Subiect Bac matematică pedagogic, model 2015 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2015 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{81}-\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}=9$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=0$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+1}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

O firmă folosește $2000$ de lei pentru publicitate, ceea ce reprezintă $5\%$ din profitul anual al firmei. Determinați profitul anual al firmei.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $M(1,-1)$ și este paralelă cu dreapta $d$ de ecuație $y=x-1$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 30^{\circ }+\sqrt{3}\cdot \cos 30^{\circ }=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-2$.

1. (5 puncte) Calculați $(-2)\ast 2$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=2$ este element neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $(x+1)\ast x=3$.

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x\ast 3^x=0$.

6. (5 puncte) Arătați că $x^2\ast \frac{1}{x^2}\ge 0$ pentru orice număr real nenul $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Calculați $\det (A(0))$.

2. (5 puncte) Arătați că $4\cdot A(1)-3\cdot A(-1)=A(7)$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că $\det (A(a))=10$.

4. (5 puncte) Arătați că $\det (A(a)-I_2)>0$ pentru orice număr real $a$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

5. (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(2)$.

6. (5 puncte) Determinați numărul matricelor $A(a)$, unde $a$ este număr întreg și $\det (A(a))\le 401$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările urmează rândurile baremului oficial; numărul din paranteza de la capătul fiecărui rând arată punctele acordate pe acel rând. La model, toate cele 18 cerințe au câte două rânduri, de 3 + 2 sau de 2 + 3 puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — o sumă de radicali de ordinul doi.

Numărul $\sqrt{81}$ este $9$. Din ceilalți radicali se scoate cel mai mare pătrat perfect divizor: $18=9\cdot 2$, $50=25\cdot 2$ și $8=4\cdot 2$, deci $$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{50}=5\sqrt{2},\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $\sqrt{2}$ se reduc, fiindcă $-3+5-2=0$: $$\sqrt{81}-\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}=9-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=9\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — parametrul $m$ al unei funcții.

În $f(x)=x-m$ se pune $x=2$: $$f(2)=2-m\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(2)=0$ înseamnă $2-m=0$, deci $\mathbf{m}=2$ (3 p). Verificare: pentru $m=2$ avem $f(x)=x-2$, iar $f(2)=0$.

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Ambii membri ai ecuației $\sqrt{x^2+1}=1$ sunt pozitivi, deci prin ridicare la pătrat se obține $$x^2+1=1\text{(2 p)}.$$ Rămâne $x^2=0$, adică $\mathbf{x}=0$. Ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, de aceea se verifică în ecuația dată: $\sqrt{0^2+1}=\sqrt{1}=1$, deci $x=0$ convine (3 p).

Exercițiul 4. (5 p) — profitul anual aflat dintr-un procent.

Fie $x$ profitul anual al firmei, în lei. Cum $5\%=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$, partea din profit este $$5\%\cdot x=\frac{x}{20}\text{(3 p)}.$$ Această parte este suma cheltuită pe publicitate, deci $\frac{x}{20}=2000$, de unde $x=2000\cdot 20=40000$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — dreapta paralelă cu $d$ prin punctul $M(1,-1)$.

Dreapta $d:y=x-1$ are panta $m_d=1$, coeficientul lui $x$. Două drepte paralele au aceeași pantă, deci panta $m$ a dreptei căutate este $$m_d=1\text{ și }m=m_d\Rightarrow m=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta de pantă $1$ prin $M(1,-1)$ are ecuația $y-(-1)=1\cdot (x-1)$, adică $y+1=x-1$. Ecuația dreptei este $\mathbf{y}=\mathbf{x}-2$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie cu sinus și cosinus.

Din tabelul valorilor la $30^{\circ }$: $$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$ Valorile se înlocuiesc în expresie, iar $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$: $$\sin 30^{\circ }+\sqrt{3}\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

În $x\ast y=x+y-2$ se pun $x=-2$ și $y=2$, cu paranteză la numărul negativ: $$(-2)\ast 2=(-2)+2-2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-2+2-2=-2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Cele două paranteze se calculează separat. Cum $a\ast b=a+b-2$, avem $x\ast y=x+y-2$, iar $(x+y-2)\ast z=(x+y-2)+z-2$: $$(x\ast y)\ast z=(x+y-2)\ast z=x+y+z-4\text{(2 p)}.$$ Pentru cealaltă paranteză, $y\ast z=y+z-2$, iar $x\ast (y+z-2)=x+(y+z-2)-2$: $$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-2)=x+y+z-4=(x\ast y)\ast z,$$ pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$ (3 p). Cele două expresii coincid oricare ar fi $x$, $y$, $z$, deci legea este asociativă.

