Subiect Bac matematică pedagogic, model 2016 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2016 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} = 0, 111$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $f (x) \geq g (x)$ , unde $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ și $g : R \to R$ , $g (x) = x + 1$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x^{2}} = 2^{4 x - 3}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

O firmă folosește $5000$ de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă $5%$ din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 0)$ , $B (8, 3)$ și $C (0, 3)$ . Calculați aria triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2 sin^{2} 3 0^{\circ} + 2 cos^{2} 6 0^{\circ} = 1$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = x y + 3 x + 3 y + 6$ .

1. (5 puncte) Arătați că $0 \circ (- 3) = - 3$ .

2. (5 puncte) Arătați că $x \circ y = (x + 3) (y + 3) - 3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

3. (5 puncte) Arătați că $(- 3) \circ x = - 3$ , pentru orice număr real $x$ .

4. (5 puncte) Verificați dacă $e = - 2$ este element neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

5. (5 puncte) Calculați $(- 2016) \circ (- 2015) \circ \dots \circ (- 3)$ .

6. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x \circ x \circ x = 5$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A = (5221)$ și $I_{2} = (1001)$ .

1. (5 puncte) Arătați că $det A = 1$ .

2. (5 puncte) Arătați că $A^{2} - 6 A = - I_{2}$ , unde $A^{2} = A \cdot A$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (x A) = 4$ .

4. (5 puncte) Arătați că $det (A^{2} - 6 A + a I_{2}) \geq 0$ , pentru orice număr real $a$ , unde $A^{2} = A \cdot A$ .

5. (5 puncte) Determinați inversa matricei $B$ , unde $B = A + I_{2}$ .

6. (5 puncte) Determinați matricele $X = (a b b a) \in M_{2} (Z)$ , știind că $det X = 8$ .

Barem și răspunsuri

Cele 18 rezolvări urmează rândurile foii oficiale: numărul îngroșat din paranteză spune câte puncte din 5 aduce rândul. Fiecare cerință are două rânduri, de 3 + 2 sau de 2 + 3 puncte, deci, cu oficiul, lucrarea are 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — suma a trei fracții cu numitori puteri ale lui $10$ .

O fracție cu numitorul $10$ , $100$ sau $1000$ devine număr zecimal prin mutarea virgulei spre stânga cu atâtea poziții câte zerouri are numitorul: una, două, respectiv trei. Rezultă $\frac{1}{10} = 0, 1, \frac{1}{100} = 0, 01, \frac{1}{1000} = 0, 001 (3 p) .$ Adunăm pe zecimi, sutimi și miimi: $0, 100 + 0, 010 + 0, 001 = 0, 111$ , deci suma celor trei fracții este $0, 111$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — inecuație între două funcții de gradul I.

Condiția $f (x) \geq g (x)$ devine, după înlocuirea formulelor celor două funcții, $2 x - 1 \geq x + 1 (2 p) .$ Termenul $x$ trece în stânga și $- 1$ în dreapta, fiecare cu semnul schimbat: $2 x - x \geq 1 + 1$ , adică $x \geq 2$ . Sensul inegalității rămâne același, fiindcă nu s-a înmulțit cu un număr negativ. Valorile căutate formează intervalul $[2, + \infty)$ ; de exemplu, $f (2) = 3 = g (2)$ , iar $f (3) = 5$ este mai mare decât $g (3) = 4$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu exponent pătratic.

Cele două puteri ale lui $2$ sunt egale numai când exponenții lor sunt egali, fiindcă $2^{t}$ crește strict odată cu $t$ . Egalăm exponenții și trecem totul în membrul stâng: $x^{2} = 4 x - 3 ⟺ x^{2} - 4 x + 3 = 0 (3 p) .$ Din $Δ = 16 - 12 = 4$ rezultă rădăcinile $\frac{4 \pm 2}{2}$ , deci $x = 1$ și $x = 3$ . Verificare: pentru $x = 1$ ambii exponenți sunt $1$ , iar pentru $x = 3$ ambii sunt $9$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — procentul din care se află profitul.

Fie $x$ profitul anual al firmei, în lei. Cinci la sută din $x$ este $\frac{5}{100} \cdot x = \frac{x}{20}$ : $5% \cdot x = \frac{x}{20} (3 p) .$ Această parte din profit este suma de $5000$ de lei, deci $\frac{x}{20} = 5000$ și $x = 5000 \cdot 20 = 100000$ de lei. Verificare: $5%$ din $100000$ este $\frac{5 \cdot 100000}{100} = 5000$ (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — aria unui triunghi în reperul cartezian.

