Subiect Bac matematică pedagogic, august 2021 (varianta 4) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2021 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră progresia aritmetică ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, cu $a_1=2$ și $a_3=14$. Calculați termenul $a_2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3-x}=49^x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,9\}$, numărul $n+2$ să fie impar.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,-3)$, $B(3,1)$ și $C(a,0)$, unde $a$ este număr real. Determinați numerele reale $a$ pentru care $AB=AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\left(1+\sin 30^{\circ }\right)\cdot {\cos }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}60^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=4x+4y-3$.

1. (5 puncte) Arătați că $0\ast 3=9$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(-3)\ast x=9$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(-x)\ast (2x)=x^2$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 2^x=1$.

6. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că scăzând $x$ din numărul $x\ast \left(\frac{x}{2}\ast \frac{x}{4}\right)$, se obține numărul cu $1$ mai mic decât $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ -2& -7\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}2& x+2\\ x-2& -2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=5$.

2. (5 puncte) Arătați că $2B(1)-A=3I_2$.

3. (5 puncte) Arătați că $B(1)\cdot B(3)-3I_2=2B(0)$.

4. (5 puncte) Arătați că $B(x)\cdot B(x)=x^2{I}_2$, pentru orice număr real $x$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det \left(B(x)\right)=\det \left(B(x+1)\right)$.

6. (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $B(3)\cdot B(3)+B(4)\cdot B(4)=B(n)\cdot B(n)$.

Barem și răspunsuri

În paranteze, cifrele îngroșate numără punctele din 5 ale fiecărei etape, în ordinea foii de evaluare. Totalul cerințelor este de 90 de puncte, iar cu oficiul, de 100.

Exercițiul 1. (5 p) — un termen al unei progresii aritmetice.

Trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice au diferențe egale, $a_2-a_1=a_3-a_2$, deci $2a_2=a_1+a_3$ și $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+14}{2}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $a_2=\frac{16}{2}=8$. Verificare: $a_2-a_1=6$ și $a_3-a_2=6$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția unei parabole cu axa $Ox$.

Pe axa $Ox$ ordonata este $0$, așa că abscisele cerute sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$, adică $$x^2-2x=0\text{(3 p)}.$$ Scoatem factorul comun: $x(x-2)=0$. Produsul se anulează numai dacă măcar unul dintre factori se anulează, deci $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu baza $7$.

Cum $49=7^2$, puterea $49^x$ se scrie $7^{2x}$, iar ecuația devine $7^{3-x}=7^{2x}$. Două puteri ale lui $7$ sunt egale numai dacă exponenții lor coincid: $$3-x=2x\text{(3 p)}.$$ Rezultă $3=3x$, deci $\mathbf{x}=1$. Verificare: $7^{3-1}=7^2=49=49^1$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu paritatea unui număr.

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci avem $9$ cazuri posibile (2 p).

Adunarea lui $2$ nu schimbă paritatea, deci $n+2$ este impar tocmai pentru valorile impare ale lui $n$, adică $1$, $3$, $5$, $7$ și $9$. Avem $5$ cazuri favorabile (2 p).

Probabilitatea căutată este fracția cu $5$ la numărător și $9$ la numitor: $\frac{5}{9}$ (1 p).

Exercițiul 5. (5 p) — două puncte egal depărtate de un al treilea.

Pentru două puncte $M(x_1,y_1)$ și $N(x_2,y_2)$, lungimea $MN$ este rădăcina pătrată a sumei pătratelor diferențelor $x_2-x_1$ și $y_2-y_1$. Avem $AB=\sqrt{(3-0{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}$ și $AC=\sqrt{(a-0{)}^2+(0+3{)}^2}=\sqrt{a^2+3^2}$, deci egalitatea $AB=AC$ înseamnă $$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{a^2+3^2}\text{(2 p)}.$$ Ridicăm la pătrat: $3^2+4^2=a^2+3^2$, de unde $a^2=4^2=16$. Un pătrat egal cu $16$ provine din două numere, $4$ și $-4$, deci $\mathbf{a}=-4$ sau $\mathbf{a}=4$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice într-o sumă cu pătrate.

Din tabelul valorilor: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p).

Pătratele sunt ${\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{2}{4}$ și ${\cos }^{2}60^{\circ }=\frac{1}{4}$, iar $$\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: calculul pe perechea $(0,3)$.

Punem $x=0$ și $y=3$ în definiția legii: $$0\ast 3=4\cdot 0+4\cdot 3-3\text{(3 p)}.$$ Rămâne $0+12-3=9$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: comutativitatea.

