deci ecuația este $$(x-1{)}^2+4=8\text{(2 p)}.$$

Rămâne că pătratul lui $x-1$ este $4$, adică $x-1=2$ sau $x-1=-2$: $$(x-1{)}^2=4⟺x_1=-1\text{ și }{x}_2=3\text{(3 p)}.$$ Soluțiile sunt $\mathbf{x}=-1$ și $\mathbf{x}=3$.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — perechi de numere întregi.

Din $m\ast n=5$ rezultă $(m-1)(n-1)+4=5$: $$m\ast n=5⟺(m-1)(n-1)=1\text{(2 p)}.$$

Cum $m-1$ și $n-1$ sunt numere întregi cu produsul $1$, ele sunt ambele egale cu $1$ ori ambele egale cu $-1$: $$m,n\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=n=0\text{ sau }m=n=2.$$ Perechile sunt $(0,0)$ și $(2,2)$, adică sunt $2$ perechi (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul matricei $A$.

Determinantul de ordin $2$ este diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și cel al elementelor de pe cealaltă diagonală: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=1\cdot 0-1\cdot 2\text{(3 p)}.$$

Primul produs este $0$, iar al doilea este $2$, deci $\det A=-2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — egalitatea $A\cdot A+I_2=B$.

Calculăm $A\cdot A$ înmulțind liniile primului factor cu coloanele celui de-al doilea; elementele lui sunt $1\cdot 1+1\cdot 2=3$, $1\cdot 1+1\cdot 0=1$, $2\cdot 1+0\cdot 2=2$ și $2\cdot 1+0\cdot 0=2$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Adunăm $I_2$ element cu element: $$A\cdot A+I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)=B\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — comutarea produsului matricelor $A$ și $B$.

Elementele lui $A\cdot B$ sunt $1\cdot 4+1\cdot 2=6$, $1\cdot 1+1\cdot 3=4$, $2\cdot 4+0\cdot 2=8$ și $2\cdot 1+0\cdot 3=2$: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 8& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Elementele lui $B\cdot A$ sunt $4\cdot 1+1\cdot 2=6$, $4\cdot 1+1\cdot 0=4$, $2\cdot 1+3\cdot 2=8$ și $2\cdot 1+3\cdot 0=2$: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 8& 2\end{array}\right)=A\cdot B\text{(3 p)}.$$ Cele două produse coincid, deci egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ are loc.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — verificarea inversei lui $A$.

O inversă se recunoaște prin produsul egal cu $I_2$, în ambele ordini. La $A\cdot C$, linia $(1,1)$ dă $1\cdot 0+1\cdot 1=1$ și $1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0$, iar linia $(2,0)$ dă $2\cdot 0+0\cdot 1=0$ și $2\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1$: $$A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$

În ordinea inversă, linia $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ dă $0\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2=1$ și $0\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0=0$, iar linia $\left(1,-\frac{1}{2}\right)$ dă $1\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 2=0$ și $1\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 0=1$: $$C\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(3 p)}.$$ Ambele produse dau $I_2$, deci $C$ este inversa matricei $A$.

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație cu $\det \left(A+a{I}_2\right)$.

Matricea $A+a{I}_2$ are $1+a$ în stânga sus și $a$ în dreapta jos, celelalte elemente rămânând $1$ și $2$. Pentru determinantul de ordin $2$ se înmulțesc între ele elementele $a+1$ și $a$, apoi se scade produsul elementelor $1$ și $2$: $$\det \left(A+a{I}_2\right)=\left|\begin{array}{cc}a+1& 1\\ 2& a\end{array}\right|=a^2+a-2\text{(2 p)}.$$

Egalând determinantul cu $10$ și aducând totul în stânga, se obține $a^2+a-12=0$, adică $(a+4)(a-3)=0$: $$a^2+a-12=0⟺a_1=-4\text{ și }{a}_2=3\text{(3 p)}.$$ Soluțiile sunt $\mathbf{a}=-4$ și $\mathbf{a}=3$.

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație matriceală.

Matricea $A$ stă în fața lui $X$, iar $\det A=-2\ne 0$, deci $A$ este inversabilă și înmulțim ambii membri cu $A^{-1}$, pe partea stângă: $$A\cdot X=B⟺X=A^{-1}\cdot B\text{(2 p)}.$$

Din cerința III.4, $A^{-1}=C=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$. Elementele produsului $A^{-1}\cdot B$ sunt $0\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 2=1$, $0\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}$, $1\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 2=3$ și $1\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 3=-\frac{1}{2}$: $$X=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{3}{2}\\ 3& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Pagina reproduce varianta 7 din august 2014 a probei E. c) la matematică M_pedagogic, din filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare. Sunt trei subiecte obligatorii; într-un subiect intră șase cerințe a câte 5 puncte, iar toate împreună fac 90 de puncte, în 3 ore de lucru. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile urmează foaia oficială; soluțiile și ghidajul interactiv aparțin Matepolis și merg după rândurile punctate din barem.

Ce cuprinde. Subiectul I are șase cerințe independente: ordonarea a trei numere, punctul în care graficul funcției de gradul I $f$ taie axa $Ox$, o ecuație exponențială, numărarea numerelor de trei cifre distincte, un triunghi isoscel în reper și aria unui triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea folosește legea $x\ast y=xy-x-y+5$: o valoare, comutativitatea, o formă cu produs de paranteze, o verificare cu numărul $1$, o ecuație cu $x\ast x$ și numărul perechilor de numere întregi cu $m\ast n=5$. În Subiectul al III-lea apar matricele $A$, $B$ și $I_2$: un determinant, egalitatea $A\cdot A+I_2=B$, comutarea produsului, o inversă, o ecuație cu determinantul lui $A+a{I}_2$ și o ecuație matriceală.