Ordonata este aceeași, $3$ , pentru $B (8, 3)$ și $C (0, 3)$ , deci $[B C]$ este paralel cu axa $O x$ , iar lungimea lui este diferența absciselor, $8 - 0 = 8$ . Dreapta $B C$ are ecuația $y = 3$ ; punctul $A (4, 0)$ se află pe axa $O x$ , așa că înălțimea $h$ coborâtă din $A$ pe $B C$ măsoară $3 - 0 = 3$ : $B C = 8 ș i h = 3 (3 p) .$ Aria triunghiului este baza înmulțită cu înălțimea și împărțită la $2$ : $A_{A B C} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valorile unghiurilor remarcabile într-o expresie.

Din tabelul valorilor unghiurilor remarcabile avem $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} (2 p) .$ Scrierea $sin^{2} 3 0^{\circ}$ înseamnă $(sin 3 0^{\circ})^{2} = \frac{1}{4}$ , iar $cos^{2} 6 0^{\circ} = \frac{1}{4}$ . Atunci $2 sin^{2} 3 0^{\circ} + 2 cos^{2} 6 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 (3 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Înlocuim $x$ cu $0$ și $y$ cu $- 3$ în formula legii: $0 \circ (- 3) = 0 \cdot (- 3) + 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 3) + 6 (2 p) .$ Cei patru termeni sunt $0$ , $0$ , $- 9$ și $6$ , iar $0 + 0 - 9 + 6 = - 3$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — forma cu factori a legii.

Termenul liber al legii este $6$ , pe care îl scriem $9 - 3$ , pentru ca $9 = 3 \cdot 3$ să fie termenul liber din desfacerea produsului factorilor $x + 3$ și $y + 3$ : $x \circ y = x y + 3 x + 3 y + 9 - 3 (2 p) .$ Primii patru termeni se grupează doi câte doi: $x y + 3 x = x (y + 3)$ și $3 y + 9 = 3 (y + 3)$ . Ambele grupuri conțin factorul $y + 3$ , pe care îl scoatem în față: $x (y + 3) + 3 (y + 3) - 3 = (x + 3) (y + 3) - 3.$ Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — o egalitate cu $- 3$ în stânga.

În forma de la cerința II.2 punem $- 3$ în locul lui $x$ : $(- 3) \circ x = ((- 3) + 3) (x + 3) - 3 (3 p) .$ Primul factor este $(- 3) + 3 = 0$ , deci produsul se anulează indiferent de $x$ și rămâne $0 - 3 = - 3$ pentru fiecare număr real $x$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — verificarea elementului neutru $- 2$ .

Numărul $- 2$ este element neutru dacă $x \circ (- 2) = x$ și $(- 2) \circ x = x$ , pentru fiecare număr real $x$ ; cele două egalități se verifică pe rând. Din dreapta, cu forma de la cerința II.2: $x \circ (- 2) = (x + 3) ((- 2) + 3) - 3 = x + 3 - 3 = x (2 p) .$ Din stânga: $(- 2) \circ x = ((- 2) + 3) (x + 3) - 3 = x + 3 - 3 = x$ . Ambele egalități sunt adevărate pentru orice număr real $x$ , așadar $e = - 2$ este element neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — compunerea a 2014 numere.

Pentru orice număr real $x$ , cu forma de la cerința II.2, factorul $(- 3) + 3$ este nul: $x \circ (- 3) = (x + 3) ((- 3) + 3) - 3 = - 3 (2 p) .$ Numerele de la $- 2016$ la $- 3$ sunt $2016 - 3 + 1 = 2014$ , iar ultimul este $- 3$ . Enunțul declară legea asociativă, deci grupările nu contează: fie $s = (- 2016) \circ (- 2015) \circ \dots \circ (- 4)$ , compunerea primelor $2013$ numere. Cum $s$ este real, $s \circ (- 3) = - 3$ : $(- 2016) \circ (- 2015) \circ \dots \circ (- 3) = ((- 2016) \circ \dots \circ (- 4)) \circ (- 3) = - 3 (3 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație cu trei operanzi egali.

