Subiect Bac matematică pedagogic, august 2016 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2016 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $3(x+2)\le 9$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(2x-8)={\log }_{3}2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $1000$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$, $B(5,6)$ și $C(5,3)$. Arătați că patrulaterul $AOCB$ este paralelogram.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$, știind că $m(\sphericalangle A)=60^{\circ }$ și $AB=AC=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-5$.

1. (5 puncte) Arătați că $(-2)\ast 7=0$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Arătați că $(1\ast 2)\ast (8\ast 9)=(1\ast 9)\ast (2\ast 8)$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $(x\ast x)\ast x=x$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $9^x\ast 3^x=7$.

6. (5 puncte) Demonstrați că $x^2\ast \frac{1}{x^2}\ge -3$, pentru orice număr real nenul $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det B=1$.

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că $\det (aA(a))=0$.

3. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$, pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

4. (5 puncte) Demonstrați că $A(a-1)+A(a+1)=2A(a)$, pentru orice număr real $a$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $\det (A(a)+B)=a+3$.

6. (5 puncte) Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $X\cdot A(1)=B$.

Barem și răspunsuri

Soluțiile urmează rândurile punctate ale foii oficiale; numărul îngroșat din paranteză spune câte din cele 5 puncte ale cerinței valorează rândul. Fiecare dintre cele 18 cerințe se împarte în două rânduri, de $3+2$ sau de $2+3$ puncte; cu cele 10 puncte din oficiu, lucrarea totalizează 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — o sumă de radicali.

Fiecare număr de sub radical este un pătrat perfect: $\sqrt{25}=5$, fiindcă $5^2=25$; $\sqrt{64}=8$, fiindcă $8^2=64$; $\sqrt{169}=13$, fiindcă $13^2=169$ (3 p). Înlocuim în expresie: $$\sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=5+8-13=0\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — o inecuație de gradul I.

Împărțim ambii membri la $3$, număr pozitiv, deci sensul inegalității rămâne același: $3(x+2)\le 9⟺x+2\le 3$ (2 p).

Scădem $2$ din ambii membri și obținem $x\le 1$, adică $\mathbf{x}\in (-\infty ,1]$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în baza $3$ nu ia aceeași valoare în două puncte diferite, așa că egalitatea celor doi logaritmi se reduce la egalitatea argumentelor lor: $${\log }_3(2x-8)={\log }_{3}2\Rightarrow 2x-8=2\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=10$ și $\mathbf{x}=5$. Verificare: argumentul $2\cdot 5-8=2$ este pozitiv, deci logaritmul există, iar egalitatea devine ${\log }_{3}2={\log }_{3}2$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două ieftiniri succesive.

După prima ieftinire cu $10\%$ se scade $10\%$ din $1000$: $1000-10\%\cdot 1000=1000-100=900$ de lei (3 p).

A doua ieftinire se aplică prețului de $900$ de lei: $900-10\%\cdot 900=900-90=810$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — un paralelogram în reper.

Un patrulater este paralelogram când diagonalele lui au același mijloc. În $AOCB$ diagonalele sunt $AC$ și $OB$, unde $O(0,0)$ este originea reperului. Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu mediile coordonatelor capetelor, deci mijloacele coincid atunci când sumele coordonatelor capetelor sunt egale. Pe abscise: $x_A+x_C=0+5=5$ și $x_O+x_B=0+5=5$ (2 p).

Pe ordonate: $y_A+y_C=3+3=6$ și $y_O+y_B=0+6=6$. Sumele coincid pe ambele axe, deci segmentele $AC$ și $OB$ au același mijloc, $\left(\frac{5}{2},3\right)$, iar $AOCB$ este paralelogram (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi cu sinus.

Aria se calculează înmulțind două laturi cu sinusul unghiului format de ele și împărțind la $2$; cu $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $36\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$, iar împărțit la $2$ dă ${\mathcal{A}}_{ABC}=9\sqrt{3}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=-2$ și $y=7$ în $x\ast y=x+y-5$: $$(-2)\ast 7=(-2)+7-5\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni dau $5$, iar $5-5=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Aplicăm definiția legii pe rând, începând cu paranteza din interior: $$(x\ast y)\ast z=(x+y-5)\ast z=(x+y-5)+z-5=x+y+z-10\text{(2 p)}.$$ La cealaltă grupare, paranteza din interior este $y\ast z=y+z-5$: $$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-5)=x+(y+z-5)-5=x+y+z-10.$$ Expresiile obținute sunt identice oricare ar fi numerele reale $x$, $y$, $z$, așadar legea „$\ast$” este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — o egalitate între două compuneri de câte două perechi.

