Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2021 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2021 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{2}\cdot \left(3+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x+7$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4+2x}=4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, numărul $n$ să fie divizor al numărului $18$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$ și $B(3,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ aparține dreptei $OB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC=4$ și măsura unghiului $C$ de două ori mai mare decât măsura unghiului $B$. Determinați lungimea laturii $AC$ a triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=3x+3y-3xy-2$.

1. (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=1$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=1-3(x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=\frac{2}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(2-x)\ast 2=2+x$.

5. (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=19$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $(a\ast 1)+(a\ast 2)+(a\ast 3)=3a^2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 4\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x-2& -x\\ -2x& 4x-2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

2. (5 puncte) Arătați că $xA-2I_2=B(x)$, pentru orice număr real $x$.

3. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A=B(5)$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det \left(B(x)\right)=4$.

5. (5 puncte) Arătați că $B(xy)-xB(y)=2(x-1)I_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

6. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $B\left(6^x\right)-2^{x}B\left(3^x\right)=6I_2$.

Barem și răspunsuri

La fiecare etapă, cifra îngroșată din paranteză spune câte dintre cele 5 puncte ale cerinței îi revin; etapele sunt în ordinea foii de evaluare. Cele 18 cerințe fac împreună 90 de puncte, iar oficiul duce lucrarea la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — o egalitate cu radicali.

Înmulțim pe $\sqrt{2}$ cu fiecare termen din paranteză: $\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$, deci $$\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{18}\text{(2 p)}.$$ Produsul $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$ este $2$, iar $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$. Rămâne $3\sqrt{2}+2-3\sqrt{2}=2$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — două funcții de gradul întâi.

Valorile în $a$ sunt $f(a)=a+1$ și $g(a)=3a+7$, iar egalitatea $f(a)=g(a)$ devine $$a+1=3a+7\text{(3 p)}.$$ Trecem termenii cu $a$ în dreapta și numerele în stânga: $1-7=3a-a$, adică $-6=2a$, deci $\mathbf{a}=-3$. Verificare: $f(-3)=-2$ și $g(-3)=-2$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu un radical.

Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației $\sqrt{4+2x}=4$, iar $4^2$ este $16$: $$4+2x=16\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=12$ și $x=6$. Verificăm în ecuația inițială: $\sqrt{4+2\cdot 6}=\sqrt{16}=4$, deci $\mathbf{x}=6$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu divizori.

Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră este $\{1,2,\dots ,9\}$ și are $9$ elemente, deci avem $9$ cazuri posibile (2 p).

Din această mulțime, divizorii lui $18$ sunt $1$, $2$, $3$, $6$ și $9$; numărul $4$ nu este divizor, pentru că $18=4\cdot 4+2$, și nici $5$, $7$ sau $8$ nu sunt. Avem $5$ cazuri favorabile (2 p).

Probabilitatea este câtul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile, $\frac{5}{9}$ (1 p).

Exercițiul 5. (5 p) — dreaptă prin origine.

Fie $O$ originea reperului. Dacă $A$ se află pe dreapta $OB$, punctele $O$, $A$, $B$ sunt coliniare, deci dreptele $OA$ și $OB$ au aceeași pantă: $m_{OA}=m_{OB}$ (2 p).

Panta lui $OA$ este $\frac{2-0}{-1-0}=-2$, iar panta lui $OB$ este $\frac{a-0}{3-0}=\frac{a}{3}$. Din $-2=\frac{a}{3}$ rezultă $\mathbf{a}=-6$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic cu unghiuri în raportul 1 : 2.

Unghiul $A$ este drept, deci unghiurile ascuțite $B$ și $C$ au suma $90^{\circ }$. Cum $m(\sphericalangle C)=2\cdot m(\sphericalangle B)$, avem $3\cdot m(\sphericalangle B)=90^{\circ }$, adică $m(\sphericalangle B)=30^{\circ }$ (2 p).

Cateta $AC$ stă în fața unghiului de $30^{\circ }$, deci are jumătate din lungimea ipotenuzei $BC$: $AC=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: calculul pe perechea $(1,2)$.

Cu $x=1$ și $y=2$ în definiția legii: $$1\ast 2=3\cdot 1+3\cdot 2-3\cdot 1\cdot 2-2\text{(3 p)}.$$ Termenii $3\cdot 2=6$ și $-3\cdot 1\cdot 2=-6$ se reduc, deci $1\ast 2=3-2=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: o formă cu produs de paranteze.

Scriem $-2=1-3$ în definiția legii: $$x\ast y=3x+3y-3xy-2=1-3xy+3x+3y-3\text{(3 p)}.$$ Grupăm termenii: $-3xy+3x=-3x(y-1)$, iar $3y-3=3(y-1)$. Atunci $x\ast y=1-3x(y-1)+3(y-1)$, iar factorul comun $y-1$ dă $x\ast y=1-3(x-1)(y-1)$, pentru orice $x$ și $y$ reale (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: verificarea elementului neutru.