În $x \circ x$ ambii factori ai formulei sunt $x + 3$ , deci $x \circ x = (x + 3)^{2} - 3$ . La compunerea cu al treilea operand, primul factor al formulei este $x \circ x$ plus $3$ , adică pătratul lui $x + 3$ , iar al doilea este $x + 3$ ; produsul lor este cubul lui $x + 3$ : $x \circ x = (x + 3)^{2} - 3, x \circ x \circ x = (x + 3)^{3} - 3 (2 p) .$ Ecuația devine $(x + 3)^{3} - 3 = 5$ , adică cubul lui $x + 3$ este $8$ . Funcția $t \mapsto t^{3}$ crește strict, deci $t^{3} = 8$ are o singură soluție reală, $t = 2$ ; atunci $x + 3 = 2$ și $x = - 1$ . Verificare: $(- 1) \circ (- 1) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ , iar $1 \circ (- 1) = 4 \cdot 2 - 3 = 5$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul matricei $A$ .

Determinantul unei matrice de ordin $2$ se obține scăzând din produsul elementelor diagonalei principale produsul elementelor diagonalei secundare: $det A = 5221 = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 2 (3 p) .$ Produsele sunt $5$ și $4$ , iar $5 - 4 = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — relația $A^{2} - 6 A = - I_{2}$ .

Produsul $A \cdot A$ se face linie cu coloană: elementele lui sunt $5 \cdot 5 + 2 \cdot 2 = 29$ , $5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 12$ , $2 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 12$ și $2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5$ : $A^{2} = A \cdot A = (2912125) (2 p) .$ Scalarul $6$ înmulțește fiecare element al lui $A$ , iar scăderea matricelor se face pe poziții: $A^{2} - 6 A = (2912125) - (3012126) = (- 1 0 0 - 1) = - I_{2} (3 p) .$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu determinantul lui $x A$ .

Scalarul $x$ înmulțește fiecare element al lui $A$ , iar determinantul se calculează apoi pe matricea obținută: $x A = (5 x 2 x 2 x x) \Rightarrow det (x A) = 5 x 2 x 2 x x = 5 x \cdot x - 2 x \cdot 2 x = x^{2} (3 p) .$ Ecuația $det (x A) = 4$ devine $x^{2} = 4$ , deci $x = - 2$ sau $x = 2$ , ambele reale. Verificare: $det (2 A) = 4 \cdot 1 = 4$ și $det (- 2 A) = 4 \cdot 1 = 4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o inegalitate pentru orice $a$ real.

Din cerința III.2, $A^{2} - 6 A = - I_{2}$ , deci $A^{2} - 6 A + a I_{2} = - I_{2} + a I_{2} = (a - 1) I_{2}$ . Matricea $(a - 1) I_{2}$ are $a - 1$ pe ambele locuri ale diagonalei principale și $0$ în rest: $A^{2} - 6 A + a I_{2} = (a - 1 0 0 a - 1) \Rightarrow det (A^{2} - 6 A + a I_{2}) = a - 1 0 0 a - 1 (3 p) .$ Determinantul este $(a - 1) (a - 1) - 0 \cdot 0 = (a - 1)^{2}$ . Un număr real ridicat la pătrat nu poate fi negativ, deci $det (A^{2} - 6 A + a I_{2}) = (a - 1)^{2} \geq 0$ , oricare ar fi $a$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversa matricei $B = A + I_{2}$ .

Adunarea se face pe poziții: $B = (5 + 1 2 + 0 2 + 0 1 + 1) = (6222)$ . Determinantul este $det B = 6 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 8$ , diferit de $0$ , deci $B$ este inversabilă (2 p).

Pentru o matrice $(p r q s)$ cu determinantul $d \neq = 0$ , inversa este $\frac{1}{d} (s - r - q p)$ . Aici $d = 8$ : $B^{- 1} = \frac{1}{8} (2 - 2 - 2 6) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{3}{4} .$ Verificare în ambele ordini: elementele lui $B \cdot B^{- 1}$ sunt $6 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot (- \frac{1}{4}) = 1$ , $6 \cdot (- \frac{1}{4}) + 2 \cdot \frac{3}{4} = 0$ , $2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$ și $2 \cdot (- \frac{1}{4}) + 2 \cdot \frac{3}{4} = 1$ , iar cele ale lui $B^{- 1} \cdot B$ sunt $\frac{1}{4} \cdot 6 + (- \frac{1}{4}) \cdot 2 = 1$ , $\frac{1}{4} \cdot 2 + (- \frac{1}{4}) \cdot 2 = 0$ , $(- \frac{1}{4}) \cdot 6 + \frac{3}{4} \cdot 2 = 0$ și $(- \frac{1}{4}) \cdot 2 + \frac{3}{4} \cdot 2 = 1$ ; ambele produse sunt $I_{2}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice cu elemente întregi și determinantul $8$ .