Locul în programă. Programa din OMEN 4430/2014 se aplică abia de la Bacalaureatul 2015, așa că varianta din august 2014 o precede; ordinul ne servește aici doar ca reper pentru clase. Ordonarea numerelor reale, funcția de gradul I și triunghiul dreptunghic aparțin clasei a IX-a. Din clasa a X-a fac parte ecuațiile exponențiale, numărarea și calculul distanțelor în reper. Din clasa a XI-a vin legile de compoziție, iar din clasa a XII-a matricele, determinanții, inversa și ecuațiile matriceale. Pentru numărare ajută lecția Permutări și aranjamente la tehnologic, iar pentru ecuația $A\cdot X=B$ lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: puterea cu exponentul $0$ a unui număr nenul este $1$. Dacă $2014^0$ ar fi luat egal cu $2014$, numărul $2014^0$ ar ajunge ultimul în șir, după $2$ și după $\sqrt{9}=3$, în loc să fie primul.
• Exercițiul 2: abscisa se află din $f(x)=0$. Dacă s-ar egala $f(x)$ cu $x$ în loc de $0$, s-ar obține $x=4$ și punctul $(4,4)$, care nu stă pe axa $Ox$.
• Exercițiul 3: exponentul din dreapta este $-1$, nu $1$. Cu $2x+1=1$ ar ieși $x=0$, iar $2^{2\cdot 0+1}=2$, nu $2^{-1}=\frac{1}{2}$.
• Exercițiul 4: cifrele sunt distincte, deci nu se repetă. Cu repetări ar ieși $5\cdot 5\cdot 5=125$ de numere, nu $5\cdot 4\cdot 3=60$.
• Exercițiul 5: segmentul $AC$ este vertical, deoarece $A$ și $C$ au abscisa $2$, deci $AC=5-2=3$. Lungimea $3\sqrt{2}$ este $BC$, nu $AC$.
• Exercițiul 6: ipotenuza este $BC=13$, nu o catetă. Cu ipotenuza în loc de $AC$ s-ar obține $\frac{5\cdot 13}{2}=\frac{65}{2}$, nu $30$.
• Cerința II.1: termenul liber din definiția legii este $+5$. Cu minus ar ieși $0\ast 1=-6$, iar legea dă $4$.
• Cerința II.2: în $y\ast x$ rolurile lui $x$ și $y$ se schimbă în toți termenii. Pentru $x=2$ și $y=3$ avem $3\ast 2=6$ și $2\ast 3=6$.
• Cerința II.3: $5=1+4$, nu $-1+4$. Cu termenul liber $-1+4=3$ s-ar obține o lege diferită, iar legea dată are termenul liber $5$.
• Cerința II.4: factorul $1-1=0$ anulează produsul, deci $x\ast 1=4$ pentru orice $x$. De exemplu, $7\ast 1=4$.
• Cerința II.5: dacă pătratul unui număr este $4$, numărul are două valori, iar $-1$ nu se pierde: $(-1-1{)}^2+4=8$.
• Cerința II.6: factorii pot fi negativi. Produsul $(-1)(-1)=1$ dă perechea $(0,0)$, pe lângă $(2,2)$.
• Cerința III.1: produsul diagonalei secundare se scade. Pentru $A$ avem $1\cdot 0-1\cdot 2=-2$, iar dacă s-ar aduna ar ieși $2$.
• Cerința III.2: produsul de matrice nu ridică elementele la pătrat. Pătratele elementelor lui $A$ ar da $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 0\end{array}\right)$, iar $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$.
• Cerința III.3: elementul din linia $1$, coloana $2$ al lui $A\cdot B$ este $1\cdot 1+1\cdot 3=4$; produsul pe poziții ar avea acolo $1\cdot 1=1$.
• Cerința III.4: o inversă se verifică prin produsul de matrice. Produsul pe poziții al lui $A$ și $C$ are $\frac{1}{2}$ în dreapta sus, iar $A\cdot C$ are acolo $0$.
• Cerința III.5: pentru $a=1$ determinantul este $0$, nu $10$, deci $a=1$ nu este soluție; soluțiile ecuației cu valoarea zero nu sunt cele cerute.
• Cerința III.6: $A$ apare înaintea lui $X$, deci ambii membri se înmulțesc cu $A^{-1}$ pe partea stângă. Pentru aceste matrice produsul $B\cdot A^{-1}$ ar da același rezultat, fiindcă $B=A\cdot A+I_2$ comută cu $A$, dar metoda corectă rămâne înmulțirea pe stânga.

Despre litere. În Subiectul I, $f$ este funcția dată, iar $x$ este abscisa necunoscută a punctului de intersecție și, mai departe, necunoscuta ecuației exponențiale; $A$, $B$ și $C$ sunt punctele date ale reperului, apoi vârfurile triunghiului dreptunghic. În Subiectul II, $x$ și $y$ înseamnă numere reale oarecare în cerințele despre proprietățile legii, $x$ este necunoscută în ecuația cu $x\ast x$, iar $m$ și $n$ sunt numerele întregi căutate la numărarea perechilor. În Subiectul III, $A$, $B$ și $I_2$ sunt matricele date; $C$ este matricea de verificat, $a$ este necunoscuta reală din ecuația cu determinant, iar $X$ este matricea căutată.