Subiect Bac matematică pedagogic, august 2020 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2020 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $96 \cdot (\frac{6}{4} - \frac{1}{6}) = 2$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 1$ și $g : R \to R$ , $g (x) = x - 1$ . Determinați numărul natural $n$ pentru care $f (n) \cdot g (n) = 0$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2 x + 5} = 3^{6 x - 3}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele necoliniare $A (1, 3)$ , $B (3, 5)$ și $C (0, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $3 \cdot sin 6 0^{\circ} + sin 3 0^{\circ} - 4 sin^{2} 3 0^{\circ} = 1$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 12$ .

1. (5 puncte) Arătați că $2 \circ 3 = 2$ .

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = - (x - 4) (y - 4) + 4$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

4. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ 4 = 4$ , pentru orice număr real $x$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = x$ .

6. (5 puncte) Se consideră progresia aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{1} = - 5$ și rația $r = 3$ . Arătați că $a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3} \circ a_{4} = 4$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A = (1 - 1 21)$ , $I_{2} = (1001)$ și $B (x) = (10 x 1)$ , unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det A = 3$ .

2. (5 puncte) Arătați că $B (1) + B (3) = 2 B (2)$ .

3. (5 puncte) Arătați că $det (B (x)) = 1$ , pentru orice număr real $x$ .

4. (5 puncte) Arătați că $B (x) \cdot B (y) = B (x + y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot B (x) = B (x) \cdot A$ .

6. (5 puncte) Determinați perechile de numere naturale $(m, n)$ , pentru care $B (2^{m}) \cdot B (2^{n}) = B (2^{m + n} - 2)$ .

Barem și răspunsuri

Soluțiile urmează foaia de evaluare: la capătul fiecărui rând stau, îngroșate, punctele lui. Un rând valorează 1, 2 sau 3 puncte, iar rândurile unei cerințe însumează 5 puncte; cele 18 cerințe fac 90 de puncte, iar oficiul adaugă 10 până la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — o expresie cu radicali.

Din $96 = 16 \cdot 6$ rezultă $96 = 16 \cdot 6 = 46$ . Paranteza se aduce la numitorul comun $46$ : $\frac{6}{4} = \frac{6 \cdot 6}{4 6} = \frac{6}{4 6}$ și $\frac{1}{6} = \frac{4}{4 6}$ , deci paranteza este $\frac{6 - 4}{4 6}$ . Atunci $96 \cdot (\frac{6}{4} - \frac{1}{6}) = 46 \cdot \frac{6 - 4}{4 6} (3 p) .$ Factorul $46$ se simplifică, iar rămâne $6 - 4 = 2$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — produsul a două valori de funcții.

Valorile sunt $f (n) = 3 n + 1$ și $g (n) = n - 1$ , deci condiția $f (n) \cdot g (n) = 0$ este $(3 n + 1) (n - 1) = 0 (2 p) .$ Produsul se anulează când unul dintre factori este nul: din $3 n + 1 = 0$ rezultă $n = - \frac{1}{3}$ , iar din $n - 1 = 0$ rezultă $n = 1$ . Numărul $- \frac{1}{3}$ nu este natural (nu este nici măcar întreg), așa că rămâne $n = 1$ (3 p); verificare: $f (1) \cdot g (1) = 4 \cdot 0 = 0$ .

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu aceeași bază.

Cei doi membri sunt puteri ale lui $3$ , iar $t \mapsto 3^{t}$ este strict crescătoare, deci nu ia aceeași valoare de două ori și exponenții coincid: $2 x + 5 = 6 x - 3, adic \overset{a}{˘} 4 x = 8 (3 p) .$ Rezultă $x = 2$ (2 p); verificare: $3^{2 \cdot 2 + 5} = 3^{9}$ și $3^{6 \cdot 2 - 3} = 3^{9}$ .

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate pentru numere de două cifre.