Se calculează determinantul lui $X$ și se scrie diferența de pătrate ca produs: $det X = a b b a = a^{2} - b^{2}, deci det X = 8 ⟺ a^{2} - b^{2} = 8 ⟺ (a - b) (a + b) = 8 (2 p) .$ Numerele $a$ și $b$ sunt întregi, deci $a - b$ și $a + b$ sunt întregi cu produsul $8$ . Suma lor este $2 a$ , număr par, deci cei doi factori au aceeași paritate, iar produsul fiind par, ambii sunt pari. Perechile ordonate de factori ai lui $8$ sunt $(1, 8)$ , $(2, 4)$ , $(4, 2)$ , $(8, 1)$ și cele cu semne schimbate; $(1, 8)$ și $(8, 1)$ cu variantele lor negative nu convin, fiindcă suma $1 + 8 = 9$ este impară. Rămân $(2, 4)$ , $(4, 2)$ , $(- 2, - 4)$ și $(- 4, - 2)$ . Din $a = \frac{( a - b ) + ( a + b )}{2}$ și $b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}$ obținem: $a - b = 2$ și $a + b = 4$ dau $a = 3$ , $b = 1$ ; $a - b = 4$ și $a + b = 2$ dau $a = 3$ , $b = - 1$ ; $a - b = - 2$ și $a + b = - 4$ dau $a = - 3$ , $b = - 1$ ; $a - b = - 4$ și $a + b = - 2$ dau $a = - 3$ , $b = 1$ . Matricele sunt $(3113), (3 - 1 - 1 3),$ $(- 3 - 1 - 1 - 3) ș i (- 3 1 1 - 3) (3 p) .$

Pentru părinți și profesori

La proba E. c de matematică M_pedagogic, modelul din 2016 are cerințele rezolvate mai jos, cu etapele luate din barem. Subiectele sunt trei, obligatorii, cu câte șase cerințe de 5 puncte, iar timpul de lucru este de trei ore; cerințele însumează 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Foaia se adresează specializării învățător-educatoare (filiera vocațională, profilul pedagogic). Textul fiecărei cerințe este cel al foii oficiale; soluțiile și ghidajul interactiv sunt lucrarea Matepolis.

Ce cuprinde modelul. Subiectul I are șase probleme fără legătură între ele: suma a trei fracții cu numitorii $10$ , $100$ și $1000$ , inecuația $f (x) \geq g (x)$ pentru două funcții de gradul I, o ecuație exponențială cu puteri ale lui $2$ , în care un exponent este pătratic, procentul din care se află un profit, aria unui triunghi cu vârfurile date în reper și o expresie cu valori trigonometrice. Subiectul al II-lea pornește de la legea asociativă $x \circ y = x y + 3 x + 3 y + 6$ și cere o valoare, forma cu factori, o egalitate cu $- 3$ în stânga, verificarea elementului neutru $- 2$ , o compunere de 2014 numere și o ecuație cu trei operanzi egali. Subiectul al III-lea folosește matricea $A = (5221)$ și cere determinantul ei, o relație pentru $A^{2}$ , o ecuație cu determinantul lui $x A$ , o inegalitate a unui determinant pentru orice $a$ real, inversa lui $A + I_{2}$ și matricele $(a b b a)$ cu elemente întregi și determinantul $8$ .

Programa și lecțiile. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, în vigoare din Bacalaureatul 2015, s-a aplicat și modelului din 2016. Clasa a IX-a cuprinde operațiile cu numere zecimale și fracții, inecuațiile de gradul I și trigonometria triunghiului dreptunghic; clasa a X-a, ecuațiile exponențiale, procentele cu profitul și aria unui triunghi din reper; clasa a XI-a, legile de compoziție; clasa a XII-a, matricele, determinantul și inversa. Pentru itemul 4 se poate relua lecția Profit și preț de cost pentru tehnologic, iar pentru cerința III.5 lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli care se plătesc, cu dovada lor.