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — elementul neutru.

Pentru ca $e$ să fie element neutru, trebuie ca $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$ pentru orice $x$. La $e=2$, prima egalitate este $$x\ast 2=x+2-2=x,$$ oricare ar fi numărul real $x$ (3 p). A doua egalitate este $$2\ast x=2+x-2=x,$$ la fel, oricare ar fi numărul real $x$ (2 p). Ambele sunt adevărate, deci $e=2$ este element neutru al legii.

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu legea $\ast$.

Definiția legii dă $(x+1)\ast x=(x+1)+x-2$, deci ecuația este $$(x+1)+x-2=3\text{(3 p)}.$$ Aceasta înseamnă $2x-1=3$, adică $2x=4$, deci $\mathbf{x}=2$ (2 p). Verificare: $(2+1)\ast 2=3+2-2=3$.

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — ecuație cu puteri.

Prin definiția legii, $9^x\ast 3^x=9^x+3^x-2$, iar $9^x$ este pătratul lui $3^x$. Cum $2+(-1)=1$ este coeficientul lui $3^x$, iar $2\cdot (-1)=-2$ este termenul liber, trinomul ${\left(3^x\right)}^2+3^x-2$ se descompune în $\left(3^x+2\right)\left(3^x-1\right)$: $$9^x+3^x-2=0⟺\left(3^x+2\right)\left(3^x-1\right)=0\text{(3 p)}.$$ Prima paranteză nu poate fi zero, fiindcă $3^x>0$; rămâne $3^x-1=0$, adică $3^x=1=3^0$. Soluția este $\mathbf{x}=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o inegalitate cu legea $\ast$.

Definiția legii, cu $x^2$ și $\frac{1}{x^2}$ în locul variabilelor, dă $x^2+\frac{1}{x^2}-2$. La numitorul comun $x^2$, cu $x^2=\frac{x^4}{x^2}$ și $-2=\frac{-2x^2}{x^2}$: $$x^2\ast \frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-2=\frac{x^4-2x^2+1}{x^2}\text{(2 p)}.$$ Numărătorul este pătratul diferenței $x^2-1$: $$x^2\ast \frac{1}{x^2}=\frac{{\left(x^2-1\right)}^2}{x^2}\ge 0,$$ pentru orice $x$ real nenul, fiindcă numărătorul este un pătrat, deci nenegativ, iar numitorul $x^2$ este pozitiv (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A(0)$.

Pentru $a=0$ matricea este $A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Determinantul se obține scăzând din produsul elementelor de pe diagonala principală produsul elementelor de pe cea secundară: $$\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=0\cdot 0-(-1)\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Rămâne $0+1=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — o combinație de matrice.

Se înlocuiește $a$ cu $1$, cu $-1$ și cu $7$ în definiția lui $A(a)$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),A(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right),A(7)=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ -1& 7\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scalarul se înmulțește cu fiecare element al matricei, iar scăderea se face pe poziții: $$4\cdot A(1)-3\cdot A(-1)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -4& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ -3& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ -1& 7\end{array}\right)=A(7)\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — ecuația $\det (A(a))=10$.

Determinantul se scrie ca expresie în $a$: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& a\end{array}\right|=a\cdot a-1\cdot (-1)=a^2+1\text{(2 p)}.$$ Se rezolvă $a^2+1=10$, adică $a^2=9$, de unde $a=-3$ sau $a=3$; ambele valori sunt soluții, $\mathbf{a}=-3$ și $\mathbf{a}=3$ (3 p). Verificare: $(-3{)}^2+1=3^2+1=10$.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — semnul unui determinant.

Matricea unitate se scade pe poziții, adică din elementele diagonalei principale se scade $1$: $$A(a)-I_2=\left(\begin{array}{cc}a-1& 1\\ -1& a-1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Determinantul acestei matrice este $$\det (A(a)-I_2)=\left|\begin{array}{cc}a-1& 1\\ -1& a-1\end{array}\right|=(a-1{)}^2+1>0,$$ oricare ar fi $a$ real, fiindcă un pătrat este $\ge 0$, iar la el se adaugă $1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversa lui $A(2)$.