Un element neutru trebuie să verifice $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$ pentru orice $x$. Folosim forma $x\ast y=1-3(x-1)(y-1)$. Pentru $e=\frac{2}{3}$, cu $\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$: $$x\ast \frac{2}{3}=1-3(x-1)\left(-\frac{1}{3}\right)=1+(x-1)=x\text{(2 p)}.$$ În cealaltă ordine, $\frac{2}{3}\ast x=1-3\left(-\frac{1}{3}\right)(x-1)=1+(x-1)=x$, pentru orice $x$ real. Ambele egalități se verifică, deci $e=\frac{2}{3}$ este neutru pentru legea dată (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: o ecuație.

Primul operand este $2-x$, iar $(2-x)-1=1-x$; al doilea operand este $2$, iar $2-1=1$. Atunci $$(2-x)\ast 2=1-3(1-x)\cdot 1=1-3+3x=3x-2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cerută devine $3x-2=2+x$, deci $2x=4$ și $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: perechi de numere naturale.

Din $m\ast n=19$ rezultă $1-3(m-1)(n-1)=19$, adică $-3(m-1)(n-1)=18$ și $$(m-1)(n-1)=-6\text{(2 p)}.$$ Numerele $m$ și $n$ sunt naturale, deci $m-1\ge -1$ și $n-1\ge -1$. Produsul fiind negativ, un factor este negativ și celălalt pozitiv; cel negativ nu poate fi mai mic decât $-1$, deci este $-1$, iar celălalt este $6$. Descompunerile lui $-6$ în doi factori întregi sunt $(-1)\cdot 6$, $(-2)\cdot 3$, $(-3)\cdot 2$ și $(-6)\cdot 1$, apoi cele cu factorii în ordine inversă; doar $(-1,6)$ și $(6,-1)$ au ambii factori mai mari sau egali cu $-1$. Atunci $(m,n)$ este $(0,7)$ sau $(7,0)$, perechi ordonate (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: o sumă de trei compuneri.

Calculăm separat: $a\ast 1=3a+3-3a-2=1$, $a\ast 2=3a+6-6a-2=4-3a$ și $a\ast 3=3a+9-9a-2=7-6a$. Suma este $$(a\ast 1)+(a\ast 2)+(a\ast 3)=1+(4-3a)+(7-6a)=12-9a\text{(3 p)}.$$ Ecuația $12-9a=3a^2$ se scrie $3a^2+9a-12=0$, adică $a^2+3a-4=0$. Discriminantul este $3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=25$, iar rădăcinile sunt $\frac{-3+5}{2}=1$ și $\frac{-3-5}{2}=-4$, adică $\mathbf{a}=-4$ și $\mathbf{a}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: valoarea lui $\det A$.

La o matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ determinantul este $ad-bc$. Pentru $A$ avem $a=1$, $b=-1$, $c=-2$, $d=4$, deci $$\det A=1\cdot 4-(-1)\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ Produsul $(-1)\cdot (-2)$ este $2$, deci $\det A=4-2=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o combinație cu $A$ și $I_2$.

Scalarul $x$ înmulțește fiecare element al lui $A$, iar $2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$: $$xA-2I_2=\left(\begin{array}{cc}x& -x\\ -2x& 4x\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scăderea se face element cu element: $xA-2I_2=\left(\begin{array}{cc}x-2& -x\\ -2x& 4x-2\end{array}\right)$, iar aceasta este $B(x)$, pentru orice $x$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: un produs egal cu $B(5)$.

Elementul $(i,j)$ al produsului $A\cdot A$ este suma produselor dintre elementele liniei $i$ și cele ale coloanei $j$ din a doua matrice, luate în aceeași ordine: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+(-1)(-2)& 1\cdot (-1)+(-1)\cdot 4\\ -2\cdot 1+4\cdot (-2)& -2\cdot (-1)+4\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -10& 18\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din forma lui $B(x)$, cu $x=5$: $B(5)=\left(\begin{array}{cc}5-2& -5\\ -2\cdot 5& 4\cdot 5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -10& 18\end{array}\right)$. Cele două matrice coincid, deci $A\cdot A=B(5)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o ecuație cu determinant.

Determinantul lui $B(x)$ este $$\det \left(B(x)\right)=(x-2)(4x-2)-(-x)(-2x)=4x^2-10x+4-2x^2=2x^2-10x+4\text{(3 p)}.$$ Ecuația $2x^2-10x+4=4$ este echivalentă cu $x^2-5x=0$, adică $x(x-5)=0$; produsul este nul când un factor este nul, deci $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=5$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: o identitate cu $B(xy)$.

Din cerința III.2 știm că $B(t)=tA-2I_2$ pentru orice $t$ real. Atunci $B(xy)=xyA-2I_2$, iar $xB(y)=x\left(yA-2I_2\right)=xyA-2x{I}_2$. Prin urmare $$B(xy)-xB(y)=xyA-2I_2-xyA+2x{I}_2\text{(3 p)}.$$ Termenii $xyA$ se reduc, iar rămâne $2x{I}_2-2I_2=2(x-1)I_2$, pentru orice $x$ și $y$ reale (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o ecuație exponențială cu matrice.