Exercițiul 1: împărțirea la $100$ mută virgula două poziții, nu una, deci $\frac{1}{100} = 0, 01$ . Cu $0, 1$ în locul lui $0, 01$ suma ar fi $0, 201$ , nu $0, 111$ .
Exercițiul 2: $x$ trece în stânga și $- 1$ în dreapta, fiecare cu semnul schimbat, deci inegalitatea dă $x \geq 2$ . Numărul $1$ nu convine, fiindcă $f (1) = 1$ este mai mic decât $g (1) = 2$ .
Exercițiul 3: exponenții se egalează, iar termenul liber $- 3$ nu se omite. Fără el soluțiile ar fi $0$ și $4$ , dar pentru $x = 4$ avem $2^{16} \neq = 2^{13}$ .
Exercițiul 4: cele $5000$ de lei sunt $5%$ din profit, nu profitul este $5%$ din ele. Calculul $5000 \cdot \frac{5}{100} = 250$ ar da un profit mai mic decât suma cheltuită pe publicitate, ceea ce nu se poate.
Exercițiul 5: înălțimea din $A$ pe dreapta $B C$ este $3$ , nu abscisa $4$ a lui $A$ . Cu înălțimea $4$ aria ar fi $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ , nu $12$ .
Exercițiul 6: $sin^{2} 3 0^{\circ}$ înseamnă $(sin 3 0^{\circ})^{2} = \frac{1}{4}$ , nu $\frac{1}{2}$ . Cu $\frac{1}{2}$ în locul lui $\frac{1}{4}$ expresia ar fi $2$ , nu $1$ .
Cerința II.2: factorii sunt $x + 3$ și $y + 3$ . Cu $x - 3$ și $y - 3$ desfacerea ar da termenii $- 3 x$ și $- 3 y$ , cu semnele schimbate față de $3 x$ și $3 y$ din lege.
Cerința II.3: primul factor $(- 3) + 3$ este $0$ , deci tot produsul este $0$ și rămâne doar $- 3$ . Dacă s-ar omite $- 3$ de la sfârșit, ar ieși $0$ .
Cerința II.4: o singură parte nu ajunge. Legea $x ⋄ y = x + y^{2}$ are $x ⋄ 0 = x$ pentru orice $x$ , dar $0 ⋄ 2 = 4$ , nu $2$ , deci $0$ nu este neutru.
Cerința II.5: numărul $- 3$ nu este neutru, ci absorbant: $x \circ (- 3) = - 3$ , nu $x$ . De exemplu $5 \circ (- 3) = - 3$ , nu $5$ .
Cerința II.6: ecuația în care cubul lui $x + 3$ este egal cu $8$ are o singură soluție reală, pentru că exponentul este $3$ . Dacă s-ar lua și valoarea negativă $- 2$ pentru $x + 3$ , ca la un pătrat, ar ieși $x = - 5$ , dar $(- 5) \circ (- 5) \circ (- 5) = - 11$ , nu $5$ .
Cerința III.2: $A^{2}$ înseamnă $A \cdot A$ , nu pătratele elementelor lui $A$ . Cu elementele la pătrat s-ar obține $(25441)$ , nu $(2912125)$ .
Cerința III.3: scalarul $x$ înmulțește toate cele patru elemente, deci determinantul, făcut din produse de câte două elemente, se înmulțește cu $x^{2}$ , nu cu $x$ . Cu $x \cdot det A = 4$ ar ieși $x = 4$ , dar determinantul matricei $4 A$ este $16$ .
Cerința III.4: determinantul unei sume nu este suma determinanților. Pentru $a = 0$ , suma determinanților termenilor, $det (A^{2}) + det (- 6 A) + det (0 \cdot I_{2}) = 1 + 36 + 0 = 37$ , diferă de determinantul matricei $A^{2} - 6 A = - I_{2}$ , care este $1$ .
Cerința III.5: inversa nu se obține inversând fiecare element. Pentru $\frac{1}{6} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}$ , produsul cu $B$ are în stânga sus $6 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ , nu $1$ .
Cerința III.6: factorii $a - b$ și $a + b$ pot sta în ambele ordini și pot fi negativi, deci sunt patru matrice, nu două. Descompunerea $1 \cdot 8$ nu convine, fiindcă ar da $a = \frac{9}{2}$ .

Ce notează fiecare literă. În itemul 2, $f$ și $g$ sunt numele celor două funcții, iar $x$ este variabila lor comună. În itemul 3, $x$ este necunoscuta din exponent. În itemul 4, enunțul nu dă nume profitului; rezolvarea îl notează cu $x$ , ca baremul. În itemul 5, $A$ , $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului, $x O y$ este reperul, iar litera $h$ din rezolvare ne aparține. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare la cerința II.2, iar $x$ la cerința II.3; numărul $e = - 2$ este dat și doar se verifică la cerința II.4, litera $s$ din rezolvarea cerinței II.5 ne aparține, iar $x$ devine necunoscută la cerința II.6. În Subiectul III, $A$ este matricea fixă din cadru, iar $B$ din cerința III.5 este suma $A + I_{2}$ ; $x$ este necunoscuta de la cerința III.3, $a$ este un număr real oarecare la cerința III.4, iar la cerința III.6 literele $a$ și $b$ sunt elementele întregi ale lui $X$ , nu parametrul din cerința III.4.