Calculăm întâi parantezele din membrul stâng: $1\ast 2=1+2-5=-2$ și $8\ast 9=8+9-5=12$. Apoi $$(1\ast 2)\ast (8\ast 9)=(-2)\ast 12=-2+12-5=5\text{(2 p)}.$$ În membrul drept, $1\ast 9=1+9-5=5$ și $2\ast 8=2+8-5=5$, deci $(1\ast 9)\ast (2\ast 8)=5\ast 5=5+5-5=5$. Ambii membri au valoarea $5$, deci egalitatea este adevărată (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu $(x\ast x)\ast x$.

Din definiție, $x\ast x=x+x-5=2x-5$, iar $(x\ast x)\ast x$ se obține compunând acest rezultat cu $x$: $$(2x-5)\ast x=(2x-5)+x-5=3x-10\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $3x-10=x$, adică $2x=10$ și $\mathbf{x}=5$. Verificare: $5\ast 5=5+5-5=5$, deci $(5\ast 5)\ast 5=5\ast 5=5$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație exponențială cu legea $\ast$.

Din definiție, $9^x\ast 3^x=9^x+3^x-5$, deci ecuația este $9^x+3^x-5=7$, adică $9^x+3^x-12=0$. Notăm $t=3^x$; atunci $9^x={\left(3^2\right)}^x=t^2$ și avem $t^2+t-12=0$, care se descompune în $(t+4)(t-3)=0$. Revenind la $3^x$: $$9^x+3^x-5=7⟺\left(3^x+4\right)\left(3^x-3\right)=0\text{(3 p)}.$$ Factorul $3^x+4$ este mai mare decât $4$, deci nu se anulează; rămâne $3^x-3=0$, adică $3^x=3$, deci $\mathbf{x}=1$. Verificare: $9\ast 3=9+3-5=7$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o inegalitate cu $x^2$ și $\frac{1}{x^2}$.

Din definiție, $x^2\ast \frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-5$, deci inegalitatea este $$x^2\ast \frac{1}{x^2}\ge -3⟺x^2+\frac{1}{x^2}-5\ge -3\text{(2 p)}.$$ Aducem $-3$ în stânga: $x^2+\frac{1}{x^2}-2\ge 0$. Membrul stâng este un pătrat, fiindcă ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$. Inegalitatea se scrie deci ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2\ge 0$, adevărată pentru orice număr real nenul $x$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $B$.

Din produsul elementelor diagonalei principale, $1\cdot 1$, se scade produsul elementelor diagonalei secundare, $1\cdot 0$: $\det B=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-1\cdot 0$ (3 p).

Produsele sunt $1$ și $0$, deci $\det B=1-0=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — o ecuație cu determinantul lui $aA(a)$.

Înmulțim fiecare element al matricei cu $a$: $aA(a)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& a\\ 2a& 3a\end{array}\right)$, iar determinantul este $$\det (aA(a))=\left|\begin{array}{cc}{a}^2& a\\ 2a& 3a\end{array}\right|=a^2\cdot 3a-a\cdot 2a=3a^3-2a^2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $3a^3-2a^2=0$ se scrie $a^2(3a-2)=0$, deci $\mathbf{a}=0$ sau $\mathbf{a}=\frac{2}{3}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — inversabilitatea matricei $A(a)$.

Determinantul lui $A(a)$ este $\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=a\cdot 3-1\cdot 2=3a-2$ (2 p).

O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul: $3a-2\ne 0$, adică $a\ne \frac{2}{3}$. Așadar $A(a)$ este inversabilă pentru $\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{2}{3}\right\}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o identitate cu matrice indexate.

Parametrul apare numai în elementul din stânga sus, deci $A(a-1)=\left(\begin{array}{cc}a-1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ și $A(a+1)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ (2 p).

Adunăm element cu element: $$A(a-1)+A(a+1)=\left(\begin{array}{cc}(a-1)+(a+1)& 1+1\\ 2+2& 3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a& 2\\ 4& 6\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& 3\end{array}\right)=2A(\mathbf{a}),$$ pentru orice număr real $a$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație cu determinantul unei sume.