Din cerința III.5, $B(uv)-uB(v)=2(u-1)I_2$ pentru orice $u$ și $v$ reali. Cum $6=2\cdot 3$, puterea $6^x$ se scrie ca produs al puterilor lui $2$ și $3$ cu același exponent $x$, așa că luăm $u=2^x$ și $v=3^x$, cu $uv=6^x$: $$B\left(6^x\right)-2^{x}B\left(3^x\right)=B\left(2^x\cdot 3^x\right)-2^{x}B\left(3^x\right)=2\left(2^x-1\right)I_2\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $2\left(2^x-1\right)I_2=6I_2$, deci $2\left(2^x-1\right)=6$, adică $2^x=4=2^2$. Bazele fiind egale, exponenții sunt egali: $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 2 din sesiunea iunie 2021 a probei E. c) la matematică M_pedagogic se rezolvă aici cerință cu cerință. Timpul de lucru efectiv este de trei ore, iar foaia are trei subiecte obligatorii, de câte 30 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile urmează textul oficial, iar rezolvările și ghidajul sunt ale noastre, fiecare rând punctat al foii de evaluare având etapa lui în rezolvare.

Pe scurt, ce cere varianta. Primele șase cerințe sunt independente: o egalitate cu radicali, două funcții de gradul întâi, o ecuație cu radical, o probabilitate cu divizori, o dreaptă care trece prin origine și un triunghi dreptunghic cu unghiuri în raportul $1:2$. Următoarele șase se referă la legea $x\ast y=3x+3y-3xy-2$, iar ultimele șase la matricea $A$ și la familia de matrice $B(x)$, care se scrie cu ajutorul lui $A$.

Programa. Conform OMEN 4430/2014, în programa de examen M_pedagogic pentru Bacalaureatul din 2021, funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic fac parte din clasa a IX-a; radicalii, ecuațiile cu radicali, probabilitatea și dreapta în reper fac parte din clasa a X-a; legile de compoziție se învață în clasa a XI-a, iar matricele și determinanții în clasa a XII-a. Pe tema legii de compoziție vă poate ajuta lecția Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru, iar pentru matrice lecția Adunarea matricelor: loturi, depozite, tehnologic.

Capcane, fiecare cu dovada ei.

• Exercițiul 4: zero nu este număr natural nenul. Dacă mulțimea ar avea $10$ elemente, cu tot cu $0$, raportul ar fi $\frac{5}{10}$, nu $\frac{5}{9}$; divizorii lui $18$ din mulțime rămân $1$, $2$, $3$, $6$ și $9$.
• Exercițiul 5: panta dreptei $OA$ este $-2$, nu $2$. Cu panta $2$ s-ar ajunge la $a=6$, dar punctul $B(3,6)$ nu se află pe dreapta $y=-2x$, pe care se află $O$ și $A$.
• Cerința II.5: factorii $m-1=-2$ și $n-1=3$ au produsul $-6$, dar dau $m=-1$, număr care nu este natural; perechea nu convine.
• Cerința II.6: ambele valori, $a=-4$ și $a=1$, verifică ecuația inițială, fiindcă $12-9\cdot (-4)=48=3\cdot 16$ și $12-9\cdot 1=3=3\cdot 1$.
• Cerința III.3: ridicarea la pătrat element cu element a lui $A$ ar da $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 16\end{array}\right)$, în timp ce produsul $A\cdot A$ este $\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -10& 18\end{array}\right)$.
• Cerința III.4: dacă ecuația se împarte la $x$, se pierde soluția $x=0$, care o verifică, fiindcă $2\cdot 0^2-10\cdot 0=0$.
• Cerința III.6: numărul $6^x$ este produsul puterilor lui $2$ și $3$ cu exponentul $x$, nu suma lor: pentru $x=1$ produsul este $6$, iar suma $2+3$ este $5$.

Despre litere. În itemul 5, $A$, $B$ și $O$ sunt puncte ale reperului, iar $a$ este ordonata punctului $B$; în Subiectul al III-lea, $A$ este matricea dată, iar $B(x)$ este matricea care depinde de $x$. În itemul 2, $a$ este necunoscuta, iar $x$ este variabila funcțiilor $f$ și $g$; în cerința II.6, $a$ este din nou necunoscută. În itemul 4, $n$ este un număr ales din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, iar în cerința II.5, $m$ și $n$ sunt numerele naturale căutate. Numărul $e=\frac{2}{3}$ din cerința II.3 este dat în enunț și se verifică, nu se caută. În Subiectul al III-lea, $x$ este un număr real oarecare în cerințele III.2 și III.5, necunoscută în cerințele III.4 și III.6, iar $y$ apare numai în cerința III.5.