Pentru $a=2$ avem $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar determinantul este $$\det (A(2))=2\cdot 2-1\cdot (-1)=4+1=5\text{(2 p)}.$$ Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă. La o matrice $2\times 2$, se interschimbă elementele diagonalei principale, se schimbă semnul elementelor diagonalei secundare, apoi totul se împarte la determinant: $$A^{-1}(2)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& -\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Verificare: $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=I_2$.

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — numărul matricelor cu determinantul mărginit.

Determinantul este cel de la cerința III.3, pentru orice $a$: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& a\end{array}\right|=a^2+1\text{(2 p)}.$$ Condiția $\det (A(a))\le 401$ înseamnă $a^2+1\le 401$: $$a^2+1\le 401⟺a^2\le 400⟺|a|\le 20.$$ Întregii $a$ cu $|a|\le 20$ sunt $20$ de numere negative, $0$ și $20$ de numere pozitive, adică $20+1+20=41$ de valori. Matricele $A(a)$ sunt diferite pentru valori diferite ale lui $a$, fiindcă $a$ stă pe diagonala principală, deci sunt $41$ de matrice (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina reproduce modelul de lucrare pentru Bacalaureatul din 2015, disciplina matematică, programa M_pedagogic (proba E. c; filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare), cu rezolvări scrise de Matepolis. Lucrarea are trei subiecte obligatorii, fiecare cu șase cerințe de 5 puncte, adică 90 de puncte pe lucrare, la care se adaugă oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Pentru lucrare sunt prevăzute trei ore. Rezolvările urmează rândurile punctate ale baremului oficial, iar ghidajul interactiv parcurge fiecare rând printr-o întrebare cu variante.

Ce cere fiecare subiect. Primul subiect conține: o sumă de radicali de ordinul doi, parametrul unei funcții de gradul I, o ecuație cu radical, un profit aflat din partea lui de $5\%$, ecuația unei drepte cu pantă cunoscută și o expresie cu sinus și cosinus. Al doilea subiect folosește legea $x\ast y=x+y-2$ și cere o valoare, asociativitatea, verificarea unui element neutru, o ecuație simplă, o ecuație cu puteri și o inegalitate cu $x^2$ și $\frac{1}{x^2}$. Al treilea subiect pornește de la matricea $A(a)$ și cere: un determinant, o combinație de matrice, o ecuație cu determinantul, o inegalitate cu $\det (A(a)-I_2)$, inversa lui $A(2)$ și numărul matricelor cu determinantul cel mult $401$.