Suma se face înainte de determinant: $A(a)+B=\left(\begin{array}{cc}a+1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, iar $$\det (A(a)+B)=\left|\begin{array}{cc}a+1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|=4(a+1)-2\cdot 2=4a\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $4a=a+3$, adică $3a=3$ și $\mathbf{a}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație matriceală cu $X$ în stânga.

Matricea $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ are determinantul $1\cdot 3-1\cdot 2=1\ne 0$ (la fel ca la cerința III.3: $3\cdot 1-2=1$), deci este inversabilă. Inversa se obține schimbând între ele elementele diagonalei principale, schimbând semnele celorlalte două și împărțind la determinant: $${\left(A(1)\right)}^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea $A(1)$ stă în dreapta lui $X$, deci ecuația se înmulțește la dreapta cu inversa ei: $$X=B\cdot {\left(A(1)\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Elementele produsului sunt $1\cdot 3+1\cdot (-2)=1$, $1\cdot (-1)+1\cdot 1=0$, $0\cdot 3+1\cdot (-2)=-2$ și $0\cdot (-1)+1\cdot 1=1$.

Pentru părinți și profesori

Varianta 2 din sesiunea august 2016 a probei scrise E. c) la matematică M_pedagogic, pentru filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare, cuprinde trei subiecte obligatorii, fiecare cu șase cerințe de 5 puncte; cele 18 cerințe valorează în total 90 de puncte, iar timpul de lucru efectiv este de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele de pe foaia oficială, iar soluțiile și ghidajul interactiv, construite pe rândurile punctate ale foii de evaluare, aparțin Matepolis.

Ce cuprinde. Subiectul I are o sumă de radicali, o inecuație de gradul I, o ecuație logaritmică, două ieftiniri succesive, un paralelogram în reperul cartezian și aria unui triunghi. Subiectul al II-lea pornește de la legea $x\ast y=x+y-5$: o valoare, asociativitatea, o egalitate între două compuneri de câte două perechi, o ecuație cu $(x\ast x)\ast x$, o ecuație exponențială și o inegalitate cu $x^2$ și $\frac{1}{x^2}$. Subiectul al III-lea folosește matricele $A(a)$ și $B$: un determinant, o ecuație cu determinantul lui $aA(a)$, inversabilitatea, o identitate, o ecuație cu determinantul unei sume și o ecuație matriceală.

