Aplicații ale integralei — clasa a XII-a

Aici integrala încetează să fie un exercițiu de calcul și devine unealtă de măsurat: arii de suprafețe mărginite de grafice, volume de corpuri obținute prin rotație, centre de greutate și mărimi din fizică. Unitatea are 14 lecții de clasa a XII-a, patru teste cu barem, treisprezece fișe de formulă și o pagină cu exerciții-grilă.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Capitolul are o particularitate care îl face ușor de verificat și ușor de greșit deodată: rezultatul are întotdeauna un înțeles geometric sau fizic, deci se poate compara cu o estimare desenată. Cine nu desenează pierde exact avantajul acesta.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

Competențele pe care programa specializării matematică-informatică le numerotează aici — XII.CS.1.3, XII.CS.1.6, XII.CS.2.6, XII.CS.3.6, XII.CS.4.6, XII.CS.5.6, XII.CS.6.3 și XII.CS.6.6, în textul elaborat pentru planurile-cadru OMEC nr. 4350/2025 — cer, în miez, un singur lucru în două etape: exprimă mărimea geometrică sau fizică printr-o integrală, apoi interpretează numărul obținut. Două dintre ele adaugă condițiile de lucru: recunoașterea conicei care mărginește regiunea și criteriul după care stabilești că funcția e integrabilă. Pe subiect, formele sunt scurte:

Ce ți se cere	Cum sună cerința pe subiect
Să calculezi aria subgraficului	„Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției, axa $O x$ și dreptele $x = 1$ , $x = 2$ ."
Să calculezi aria dintre două grafice	„Determinați aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$ ."
Să tratezi schimbarea de semn	„Calculați aria suprafeței, știind că funcția își schimbă semnul pe interval."
Să calculezi un volum de rotație	„Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului în jurul axei $O x$ ."
Să deduci o formulă cunoscută	„Deduceți, folosind integrala, formula volumului conului."
Să modelezi o mărime fizică	„Determinați lucrul mecanic al forței variabile pe intervalul dat."

Cerințele date efectiv, cu enunțul oficial și rezolvarea fiecăreia, sunt adunate pe pagina temei „aria subgraficului": 24 de cerințe, între 2011 și 2026. Cât cântărește grupa din care face parte capitolul se citește pe pagina ce intră la Bacalaureatul M1. Probele complete stau în arhiva oficială, ultima transcrisă fiind sesiunea 2026.

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 14 lecții se împart pe două mărimi măsurate — aria și volumul —, plus un bloc final de modelări din fizică, estimare numerică și sinteză. Ordinea urcă de la o singură funcție la regiuni mărginite de mai multe curbe.

Aria. Aria subgraficului unei funcții continue fixează formula de bază și condiția de pozitivitate, iar aria dintre graficele a două funcții o generalizează la regiuni prinse între două curbe. Cazul în care se pierd frecvent puncte e tratat separat, la ariile cu schimbare de semn. Urmează regiunile mărginite de curbe cunoscute: aria discului și aria interiorului unei elipse, ariile delimitate de parabole, hiperbole și drepte și ariile delimitate de două conice.

Volumul. Volumul corpului de rotație introduce formula, iar volumele corpurilor rotunde deduse cu integrala arată de unde vin formulele memorate în gimnaziu: cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera ies toate din același calcul. Aplicațiile pe situații concrete stau la volume de rotație în probleme.

Fizica și estimarea. Centrul de greutate al unei plăci plane omogene este singura lecție în care integrala dă o pereche de coordonate, nu un număr. Urmează două modelări, lucrul mecanic al unei forțe variabile și debitul, volumul de lichid și energia consumată, apoi estimarea numerică a integralelor, care te învață să verifici un rezultat exact cu o aproximare. Recapitularea capitolului este sinteza aplicațiilor în format de examen.