Inversăm operanzii în definiție: $y\ast x=4y+4x-3$. La adunare ordinea termenilor nu contează, deci $$x\ast y=4x+4y-3=4y+4x-3\text{(3 p)}.$$ Partea dreaptă este chiar $y\ast x$. Așadar $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x$ și $y$ reale, adică legea este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu primul operand fixat.

Cu $-3$ pe primul loc: $$(-3)\ast x=4\cdot (-3)+4x-3=-12+4x-3=4x-15\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $(-3)\ast x=9$ devine $4x-15=9$, deci $4x=24$ și $\mathbf{x}=6$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: o ecuație de gradul al doilea.

În definiție, $x$ se înlocuiește cu $-x$, iar $y$ cu $2x$: $$(-x)\ast (2x)=4\cdot (-x)+4\cdot 2x-3=-4x+8x-3=4x-3\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cerută este $4x-3=x^2$, adică $x^2-4x+3=0$. Calculăm $\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 3=4$, apoi $x=\frac{4\pm 2}{2}$, deci $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=3$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: o ecuație exponențială.

Cu $2^x$ în ambele locuri: $$2^x\ast 2^x=4\cdot 2^x+4\cdot 2^x-3=8\cdot 2^x-3\text{(2 p)}.$$ Ecuația $8\cdot 2^x-3=1$ dă $8\cdot 2^x=4$, adică $2^x=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=2^{-1}$. Bazele fiind egale, exponenții sunt egali: $\mathbf{x}=-1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: compuneri în paranteze.

Calculăm din interior spre exterior. Paranteza este $\frac{x}{2}\ast \frac{x}{4}=4\cdot \frac{x}{2}+4\cdot \frac{x}{4}-3=2x+x-3=3x-3$, iar apoi $$x\ast \left(\frac{x}{2}\ast \frac{x}{4}\right)=x\ast (3x-3)=4x+4(3x-3)-3=16x-15\text{(3 p)}.$$ Numărul cu $1$ mai mic decât $x$ este $x-1$, iar scăderea lui $x$ din $16x-15$ dă $16x-15-x$. Egalitatea $16x-15-x=x-1$ se scrie $15x-15=x-1$, adică $14x=14$ și $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: calculul lui $\det A$ prin formula $ad-bc$.

Formula $ad-bc$ dă determinantul lui $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$; la $A$ avem $a=1$, $b=6$, $c=-2$ și $d=-7$, așadar $$\det A=1\cdot (-7)-6\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ Produsul $6\cdot (-2)$ este $-12$, deci $\det A=-7+12=5$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o combinație liniară cu $A$.

Pentru $x=1$ avem $B(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$, deci $2B(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& -4\end{array}\right)$. Se scad elementele corespunzătoare ale lui $A$: $$2B(1)-A=\left(\begin{array}{cc}4-1& 6-6\\ -2-(-2)& -4-(-7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe diagonala matricei $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ stă $3$, iar în afara ei $0$; așadar matricea este $3I_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: un produs scăzut din $3I_2$.

Pentru $x=3$ avem $B(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& -2\end{array}\right)$. Pe poziția $(i,j)$ a produsului stă suma produselor $p_{ik}\cdot q_{kj}$, cu $p_{ik}$ din primul factor și $q_{kj}$ din al doilea: $$B(1)\cdot B(3)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+3\cdot 1& 2\cdot 5+3\cdot (-2)\\ -1\cdot 2+(-2)\cdot 1& -1\cdot 5+(-2)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ -4& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scăzând $3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ se obține $\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -4& -4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -2\end{array}\right)$. Cum $B(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -2\end{array}\right)$, rezultă $B(1)\cdot B(3)-3I_2=2B(0)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: pătratul lui $B(x)$.

Folosim $(x+2)(x-2)=x^2-4$ și calculăm fiecare poziție a produsului: $$B(x)\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+(x+2)(x-2)& 2(x+2)+(x+2)\cdot (-2)\\ (x-2)\cdot 2+(-2)(x-2)& (x-2)(x+2)+(-2)(-2)\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}4+\left(x^2-4\right)& 2(x+2)-2(x+2)\\ 2(x-2)-2(x-2)& \left(x^2-4\right)+4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Perechile de termeni opuși dispar, iar $4+\left(x^2-4\right)=x^2$ și $\left(x^2-4\right)+4=x^2$: $$B(x)\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2& 0\\ 0& x^2\end{array}\right)=x^2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=x^2{I}_2$$ pentru orice $x$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: doi determinanți egali.

Determinantul este $\det \left(B(x)\right)=2\cdot (-2)-(x+2)(x-2)=-4-\left(x^2-4\right)=-x^2$, pentru orice $x$ real. Înlocuind $x$ cu $x+1$, rezultă $\det \left(B(x+1)\right)=-(x+1{)}^2$ (3 p).

