Subiect Bac matematică pedagogic, model 2017 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2017 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^2+3\right):\frac{28}{9}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Arătați că $f(1)-f(-1)=4$ pentru orice număr real $m$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x^2+3}=2^{4x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $1200$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte $5\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,6)$ și $B(2,3)$. Determinați distanța de la punctul $O$ la punctul $C$, unde $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$, știind că $m\left(\sphericalangle B\right)=45^{\circ }$ și $AB=AC=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-2017$.

1. (5 puncte) Arătați că $2000\ast 17=0$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Demonstrați că $a\ast (a+2017)=(a+1009)\ast (a+1008)$, pentru orice număr real $a$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $4^x\ast 2^x=-2011$.

5. (5 puncte) Determinați cel mai mare număr natural $n$, pentru care $n\ast n\le n$.

6. (5 puncte) Arătați că numărul $\frac{2}{3-\sqrt{5}}\ast \frac{2}{3+\sqrt{5}}$ este întreg.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Calculați $\det A$.

2. (5 puncte) Demonstrați că inversa matricei $A$ este matricea $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$.

3. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A-3A=2I_2$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $\det \left(A-x{I}_2\right)=2$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $A\cdot A\cdot A=aA+6I_2$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $p$ și $q$, pentru care $A\cdot X=X\cdot A$, unde $X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ p& q\end{array}\right)$.

Barem și răspunsuri

Soluțiile urmează rândurile foii oficiale, iar numărul îngroșat din paranteză spune câte puncte din cele 5 revin rândului. Cele 18 cerințe dau 90 de puncte, la care oficiul adaugă 10.

Exercițiul 1. (5 p) — o expresie cu o fracție la pătrat.

Pătratul unei fracții ridică la pătrat și numărătorul, și numitorul: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$. Cu $3=\frac{27}{9}$, suma din paranteză este $${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+3=\frac{1}{9}+3=\frac{28}{9}\text{(3 p)}.$$ Un număr nenul împărțit la el însuși dă $1$: $\frac{28}{9}:\frac{28}{9}=1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — o diferență de valori care nu depinde de parametru.

Valoarea funcției în $1$ se obține punând $1$ în loc de $x$: $$f(1)=2\cdot 1+m=2+m\text{(2 p)}.$$ În $-1$ avem $f(-1)=2\cdot (-1)+m=-2+m$. La scădere, tot $f(-1)$ se scade, deci se pune în paranteză: $$f(-1)=-2+m\Rightarrow f(1)-f(-1)=2+m-(-2+m)=4,$$ oricare ar fi numărul real $m$: $2+m+2-m=4$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu aceeași bază.

Două puteri ale lui $2$ sunt egale doar dacă exponenții sunt egali (puterile lui $2$ cu exponenți diferiți sunt diferite). Egalitatea exponenților, $x^2+3=4x$, înseamnă $$x^2-4x+3=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $16-12=4$, iar $x=\frac{4\pm 2}{2}$ dă $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=3$. Pentru $x=1$, exponenții sunt $1+3=4$ și $4\cdot 1=4$; pentru $x=3$, sunt $9+3=12$ și $4\cdot 3=12$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două scumpiri succesive.

O scumpire cu $5\%$ adaugă a douăzecea parte din preț. Prima scumpire, calculată din $1200$ de lei: $$1200+\frac{5}{100}\cdot 1200=1200+60=1260\text{ de lei}\text{(3 p)}.$$ A doua scumpire se face din prețul nou: $\frac{5}{100}\cdot 1260=63$, deci prețul final este $1260+63=1323$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — simetricul unui punct și o distanță.

Punctul $C$ este simetricul lui $A$ față de $B$, deci $B$ este mijlocul segmentului $AC$. Abscisa lui $B$ este media absciselor lui $A$ și $C$, iar ordonata la fel: $2=\frac{2+x_C}{2}$ dă $x_C=2$, iar $3=\frac{6+y_C}{2}$ dă $y_C=0$. Așadar $$C(2,0)\text{(3 p)}.$$ Originea este $O(0,0)$, iar distanța $OC$ este $\sqrt{(2-0{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{4}$, adică $OC=2$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi isoscel cu un unghi de $45^{\circ }$.