Formule

Familia aplicații ale integralei definite are treisprezece pagini, fiecare cu legenda simbolurilor și cu un exemplu numeric. Se deschid pe grupe, în ordinea lecțiilor:

aria subgraficului, aria dintre două grafice și aria când funcția schimbă semnul — primele două se folosesc la fiecare exercițiu de arie, a treia doar când graficul taie axa;
aria discului și a elipsei — o cauți la lecția a patra, dar rămâne utilă la cerințele cu regiuni mărginite de conice;
volumul corpului de rotație, volumele corpurilor rotunde, elipsoidul și paraboloidul de rotație și corpul cu gaură — ultima intră în lucru abia când regiunea rotită nu atinge axa;
centrul de greutate al plăcii de sub un grafic și centrul de greutate al plăcii dintre două grafice — se folosesc pereche, fiindcă a doua o conține pe prima;
lucrul mecanic al unei forțe variabile, debit, volum și energie și estimarea numerică prin metoda trapezelor — grupul de modelare; ultima nu calculează nimic exact, dar spune dacă rezultatul exact e plauzibil.

Definițiile scurte sunt în glosar: subgraficul unei funcții, aria subgraficului, aria dintre două grafice, corp de rotație și volumul corpului de rotație.

Exerciții rezolvate

Cele 12 exerciții rezolvate ale capitolului sunt grile cu patru variante, fiecare cu rezolvare explicată și cu trimitere la lecția de proveniență. Acoperă aria subgraficului, aria dintre curbe, cazul schimbării de semn și volumele de rotație. Centrul de greutate și modelările din fizică cer calcule prea lungi pentru o grilă și se lucrează pe testul de centru de greutate și modelări.

Exerciții cu verificare

Testul ghidat de arii delimitate de grafice îți dă indiciul următor exact în punctul în care te-ai blocat, fără să-ți arate rezolvarea întreagă. La capitolul acesta ghidajul intervine în două locuri: la stabilirea capetelor de integrare, care se află rezolvând o ecuație, și la ordinea celor două funcții în diferență — inversarea lor dă o arie negativă, ceea ce baremul nu acceptă.

Teste cu barem

Capitolul are patru teste. Baremul fiecăruia pornește de la oficiu și adaugă 90 de puncte pe cerințe; rezolvările sunt scrise sub cerințe, în aceeași pagină.

Test: arii delimitate de grafice: 11 cerințe, 50 de minute de lucru; partea a treia adaugă integrarea după $y$ .
Test: arii delimitate de conice: 11 cerințe în 50 de minute, de la aria discului până la regiuni mărginite de două conice.
Test: volume de rotație: 11 cerințe în 50 de minute, cu o parte finală pe modelarea unui obiect real.
Test: centrul de greutate și modelări din fizică: aceleași 11 cerințe și 50 de minute, pe plăci plane, lucru mecanic, debit și energie.

Metoda de verificare a capitolului

Încadrarea prin desen se învață la aria subgraficului, prima lecție, și se reia la sinteză, ultima — între ele, capitolul o cere la fiecare dintre celelalte douăsprezece. Ce ține de capitol, și nu de o lecție anume, e ordinea: schița se face înaintea integralei, nu după, fiindcă ea decide capetele și ordinea funcțiilor în diferență, adică exact datele pe care integrala nu le poate corecta singură. Situațiile în care schița decide sunt acestea:

Aria ieșită negativă. Desenul arată imediat care funcție e deasupra; diferența se scrie în ordinea aceea, nu invers.
Capetele greșite. Punctele de intersecție se citesc de pe schiță și se confirmă rezolvând ecuația; dacă schița arată două intersecții și ecuația dă una, ecuația e greșit rezolvată.
Schimbarea de semn nesesizată. Când graficul taie axa în interiorul intervalului, aria e suma a două bucăți; schița o arată, formula singură nu.
Volumul cu rază negativă. La rotații, raza este distanța la axă, deci se ia în modul; un volum ieșit negativ înseamnă că s-a integrat funcția, nu pătratul ei.
Unitatea de măsură a mărimii fizice. La modelări, verificarea se face pe dimensiuni: un rezultat exprimat în unități care nu sunt cele ale mărimii cerute arată că integrandul a fost scris greșit.