Primul număr cu două cifre este $10$ , iar ultimul este $99$ : sunt $99 - 10 + 1 = 90$ de numere, adică $90$ de cazuri posibile (2 p). Un număr $\overline{ab}$ de două cifre are cifra zecilor $a \geq 1$ și cifra unităților $b$ , iar condiția din enunț este $a = 2 b$ . Cum $a \leq 9$ , rezultă $2 b \leq 9$ , deci $b \leq 4$ ; pentru $b \geq 5$ s-ar obține $a \geq 10$ , care nu este cifră. Cum $a \geq 1$ , rezultă $b \geq 1$ : pentru $b = 0$ am avea $a = 0$ , iar numărul nu ar mai avea două cifre. Rămân $b \in {1, 2, 3, 4}$ , adică numerele $21$ , $42$ , $63$ și $84$ ; cazurile favorabile sunt în număr de $4$ (2 p). Probabilitatea este $p = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} (1 p) .$

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi dreptunghic în coordonate.

Panta dreptei care trece prin $(x_{1}, y_{1})$ și $(x_{2}, y_{2})$ este $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Pentru $A (1, 3)$ și $B (3, 5)$ se obține $m_{A B} = \frac{5 - 3}{3 - 1} = 1$ , iar pentru $A (1, 3)$ și $C (0, a)$ , $m_{A C} = \frac{a - 3}{0 - 1} = 3 - a$ (2 p). Triunghiul este dreptunghic în $A$ , deci $A B ⊥ A C$ . Dreptele $A B$ și $A C$ nu sunt verticale ( $x_{B} \neq = x_{A}$ și $x_{C} \neq = x_{A}$ ), așa că produsul pantelor este $- 1$ : $1 \cdot (3 - a) = - 1$ , de unde $a = 4$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie cu sinusuri.

Valorile din tabel sunt $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ și $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ (2 p). Atunci $3 \cdot sin 6 0^{\circ} + sin 3 0^{\circ} - 4 sin^{2} 3 0^{\circ} = 3 \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 (3 p) .$ Aici $sin^{2} 3 0^{\circ} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea pentru o pereche.

În definiția $x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 12$ se pun $x = 2$ și $y = 3$ : $2 \circ 3 = - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12 (3 p) .$ Calculând, $- 6 + 8 + 12 - 12 = 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Comutativitatea cere $x \circ y = y \circ x$ pentru toate numerele reale $x$ și $y$ . Termenii lui $x \circ y$ se rearanjează, pentru că $x y = y x$ și adunarea nu depinde de ordine: $x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 12 = - y x + 4 y + 4 x - 12 (2 p) .$ Ultima expresie este $y \circ x$ (în definiție, operanzii își schimbă locurile), deci $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x$ și $y$ reali, adică legea este comutativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

În forma căutată, $- (x - 4) (y - 4) + 4$ , parantezele se desfac în $- x y + 4 x + 4 y - 16 + 4$ ; de aceea termenul liber al legii se scrie $- 12 = - 16 + 4$ și $x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 16 + 4 (2 p) .$ Din $- x y + 4 x$ se scoate $- x$ , iar din $4 y - 16$ se scoate $4$ : $x \circ y = - x (y - 4) + 4 (y - 4) + 4$ . Factorul comun $y - 4$ iese în față, iar rezultatul este $x \circ y = (- x + 4) (y - 4) + 4 = - (x - 4) (y - 4) + 4$ , pentru orice $x$ și $y$ reali (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: un element care absoarbe produsul.

Cu forma cu doi factori și $y = 4$ : $x \circ 4 = - (x - 4) (4 - 4) + 4 (3 p) .$ Factorul $4 - 4$ este $0$ , deci produsul este $0$ și $x \circ 4 = - (x - 4) \cdot 0 + 4 = 4$ , pentru orice $x$ real (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuația $x \circ x = x$ .