Din $-x^2=-(x+1{)}^2$ rezultă $x^2=x^2+2x+1$, deci $2x+1=0$ și $\mathbf{x}=-\frac{1}{2}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o ecuație cu produse $B(n)\cdot B(n)$.

Din cerința III.4, $B(x)\cdot B(x)=x^2{I}_2$ pentru orice $x$ real, deci $B(3)\cdot B(3)=3^2{I}_2$, $B(4)\cdot B(4)=4^2{I}_2$ și $B(n)\cdot B(n)=n^2{I}_2$ (3 p).

Rămâne $9I_2+16I_2=n^2{I}_2$, adică $25I_2=n^2{I}_2$, de unde $n^2=25$. Cum $n$ este natural, valoarea negativă este exclusă și $\mathbf{n}=5$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 4 din sesiunea august 2021 a probei E. c), matematică M_pedagogic, este rezolvată mai jos cerință cu cerință. Foaia are trei subiecte a câte 30 de puncte; fiecare subiect se împarte în șase cerințe, iar o cerință valorează 5 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de trei ore. Textul enunțurilor este cel oficial; rezolvările, comentariile și ghidajul interactiv aparțin Matepolis, iar etapele punctate ale fiecărei rezolvări urmează rândurile foii de evaluare.

Ce conține varianta. Primele șase cerințe cer, pe rând, un termen de mijloc dintr-o progresie, locul în care o parabolă taie axa $Ox$, o ecuație exponențială, o probabilitate, două puncte egal depărtate de un al treilea și o expresie cu valori trigonometrice. Următoarele șase lucrează cu legea $x\ast y=4x+4y-3$ de pe mulțimea numerelor reale, fără nicio indicație că ar fi asociativă. Ultimele șase se sprijină pe matricele $A$ și $B(x)$, iar egalitatea $B(x)\cdot B(x)=x^2{I}_2$ din cerința III.4 se folosește apoi în cerința III.6.

Ce spune programa. În OMEN 4430/2014, aplicat la Bacalaureatul din 2021, programa de examen M_pedagogic pune în clasa a IX-a progresiile aritmetice, parabola ca grafic al funcției de gradul al doilea și valorile trigonometrice din triunghiul dreptunghic. Clasei a X-a îi revin ecuațiile exponențiale, probabilitatea și distanța dintre două puncte din reper; legile de compoziție se studiază în clasa a XI-a, iar matricele cu determinanții în clasa a XII-a. Pentru ecuația exponențială puteți relua lecția Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice, iar pentru produsul a două matrice lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Capcane și cum se văd.

• Exercițiul 1: fracția $\frac{14-2}{2}=6$ este rația progresiei, nu termenul $a_2$, care este $8$.
• Exercițiul 5: din $a^2=16$ rezultă două valori. Punctele $C(-4,0)$ și $C(4,0)$ sunt la aceeași distanță de $A$, anume $\sqrt{16+9}=5$, așa că ambele răspunsuri sunt bune.
• Cerința II.2: o lege comutativă nu este neapărat asociativă. Aici $(1\ast 0)\ast 0=1$, dar $1\ast (0\ast 0)=-11$.
• Cerința II.6: parantezele schimbă rezultatul. La $x=1$, grupând $\frac{1}{2}$ cu $\frac{1}{4}$ se obține $1\ast \left(\frac{1}{2}\ast \frac{1}{4}\right)=1$, iar grupând pe $1$ cu $\frac{1}{2}$ se obține $\left(1\ast \frac{1}{2}\right)\ast \frac{1}{4}=10$.
• Cerința III.3: ordinea factorilor schimbă produsul. Matricea $B(1)\cdot B(3)$ este $\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ -4& -1\end{array}\right)$, iar $B(3)\cdot B(1)$ este $\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 4& 7\end{array}\right)$.
• Cerința III.6: numărul $-5$ verifică $n^2=25$, dar nu este natural, deci nu este soluție.

Despre litere. Aceeași literă își schimbă sensul de la un item la altul. $A$ este mulțimea $\{1,2,\dots ,9\}$ în itemul 4, un punct al reperului în itemul 5 și o matrice în cerințele III.1–III.6; $B$ este punct în itemul 5 și matricea $B(x)$ în cerințele III.1–III.6. În itemul 5, $a$ este abscisa necunoscută a punctului $C$. În itemul 4, $n$ este un număr ales din mulțimea $A$, iar în cerința III.6 este numărul natural căutat. În cerințele II.3, II.4, II.5 și II.6, $x$ este necunoscută; în cerința III.4, $x$ este un număr real oarecare, iar în cerința III.5, o necunoscută. În itemul 1, $a_1$, $a_2$ și $a_3$ sunt termeni ai progresiei.