Recapitulare înainte de examen

Recapitularea se face cu sinteza aplicațiilor integralei, urmată de una dintre probele întregi: simularea M1 se dă în trei ore, cronometrat. Pentru corectură se folosesc baremele oficiale din arhiva de subiecte, iar erorile de tipar semnalate de noi în ele sunt listate la defectele din bareme. Ce se știe despre sesiunea următoare este la subiectele de bacalaureat 2027 și în calendarul examenului. Dacă nu ești sigur pe bazele de analiză, dă întâi testul inițial de clasa a XII-a.

De aici încolo

Fără integrala definită nimic de aici nu se poate calcula, iar fără primitive nu se poate încheia niciun calcul. Curbele care mărginesc regiunile — cercul, elipsa, hiperbola, parabola — sunt studiate la conice, iar poziția relativă a graficelor se citește cu instrumentele de la asimptote și grafice. Celelalte capitole ale anului sunt adunate pe pagina clasei a XII-a. Aceleași exerciții, în format de tipărit, stau la fișele de lucru; tabelul complet al formulelor e la culegere.

Întrebări frecvente

Ce nu pot face fără capitolul de integrală definită?

Nimic din el. Fiecare exercițiu se încheie cu o integrală definită calculată, deci îți trebuie formula Leibniz–Newton și amândouă metodele; iar semnul funcției pe interval decide dacă formula ariei se poate aplica acolo unde o scrii. Ajută și geometria de gimnaziu: formulele de arie și de volum memorate atunci devin aici rezultate deduse.

Cu care dintre mărimile măsurate încep, dacă mă grăbesc?

De la primele trei lecții de arie: subgraficul, aria dintre două grafice și cazul schimbării de semn. Ele acoperă forma sub care capitolul a apărut de 24 de ori în probele oficiale dintre 2011 și 2026. Volumele de rotație vin pe locul al doilea, iar centrul de greutate și modelările din fizică sunt materie de programă, dar nu apar ca atare în cele 24 de cerințe transcrise din arhiva oficială.

Ariile plane se învață înaintea volumelor de rotație?

Da, iar criteriul ordinii este mărimea măsurată: mai întâi ariile, în șase lecții, apoi volumele, în trei, apoi centrul de greutate și cele două modelări din fizică, iar la final estimarea numerică și sinteza. Ordinea nu e arbitrară: volumul se scrie cu aceeași integrală ca aria, doar că sub integrală apare pătratul funcției și totul se înmulțește cu $π$ , iar asta se înțelege abia după ce ariile sunt așezate.

Cele patru teste de arii și volume au aceeași durată?

Da, toate patru se dau într-o oră de curs, adică în 50 de minute, și au câte 11 cerințe și un maxim de 100 de puncte cu oficiu inclus. Nu există aici test recapitulativ separat de 90 de minute, cum au capitolele mai mari ale anului; recapitularea se face cu lecția de sinteză și, mai departe, cu o probă oficială întreagă.

Cum îmi dau seama dacă o cerință vrea arie sau volum?

După cuvintele „suprafață" și „corp". Suprafața mărginită de grafice cere arie și se măsoară cu integrala funcției; corpul obținut prin rotire cere volum și se măsoară cu integrala pătratului funcției, înmulțită cu numărul $π$ . Când enunțul spune „rotind în jurul axei", cerința e de volum, chiar dacă restul textului vorbește despre o regiune plană.

De ce apar conicele într-un capitol de analiză matematică?

Fiindcă marginile regiunilor pe care le măsurăm sunt adesea cercuri, elipse, parabole sau hiperbole, iar ca să integrezi pe o astfel de regiune trebuie să scrii curba ca grafic de funcție. Trei dintre lecțiile capitolului fac exact asta, iar geometria lor se învață separat, la capitolul de conice al aceluiași an.

În ce ordine se dau cele patru teste ale capitolului?

În ordinea în care cresc marginile regiunii. Ariile delimitate de grafice se dă primul, fiindcă folosește numai funcții pe care le poți desena direct. Ariile delimitate de conice vine al doilea: acolo curba trebuie întâi scrisă ca grafic de funcție. Volumele de rotație al treilea, fiindcă cere aceleași capete plus pătratul funcției. Centrul de greutate și modelările se dă ultimul, fiindcă acolo rezultatul se citește ca mărime fizică, nu doar ca număr.