Pentru $y = x$ forma cu doi factori dă $x \circ x = - (x - 4)^{2} + 4$ , pentru orice $x$ real (2 p). Ecuația $x \circ x = x$ este $- (x - 4)^{2} + 4 = x$ . Se trec toți termenii într-un membru: $- (x^{2} - 8 x + 16) + 4 - x = - x^{2} + 7 x - 12 = - (x - 3) (x - 4)$ , așadar ecuația este echivalentă cu $(x - 4) (x - 3) = 0$ , adică $x = 3$ sau $x = 4$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o compunere cu patru termeni.

Termenii progresiei sunt $a_{1} = - 5$ , $a_{2} = - 5 + 3 = - 2$ , $a_{3} = - 2 + 3 = 1$ și $a_{4} = a_{1} + 3 r = - 5 + 3 \cdot 3 = 4$ (2 p). Legea este asociativă, deci compunerea celor patru numere poate fi grupată: $a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3} \circ a_{4} = (a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3}) \circ 4$ . Compunerea $s = a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3}$ este un număr real, iar pentru orice număr real $x$ avem $x \circ 4 = - (x - 4) \cdot 0 + 4 = 4$ ; în particular $s \circ 4 = 4$ . Prin urmare $a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3} \circ a_{4} = 4$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul unei matrice de ordin $2$ .

Determinantul se scrie cu elementele matricei $A$ : $det A = 1 - 1 21 = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2 (3 p) .$ Atunci $det A = 1 + 2 = 3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — o sumă de matrice de aceeași formă.

Pentru $x = 1$ și $x = 3$ se obțin $B (1) = (1011)$ și $B (3) = (1031)$ , iar suma lor, element cu element, este $B (1) + B (3) = (2042) (3 p) .$ Fiecare element al acestei matrice este dublul elementului de pe aceeași poziție din $B (2) = (1021)$ , deci $B (1) + B (3) = 2 (1021) = 2 B (2)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — determinantul lui $B (x)$ .

Pentru un număr real $x$ , matricea este $B (x) = (10 x 1)$ , iar determinantul ei se scrie $det (B (x)) = 10 x 1 (2 p) .$ Produsul diagonalei principale este $1 \cdot 1$ , iar cel al celeilalte diagonale este $x \cdot 0$ , deci $det (B (x)) = 1 \cdot 1 - x \cdot 0 = 1$ , oricare ar fi $x$ real (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — produsul a două matrice de forma $B (\cdot)$ .

Elementul de pe poziția $(i, j)$ al produsului este suma produselor dintre elementele liniei $i$ din primul factor și ale coloanei $j$ din al doilea: $B (x) \cdot B (y) = (10 x 1) \cdot (10 y 1) = (1 \cdot 1 + x \cdot 0 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot y + x \cdot 1 0 \cdot y + 1 \cdot 1) = (10 x + y 1) (3 p) .$ Matricea obținută este $B (x + y)$ , pentru toate numerele reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice care comută.

Cele două produse sunt $A \cdot B (x) = (1 - 1 21) (10 x 1) = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot x + 2 \cdot 1 - 1 \cdot x + 1 \cdot 1) = (1 - 1 x + 2 1 - x),$ $B (x) \cdot A = (10 x 1) (1 - 1 21) = (1 \cdot 1 + x \cdot (- 1) 0 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) 1 \cdot 2 + x \cdot 1 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1) = (1 - x - 1 2 + x 1) (3 p),$ pentru orice $x$ real. Egalitatea matricelor înseamnă patru egalități: $1 = 1 - x$ , $x + 2 = 2 + x$ , $- 1 = - 1$ și $1 - x = 1$ . A doua și a treia sunt adevărate pentru orice $x$ , iar prima și a patra dau amândouă $x = 0$ . Prin urmare $A \cdot B (x) = B (x) \cdot A$ exact pentru $x = 0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — ecuație în exponenți cu matrice $B (\cdot)$ .