Locul în programă. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, care a funcționat din Bacalaureatul 2015, este cea după care s-a dat și această variantă. Inecuațiile de gradul I și aplicațiile trigonometriei în geometrie sunt în clasa a IX-a; radicalii, ecuațiile exponențiale și logaritmice, procentele și coordonatele în plan, în clasa a X-a; legile de compoziție, în clasa a XI-a; matricele, determinanții, inversa și ecuațiile matriceale, în clasa a XII-a. Pentru ecuația logaritmică se poate relua lecția Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic, iar pentru inversa unei matrice lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: suma rădăcinilor nu este rădăcina sumei. Suma $\sqrt{25}+\sqrt{64}$ este $13$, în timp ce $\sqrt{25+64}=\sqrt{89}$ nu este număr natural, fiindcă $9^2=81<89<100=10^2$.
• Exercițiul 2: soluția este $(-\infty ,1]$, nu $[1,+\infty )$. Pentru $x=2$ avem $3\cdot 4=12$, care nu este mai mic sau egal cu $9$, iar pentru $x=0$ avem $3\cdot 2=6\le 9$.
• Exercițiul 3: din $2x-8=2$ rezultă $2x=10$, deoarece $8$ trece în dreapta cu plus. Dacă $8$ ar trece în dreapta cu minus, ar ieși $2x=-6$ și $x=-3$, iar pentru $x=-3$ argumentul este $2\cdot (-3)-8=-14$, negativ, deci logaritmul nu există.
• Exercițiul 4: două ieftiniri de $10\%$ nu înseamnă una de $20\%$. O reducere de $20\%$ ar da $1000-200=800$, nu $810$, fiindcă a doua ieftinire se aplică prețului de $900$ de lei.
• Exercițiul 5: în patrulaterul $AOCB$ diagonalele sunt $AC$ și $OB$, nu $AB$ și $OC$. Mijlocul lui $AB$ este $\left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$, iar al lui $OC$ este $\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$, deci nu coincid.
• Exercițiul 6: în formula ariei apare sinusul unghiului dintre laturi. Cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ s-ar obține $\frac{6\cdot 6\cdot \frac{1}{2}}{2}=9$, iar aria corectă este $9\sqrt{3}$, mai mare decât $9$.
• Cerința II.1: termenul $-5$ din lege nu se uită: $(-2)+7=5$, dar $(-2)\ast 7=5-5=0$.
• Cerința II.2: fiecare compunere scade $5$, deci două compuneri scad $10$. Cu $-5$ în loc de $-10$, pentru $x=y=z=0$ s-ar obține $-5$, iar $(0\ast 0)\ast 0=(-5)\ast 0=-10$.
• Cerința II.3: fiecare compunere scade $5$. Avem $1\ast 2=1+2-5=-2$, nu $3$, iar $8\ast 9=8+9-5=12$, nu $17$.
• Cerința II.4: se scade $5$ de două ori, deci $(x\ast x)\ast x=3x-10$, nu o expresie cu o singură scădere de $5$. Pentru $x=1$ avem $(1\ast 1)\ast 1=(-3)\ast 1=-7$, iar cu o singură scădere s-ar obține $-2$.
• Cerința II.5: legea adună, nu înmulțește: $9^x\ast 3^x=9^x+3^x-5$, nu $27^x-5$. Pentru $x=1$ avem $9\ast 3=7$, iar $27-5=22$. În plus, factorul $3^x+4$ este mai mare decât $4$, deci nu se anulează.
• Cerința II.6: condiția $x\ne 0$ vine din enunț, fiindcă $\frac{1}{x^2}$ nu este definit pentru $x=0$. Pentru $x=1$ inegalitatea devine egalitate: $1+1-5=-3$.
• Cerința III.1: pe diagonala secundară stau elementele $1$ și $0$, deci produsul ei este $1\cdot 0=0$. Dacă s-ar lua $1\cdot 1=1$, determinantul ar ieși $1-1=0$, nu $1$.
• Cerința III.2: $\det (aA(a))$ este $a^2\cdot \det (A(a))$, nu $a\cdot \det (A(a))$. Pentru $a=2$ matricea $aA(a)$ are determinantul $16$, iar $a\cdot \det (A(a))=2\cdot 4=8$.
• Cerința III.3: valoarea care anulează determinantul este $a=\frac{2}{3}$, deoarece $3\cdot \frac{2}{3}-2=0$; pentru $a=0$ determinantul este $-2$, nenul, deci $A(0)$ este inversabilă.
• Cerința III.4: parametrii nu se adună: $A(a-1)+A(a+1)$ nu este $A(2a)$. Pentru $a=1$, suma $A(0)+A(2)$ are $2$ în dreapta sus, iar $A(2)$ are acolo $1$.
• Cerința III.5: suma se face înainte de determinant, nu după. Pentru $a=1$, matricea $A(1)+B$ are determinantul $4$, iar suma dintre $\det (A(1))$ și $\det (B)$ este $1+1=2$.
• Cerința III.6: ecuația $X\cdot A(1)=B$ se înmulțește la dreapta cu inversa. Produsul ${\left(A(1)\right)}^{-1}\cdot B$, în ordine inversă, are elementele $3$, $2$, $-2$, $-1$ și nu verifică ecuația.

Despre litere. La itemul 2, $x$ este necunoscuta inecuației, iar la itemul 3 este necunoscuta din argumentul logaritmului. La itemul 5, $A$, $B$ și $C$ sunt punctele date, iar $O$ este originea reperului $xOy$. La itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. În Subiectul II, $x$, $y$ și $z$ sunt numere reale oarecare; la cerințele II.4 și II.5, $x$ devine necunoscută, iar la cerința II.6 rămâne un număr real nenul oarecare. La cerința II.5, litera $t$ din rezolvare este ajutătoare: o introducem noi, pentru $3^x$, iar baremul scrie direct factorii. În Subiectul III, $A(a)$ și $B$ sunt matricele date, iar $a$ este parametrul real din $A(a)$; el este necunoscută la cerințele III.2 și III.3, precum și la cerința III.5, și număr oarecare la cerința III.4, iar $X$ de la cerința III.6 este matricea căutată.