Triunghiul are $AB=AC$, deci unghiurile de la baza $BC$ sunt egale: $m\left(\sphericalangle C\right)=m\left(\sphericalangle B\right)=45^{\circ }$. Suma unghiurilor este $180^{\circ }$, deci $m\left(\sphericalangle A\right)=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$. Triunghiul este dreptunghic în $A$, iar catetele sunt $AB$ și $AC$; aria este jumătate din produsul lor: $${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}\text{(3 p)}.$$ Rămâne $\frac{16}{2}=8$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea ei într-o pereche.

Legea adună operanzii și scade $2017$. Cu $x=2000$ și $y=17$: $$2000\ast 17=2000+17-2017\text{(3 p)}.$$ Suma $2000+17$ este $2017$, iar $2017-2017=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: asociativitatea.

Calculăm cele două grupări separat. În prima, înlocuim întâi $x\ast y$, apoi compunem cu $z$: $$(x\ast y)\ast z=(x+y-2017)\ast z=x+y-2017+z-2017=x+y+z-4034\text{(2 p)}.$$ În a doua grupare, mai întâi se compun $y$ și $z$: $$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-2017)=x+y+z-2017-2017=x+y+z-4034=(x\ast y)\ast z,$$ oricare ar fi $x$, $y$, $z$ reale. Rezultatele coincid, deci legea este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: o egalitate pentru orice $a$.

Evaluăm partea stângă, cu $y=a+2017$: $$a\ast (a+2017)=a+(a+2017)-2017=2a\text{(2 p)}.$$ Partea dreaptă, cu operanzii $a+1009$ și $a+1008$: $$(a+1009)\ast (a+1008)=(a+1009)+(a+1008)-2017=2a=a\ast (a+2017),$$ pentru orice număr real $a$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu $4^x$ și $2^x$.

Din definiție, $4^x\ast 2^x=4^x+2^x-2017$, iar egalitatea cu $-2011$ dă $4^x+2^x-2017=-2011$, adică $4^x+2^x-6=0$. Cum $4^x$ este pătratul lui $2^x$, expresia are în $2^x$ aspectul unui trinom cu termenii liberi $3$ și $-2$ (produsul lor este $-6$, suma $1$), deci se scrie ca produs: $$4^x+2^x-6=0⟺\left(2^x+3\right)\left(2^x-2\right)=0\text{(3 p)}.$$ Primul factor este pozitiv, pentru că $2^x>0$, deci rămâne $2^x-2=0$, adică $2^x=2$ și $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: cel mai mare număr natural cu o proprietate.

Din definiție, $n\ast n=n+n-2017$. Inecuația $n\ast n\le n$ devine $n+n-2017\le n$; scăzând $n$ din ambii membri se obține $$n\ast n\le n⟺n+n-2017\le n⟺n\le 2017\text{(3 p)}.$$ Numerele naturale $n$ cu $n\le 2017$ au maximul $2017$, care intră în mulțime fiindcă inegalitatea este nestrictă. Cel mai mare număr natural cu proprietatea cerută este $2017$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: un rezultat întreg cu radicali.

Legea adună cei doi operanzi și scade $2017$: $$\frac{2}{3-\sqrt{5}}\ast \frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{2}{3-\sqrt{5}}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}-2017\text{(2 p)}.$$ Numitorul comun este $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$. La numărător, termenii cu $\sqrt{5}$ se reduc: $2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5})=12$. Rezultă $$\dots =\frac{2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5})}{4}-2017=3-2017=-2014,$$ care este număr întreg (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Determinantul este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det A=1\cdot 2-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Primul produs este $2$, al doilea este $4$, deci $\det A=2-4=-2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o inversă verificată în ambele ordini.

Notăm cu $B$ matricea din enunț, $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$. Ea este inversa lui $A$ dacă $A\cdot B=B\cdot A=I_2$. Produsul $A\cdot B$ se face linie cu coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot (-1)+2\cdot 1& 1\cdot 1+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\\ 2\cdot (-1)+2\cdot 1& 2\cdot 1+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$ Și în ordinea inversă: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}(-1)\cdot 1+1\cdot 2& (-1)\cdot 2+1\cdot 2\\ 1\cdot 1+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2& 1\cdot 2+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$ Ambele produse sunt $I_2$, deci $B$ este inversa matricei $A$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: o identitate cu $A\cdot A$.