Produsul a două matrice de forma $B (\cdot)$ se calculează ca la cerința III.4: $B (u) \cdot B (v) = B (u + v)$ pentru $u$ și $v$ reale; aici $u = 2^{m}$ și $v = 2^{n}$ , deci $B (2^{m}) \cdot B (2^{n}) = B (2^{m} + 2^{n})$ . Egalitatea din enunț devine $B (2^{m} + 2^{n}) = B (2^{m + n} - 2)$ , iar elementele din dreapta sus trebuie să coincidă: $2^{m} + 2^{n} = 2^{m + n} - 2$ , adică $2^{m + n} - 2^{m} - 2^{n} + 1 = 3$ . Membrul stâng se scrie ca produs de doi factori, deci $(2^{m} - 1) (2^{n} - 1) = 3 (3 p) .$ Dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale, cei doi factori ai produsului sunt numere naturale; produsul lor este $3$ , nenul, deci niciunul nu este $0$ (de aceea $m = 0$ și $n = 0$ nu convin). Cum $3$ este număr prim, singurele scrieri ca produs de două numere naturale sunt $1 \cdot 3$ și $3 \cdot 1$ . Din $2^{m} - 1 = 1$ rezultă $m = 1$ , iar din $2^{n} - 1 = 3$ rezultă $n = 2$ ; scrierea inversă dă $m = 2$ și $n = 1$ . Perechile sunt $(1, 2)$ și $(2, 1)$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 3 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, dată în sesiunea august 2020 la filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, este rezolvată mai jos cerință cu cerință. Foaia conține trei subiecte, fiecare cu șase cerințe de câte 5 puncte, iar suma celor 18 cerințe este de 90 de puncte; timpul de lucru este de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile reproduc foaia oficială, iar soluțiile, avertismentele și ghidajul sunt ale Matepolis; punctele fiecărei soluții sunt așezate pe rândurile din foaia de evaluare.

Conținutul pe scurt. La subiectul I se cer, în ordine, valoarea unei expresii cu radicali, numărul natural $n$ pentru care $f (n) \cdot g (n) = 0$ , ecuația $3^{2 x + 5} = 3^{6 x - 3}$ , o probabilitate pentru numerele de două cifre cu cifra zecilor dublul cifrei unităților, valoarea lui $a$ pentru care triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și o identitate trigonometrică. Subiectul al II-lea pornește de la legea asociativă $x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 12$ ; cerința II.3 o scrie ca $- (x - 4) (y - 4) + 4$ , forma pe care o folosesc cerințele II.4, II.5 și II.6, iar cerința II.6 mai adaugă o progresie aritmetică. Subiectul al III-lea are matricele $A$ și $B (x) = (10 x 1)$ : doi determinanți, două egalități cu matrice $B (\cdot)$ , o comutare cu $A$ și o ecuație în exponenți.

Încadrarea în programă. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014 (în vigoare pentru Bacalaureatul din 2015 și după aceea) plasează funcția de gradul I, progresiile, triunghiul dreptunghic și valorile funcțiilor trigonometrice în clasa a IX-a; în clasa a X-a se află radicalii, ecuațiile exponențiale, probabilitățile și geometria analitică a dreptelor; legile de compoziție sunt de clasa a XI-a, iar matricele cu determinanții, de clasa a XII-a. Pentru probabilitatea de la itemul 4 se poate relua lecția Probabilitatea la tehnologic: controlul calității, iar pentru perpendicularitatea de la itemul 5, lecția Paralele și perpendiculare prin pante, tehnologic.

Capcane, cu valorile lor.