Programa din spatele modelului. Modelul urmează programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, care se aplică de la Bacalaureatul din 2015; prin urmare, ea este valabilă și pentru modelul din 2015. La clasa a IX-a se leagă funcția de gradul I și triunghiul dreptunghic; la clasa a X-a, radicalii, ecuațiile cu radical și cele exponențiale, procentele și ecuația dreptei; la clasa a XI-a, legea de compoziție; la clasa a XII-a, determinantul, operațiile cu matrice și inversabilitatea. Se pot reciti, pentru itemul 1, Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic, pentru itemul 4, Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru cerința III.5, Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$, nu $9\sqrt{2}$: din radical iese rădăcina pătratului perfect, nu pătratul însuși. Pentru $9\sqrt{2}$ am avea ${\left(9\sqrt{2}\right)}^2=162$, iar sub radical se află $18$.
• Exercițiul 2: valoarea $f(2)$ se obține punând $2$ în locul lui $x$, deci $f(2)=2-m$. Pentru $m=-2$ ar rezulta $f(2)=4$, nu $0$.
• Exercițiul 3: egalitatea $x^2+1=1$ cere $x^2=0$, nu $x^2=1$. Pentru $x=1$ avem $\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$, care nu este $1$.
• Exercițiul 4: $5\%$ înseamnă $\frac{5}{100}$, nu $5$. Dacă profitul ar fi $400$ de lei, $5x$ ar da $2000$ de lei, dar $5\%$ din $400$ este $20$.
• Exercițiul 5: panta dreptei $d$ este coeficientul lui $x$, adică $1$; numărul $-1$ este doar termenul liber. Dreapta $y=-x$ conține punctul $M$, dar are panta $-1$, deci nu este paralelă cu $d$.
• Exercițiul 6: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, nu $\frac{\sqrt{3}}{2}$: în triunghiul cu unghiurile de $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ și $90^{\circ }$, latura mică este jumătate din ipotenuză. Dacă s-ar uita factorul $\sqrt{3}$, ar ieși $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$, mai mic decât $2$.
• Cerința II.1: numărul negativ se pune în paranteză, iar $(-2)+2-2=-2$. Cu produs în loc de sumă am obține $(-2)\cdot 2-2=-6$.
• Cerința II.2: un singur exemplu nu dovedește asociativitatea. Legea $x\diamond y=x-y$ are $(1\diamond 0)\diamond 0=1\diamond (0\diamond 0)=1$, dar $(1\diamond 2)\diamond 3=-4$, iar $1\diamond (2\diamond 3)=2$.
• Cerința II.3: trebuie verificate ambele egalități, $x\ast 2=x$ și $2\ast x=x$. Legea $x\diamond y=x$ are $x\diamond 2=x$ pentru orice $x$, dar $2\diamond 5=2$, nu $5$, deci $2$ nu este neutru pentru ea.
• Cerința II.4: $(x+1)\ast x$ se calculează cu suma, nu cu produsul: $(x+1)+x-2=2x-1$. Cu produs, pentru $x=2$ am avea $3\cdot 2-2=4$, nu $3$.
• Cerința II.5: prima paranteză este mereu mai mare decât $2$, deci nu poate fi zero. Dacă s-ar crede că ea se anulează pentru $x=-2$, am avea $3^{-2}+2=\frac{19}{9}$, nu $0$.
• Cerința II.6: numărătorul este pătratul lui $x^2-1$, chiar dacă acesta este negativ. Pentru $x=\frac{1}{2}$ avem $x^2-1=-\frac{3}{4}$, iar pătratul lui este $\frac{9}{16}\ge 0$.
• Cerința III.1: produsul diagonalei secundare se scade, nu se adună. Cu adunare am obține $0\cdot 0+(-1)\cdot 1=-1$, nu $1$.
• Cerința III.2: scalarul înmulțește fiecare element al matricei, nu numai diagonala. Dacă ar fi înmulțite doar elementele diagonale, ar ieși $\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right)$, dar în colțul din dreapta sus rezultatul este $4\cdot 1-3\cdot 1=1$.
• Cerința III.3: din $a^2=9$ rezultă două valori, $a=-3$ și $a=3$, iar ambele dau $\det (A(a))=10$.
• Cerința III.4: un pătrat este $\ge 0$, nu neapărat strict pozitiv. Pentru $a=1$ paranteza $a-1$ este $0$, deci și pătratul ei este $0$, iar determinantul este $0+1=1>0$ datorită lui $+1$.
• Cerința III.5: împărțirea lui $A(2)$ la determinant nu este suficientă pentru inversă. Înmulțită cu $A(2)$, matricea $\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$ dă un produs cu $\frac{3}{5}$ pe diagonala principală, nu cu $1$, deci nu este inversa.
• Cerința III.6: între $-20$ și $20$ se află $41$ de numere întregi, nu $20$ sau $21$, fiindcă se numără și valorile negative, și $0$. Pentru $a=-20$ avem $(-20{)}^2+1=401\le 401$.

Înțelesul literelor. În itemul 2, $f$ este funcția, iar $m$ este parametrul căutat; în itemul 3, $x$ este necunoscuta de sub radical. În itemul 4 enunțul nu dă o literă profitului căutat, iar rezolvarea îl notează cu $x$. În itemul 5, $d$ este dreapta dată, $m_d$ este panta ei, iar $m$ este panta dreptei căutate. Subiectul II: $x$, $y$ și $z$ pot fi orice numere reale la cerința II.2, iar în rezolvarea lui $a$ și $b$ țin locul celor doi operanzi din formula legii (alt rol decât parametrul $a$ din Subiectul III); la cerința II.3, $x$ este orice număr real, iar $e$ este numărul $2$ a cărui proprietate se verifică; la cerința II.4 $x$ este necunoscuta; la cerința II.5 $x$ este necunoscuta din exponenți, iar la cerința II.6 $x$ este orice număr real nenul. Subiectul III: $A(a)$ este matricea din cadru, cu parametrul real $a$; $a$ este necunoscută la cerințele III.3 și III.6, la cerința III.4 numărul $a$ este oarecare, iar $I_2$ este matricea unitate.