Produsul $A\cdot A$ se face linie cu coloană, iar $3A$ înmulțește fiecare element cu $3$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 6& 8\end{array}\right),3A=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 6& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementele lui $A\cdot A$ sunt $1\cdot 1+2\cdot 2=5$, $1\cdot 2+2\cdot 2=6$, $2\cdot 1+2\cdot 2=6$ și $2\cdot 2+2\cdot 2=8$. Diferența se face pe poziții: $$A\cdot A-3A=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 6& 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 6& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu un determinant.

Matricea $x{I}_2$ are $x$ pe diagonală, deci scăderea pe poziții dă $A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1-x& 2\\ 2& 2-x\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $(1-x)(2-x)-2\cdot 2=x^2-3x+2-4$: $$A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1-x& 2\\ 2& 2-x\end{array}\right)\Rightarrow \det \left(A-x{I}_2\right)=x^2-3x-2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $2$ dă $x^2-3x-2=2$, adică $x^2-3x-4=0$, cu discriminantul $9+16=25$ și rădăcinile $\frac{3\pm 5}{2}$: $$x^2-3x-2=2⟺x^2-3x-4=0⟺\mathbf{x}=-1\text{ sau }\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: puterea a treia a lui $A$.

Din cerința III.3, $A\cdot A-3A=2I_2$, adică $A\cdot A=3A+2I_2$. Scriem $A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A$ și înlocuim primul factor; $I_2$ lasă matricea neschimbată, iar $A\cdot A$ se înlocuiește din nou: $$(A\cdot A)\cdot A=(3A+2I_2)\cdot A=3A\cdot A+2A=3\left(3A+2I_2\right)+2A=11A+6I_2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $11A+6I_2=aA+6I_2$ dă $(11-a)A=O_2$, iar $A$ nu este matricea nulă, deci $11-a=0$ și $\mathbf{a}=11$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o matrice $X$ care comută cu $A$.

Calculăm produsele, element cu element: $$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2+2p& 1+2q\\ 4+2p& 2+2q\end{array}\right),X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ p+2q& 2p+2q\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cere ca elementele de pe aceleași poziții să fie egale; punem cele două produse unul lângă altul: $$\left(\begin{array}{cc}2+2p& 1+2q\\ 4+2p& 2+2q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ p+2q& 2p+2q\end{array}\right).$$ În stânga sus, $2$ plus dublul lui $p$ trebuie să fie $4$, deci $p=1$; în dreapta sus, $1$ plus dublul lui $q$ trebuie să fie $6$, deci $q=\frac{5}{2}$. Celelalte două poziții se verifică: $4+2=1+5$ și $2+5=2+5$. Așadar $\mathbf{p}=1$ și $\mathbf{q}=\frac{5}{2}$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Modelul de subiect pentru Bacalaureatul din 2017 la proba E. c) de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare) nu poartă număr de variantă: foaia scrie doar „Model”. Lucrarea are trei subiecte de câte șase cerințe a câte 5 puncte, adică 90 de puncte, iar timpul de lucru este de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele oficiale; soluțiile, capcanele și ghidajul aparțin Matepolis, iar etapele punctate urmează rândurile foii de evaluare.

Ce conține modelul. Subiectul I are șase teme: o expresie cu o fracție ridicată la pătrat, o diferență de valori ale unei funcții care nu depinde de parametru, o ecuație exponențială cu aceeași bază, două scumpiri succesive, distanța de la origine la un simetric în reper și aria unui triunghi cu un unghi de $45^{\circ }$. În Subiectul al II-lea, legea $x\ast y=x+y-2017$ apare într-o valoare, în asociativitate, într-o egalitate valabilă pentru orice $a$, într-o ecuație cu $4^x$ și $2^x$, într-o inecuație cu cel mai mare număr natural și într-un rezultat cu radicali. Subiectul al III-lea pornește de la matricea $A$: doi determinanți (cerințele III.1 și III.4), inversa dată, identitatea $A\cdot A-3A=2I_2$, puterea a treia a lui $A$ și o matrice $X$ care comută cu $A$.

Programa, pe clase. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată de la Bacalaureatul din 2015, așază în clasa a IX-a funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic. Clasa a X-a cuprinde ecuațiile exponențiale, procentele, radicalii și distanța dintre două puncte din plan, clasa a XI-a legile de compoziție, iar clasa a XII-a determinanții, inversa unei matrice și operațiile cu matrice. La itemul 4 poate ajuta lecția Procente și TVA la tehnologic: factura, iar la determinanții de la cerințele III.1 și III.4, lecția Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Capcane, cu cifre.