Exercițiul 1: $96$ se scrie $46$ , nu $166$ , deoarece $(166)^{2} = 1536$ , iar $(96)^{2} = 96$ .
Exercițiul 2: soluția $n = - \frac{1}{3}$ a ecuației $(3 n + 1) (n - 1) = 0$ nu este număr natural; numărul $n = 0$ nu o verifică, fiindcă $f (0) \cdot g (0) = 1 \cdot (- 1) = - 1$ .
Exercițiul 3: exponenții se egalează fiecare cu semnul lui; cu $+ 3$ în loc de $- 3$ s-ar ajunge la $x = \frac{1}{2}$ , iar la $x = \frac{1}{2}$ cei doi exponenți ar fi $6$ și $0$ .
Exercițiul 4: între $10$ și $99$ sunt $99 - 10 + 1 = 90$ de numere, nu $99 - 10 = 89$ ; numărul $20$ nu are cifra zecilor dublul cifrei unităților, pentru că dublul lui $0$ este $0$ , nu $2$ .
Exercițiul 5: panta dreptei $A C$ se calculează cu coordonatele lui $A$ scăzute în ordine, $\frac{a - 3}{0 - 1} = 3 - a$ , nu $a - 3$ ; la $a = 4$ produsul pantelor este $1 \cdot (- 1) = - 1$ .
Exercițiul 6: $sin^{2} 3 0^{\circ}$ înseamnă $(sin 3 0^{\circ})^{2} = \frac{1}{4}$ , nu $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ și nici $sin (3 0^{2})^{\circ} = sin 90 0^{\circ} = 0$ .
Cerința II.2: asociativitatea nu implică comutativitatea; legea $u ⋄ v = u$ este asociativă, dar $1 ⋄ 2 = 1$ , iar $2 ⋄ 1 = 2$ .
Cerința II.4: egalitatea $x \circ 4 = 4$ cere ca $x - 4$ să fie înmulțit cu factorul $4 - 4 = 0$ , iar produsul cu $0$ este $0$ oricare ar fi $x$ .
Cerința II.5: ecuația $- (x - 4)^{2} + 4 = x$ are două soluții, $x = 3$ și $x = 4$ ; $x = 5$ nu o verifică, fiindcă $- (5 - 4)^{2} + 4 = 3$ , nu $5$ .
Cerința II.6: legea nu este adunarea; suma primilor patru termeni este $- 2$ , dar compunerea lor dă $4$ .
Cerința III.2: matricele se adună element cu element, deci $B (1) + B (3)$ nu este $B (4)$ : $B (4) = (1041)$ , iar suma are $2$ pe diagonală.
Cerința III.6: dacă $m = 0$ , primul factor din produsul care trebuie să fie $3$ este $0$ , deci produsul este $0$ , nu $3$ ; perechile cu $m = 0$ sau $n = 0$ nu convin.

Despre litere. Exercițiul 1: enunțul nu conține litere. Exercițiul 2: $f$ și $g$ sunt funcțiile date, iar $n$ este numărul natural căutat, având rolul variabilei lor. Exercițiul 3: $x$ este necunoscuta. Exercițiul 4: enunțul nu conține litere; în rezolvare, $\overline{ab}$ notează numărul cu cifrele $a$ (zeci) și $b$ (unități). Exercițiul 5: $A$ , $B$ , $C$ sunt punctele date, $a$ este numărul căutat, iar $m_{A B}$ și $m_{A C}$ sunt pantele, notate în rezolvare. Exercițiul 6: enunțul nu conține litere. Subiectul al II-lea: $x$ și $y$ sunt variabilele legii; la cerința II.5, $x$ este necunoscuta; la cerința II.6, $(a_{n})_{n \geq 1}$ este progresia dată, iar $s$ notează în rezolvare compunerea $a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3}$ . Subiectul al III-lea: $A$ , $I_{2}$ și $B (x)$ sunt date, $x$ din cadru fiind un număr real oarecare; la cerința III.3 litera $x$ , iar la cerința III.4 literele $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare, la cerința III.5 $x$ este necunoscuta, iar la cerința III.6 $m$ și $n$ sunt numerele naturale căutate, $u$ și $v$ notând, în rezolvare, doi parametri oarecare.