• Exercițiul 1: numitorul $3$ se ridică și el la pătrat, ajungând $9$; dacă s-ar dubla în loc să se ridice la pătrat, ar ieși $6$, iar rezultatul ar fi greșit.
• Exercițiul 2: paranteza din $2+m-(-2+m)$ contează; fără ea ar ieși $2+m-2+m=2m$, iar pentru $m=5$ asta ar da $10$, nu $4$.
• Exercițiul 3: ecuația $x^2-4x+3=0$ are soluțiile $1$ și $3$, nu $-1$ și $-3$, fiindcă suma lor este $+4$.
• Exercițiul 4: două scumpiri cu câte $5\%$ nu înseamnă una de $10\%$: din $1200$ de lei, $10\%$ ar da $1320$, iar prețul adevărat este $1323$, fiindcă a doua scumpire se face din $1260$.
• Exercițiul 5: mijlocul lui $AB$ este $\left(2,\frac{9}{2}\right)$, nu punctul $C$; $C$ este simetricul lui $A$ față de $B$, deci $B$ este mijlocul lui $AC$, iar $C(2,0)$.
• Exercițiul 6: aria triunghiului dreptunghic este $\frac{4\cdot 4}{2}=8$, nu $4\cdot 4=16$; produsul catetelor se împarte la $2$.
• Cerința II.1: legea scade numărul $2017$ o singură dată; $2000+17=2017$ nu este rezultatul, ci abia $2017-2017=0$.
• Cerința II.3: ambele părți dau $2a$, nu $2a+2017$, pentru că $2017$ se scade o singură dată: $a+(a+2017)-2017=2a$.
• Cerința II.4: primul factor al produsului este pozitiv, deoarece $2^x>0$, deci egalitatea cu $0$ revine la al doilea factor; singura valoare este $x=1$.
• Cerința II.5: inegalitatea $n\le 2017$ este nestrictă, deci $2017$ intră, iar $2017\ast 2017=2017$; cel mai mare număr natural este $2017$, nu $2016$.
• Cerința II.6: numitorul comun este $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$, nu $3-5$; numărătorul $2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5})$ este $12$.
• Cerința III.1: $\det A=1\cdot 2-2\cdot 2=-2$; dacă produsele s-ar aduna, $2+4=6$ nu ar fi determinantul.
• Cerința III.2: inversa conține factorul $\frac{1}{\det A}=-\frac{1}{2}$; matricea $\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$, fără acest factor, nu este inversa lui $A$, fiindcă produsul ei cu $A$ este $-2I_2$.
• Cerința III.3: produsul $A\cdot A$ nu este $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$, adică elementele la pătrat; el este $\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 6& 8\end{array}\right)$.
• Cerința III.5: $A\cdot A\cdot A=3(3A+2I_2)+2A$ dă coeficientul $9+2=11$, nu $9$; deci $a=11$.
• Cerința III.6: din stânga sus, $2$ plus dublul lui $p$ trebuie să fie $4$, deci $p=1$, nu $p=2$; cu $p=1$ și $q=\frac{5}{2}$ toate cele patru egalități sunt adevărate.

Despre litere. În Subiectul I, $m$ din itemul 2 este un parametru real oarecare, care dispare din rezultat; $x$ este necunoscuta de la itemul 3, iar $A$, $B$, $C$ și $O$ sunt puncte la itemul 5, în timp ce $A$, $B$, $C$ sunt vârfurile triunghiului de la itemul 6. În Subiectul al II-lea, $x$, $y$, $z$ sunt variabilele legii, $a$ este un număr real oarecare la cerința II.3, $x$ este necunoscuta de la cerința II.4, iar $n$ este numărul natural căutat la cerința II.5. În Subiectul al III-lea, $A$ nu mai este un punct, ci matricea dată; $B$ este numele pe care rezolvarea îl dă matricei din enunțul cerinței III.2, $x$ de la cerința III.4 și $a$ de la cerința III.5 sunt numere reale căutate, iar la cerința III.6, $p$ și $q$ sunt elemente necunoscute ale matricei $X$.