Integrala definită — clasa a XII-a

Integrala definită transformă o familie de primitive într-un singur număr, legat de aria de sub grafic. În clasa a XII-a i se dedică 20 de lecții, care pornesc de la aproximarea prin dreptunghiuri și ajung la șiruri de integrale. Aici găsești lecțiile, formulele, exercițiile și cele șase teste.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este capitolul în care se schimbă obiectul studiat: nu mai lucrezi cu o funcție, ci cu un număr atașat unui interval. Diferența pare mică pe hârtie și decide totuși aproape toate greșelile de redactare de la examen.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

Programa cere să folosești definiția integrabilității, să calculezi integrale cu formula Leibniz–Newton și cu cele două metode, și să interpretezi rezultatul geometric (competențele XII.CS.1.6, XII.CS.2.6, XII.CS.3.6, XII.CS.4.6, XII.CS.5.6 și XII.CS.6.6 din programa de matematică-informatică elaborată pentru planurile-cadru OMEC 4350/2025). Formele în care ajung cerințele pe subiect sunt puține și stabile:

Ce ți se cere	Cum sună cerința pe subiect
Să calculezi o integrală cu capete numerice	„Calculați $\int_{0}^{1} (6 x^{2} + 2 x) d x$ ."
Să folosești liniaritatea și aditivitatea	„Arătați că $\int_{0}^{2} f = \int_{0}^{1} f + \int_{1}^{2} f$ ."
Să încadrezi o integrală între două numere	„Demonstrați că $\int_{1}^{2} f (x) d x \leq 3$ ."
Să lucrezi cu funcția integrală	„Studiați monotonia funcției $G (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ."
Să calculezi un termen dintr-un șir de integrale	„Determinați o relație de recurență între $I_{n}$ și $I_{n - 1}$ ."
Să treci de la o sumă la o integrală	„Calculați limita șirului cu termenul general dat printr-o sumă."

Enunțurile oficiale care au cerut asta, grupate pe ani și rezolvate cerință cu cerință, sunt pe pagina temei „integrala definită" — 145 de cerințe din 2010 până în 2026 — și pe pagina temei „șiruri de integrale", care strânge 82 de cerințe. Locul capitolului în structura probei este descris la ce intră la Bacalaureatul M1, iar probele întregi se dau din arhiva de subiecte oficiale.

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 20 de lecții se citesc în șase etape, în ordinea din programă: patru construiesc obiectul, două spun cine se poate integra, trei îl fac calculabil, patru adaugă proprietățile fine, trei readuc metodele de la primitive și patru duc totul la șiruri.

Construcția. Drumul începe cu problema ariei și subgraficul unei funcții, continuă cu diviziunile unui interval și norma lor și cu sumele Riemann, iar definiția propriu-zisă apare abia la funcții integrabile și integrala definită. Cine sare primele trei lecții învață o formulă fără să știe ce numără ea.

Cine se poate integra. Clasele de funcții integrabile dau criteriile practice — continuitatea și monotonia —, iar integrabilitate și primitive, cu exemple și contraexemple desparte două noțiuni care se confundă tot anul: a admite primitive și a fi integrabilă nu sunt același lucru și niciuna nu o implică pe cealaltă.

Calculul. Formula Leibniz–Newton este puntea dinspre capitolul de primitive, iar proprietățile integralei definite adaugă regulile de lucru. Cazurile care cer atenție sunt strânse la integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul.

Proprietățile fine. Teorema de medie și inegalitățile cu integrale rezolvă cerințele în care nu se cere valoarea, ci o încadrare. Funcția integrală închide cercul deschis în capitolul precedent — orice funcție continuă admite primitive —, iar aplicațiile funcției integrale o duc la limite, monotonie și extreme.

Metodele adaptate. Cele două metode de la primitive revin schimbate, în integrarea prin părți pentru integrala definită și în schimbarea de variabilă pentru integrala definită, unde noutatea este că se schimbă și capetele; funcțiile raționale își primesc lecția lor la integrale definite din funcții raționale. Programa le așază aici, după proprietățile fine, tocmai fiindcă amândouă cer scrierea unei egalități între două integrale, nu doar un calcul.

Șirurile. Șirurile de integrale cu recurențe și limite, limitele de șiruri calculate cu sume Riemann și integralele funcțiilor pare, impare și periodice sunt lecțiile din care vin problemele lungi de la Subiectul al III-lea. Unitatea se încheie cu sinteza în format de examen.

Formule

Familia integrala definită numără șaisprezece pagini. Nu se învață în bloc; fiecare intră în lucru la o anumită lecție:

diviziunea unui interval și norma ei, suma Riemann și funcție integrabilă și integrala definită — se deschid în primele patru ore, la justificări; suma Riemann se întoarce la calcul abia în ultimele lecții, ca instrument pentru limite de șiruri;
formula Leibniz–Newton și proprietățile integralei definite — de aici încolo se lucrează cu ele la fiecare exercițiu;
clasele de funcții integrabile — o cauți când cerința întreabă „este integrabilă?", nu când calculezi;
teorema de medie și valoarea medie, inegalitatea modulului și lema benzii — grupul încadrărilor, folosit la cerințele cu „demonstrați că";
funcția integrală și derivarea integralei cu capete variabile — a doua e cea care lipsește când un exercițiu cere derivata unei integrale;
integrarea prin părți și schimbarea de variabilă cu schimbarea limitelor — versiunile cu capete ale metodelor din capitolul precedent;
regula recurenței la șirurile de integrale, limitele de șiruri cu sume Riemann și integralele funcțiilor pare, impare și periodice — ultimele trei, pentru problemele lungi.

În glosar se lămuresc scurt integrala definită, suma Riemann, funcția integrabilă și funcția integrală.

Exerciții rezolvate

Cele 12 exerciții rezolvate ale capitolului au variante de răspuns și rezolvare deschisă sub fiecare, cu trimitere la lecția din care provine cerința. Sunt exerciții de recunoaștere și de calcul scurt: definiția integrabilității, formula Leibniz–Newton, proprietățile, teorema de medie. Problemele lungi de recurență nu încap în format de grilă și se lucrează pe teste.

Exerciții cu verificare

Pentru exersat pe cont propriu, cu sprijin numai în punctul unde te oprești, ai testul ghidat de formula Leibniz–Newton și proprietăți. Scrii pasul, iar dacă e greșit primești indiciul următor în aceeași pagină, fără să vezi rezolvarea întreagă. La acest capitol ghidajul te oprește la ordinea capetelor și la semnul care apare când le inversezi, două locuri în care un rezultat corect ca număr pierde puncte la redactare.

Teste cu barem

Capitolul are șase teste. Fiecare adună 90 de puncte pe cerințe și oficiul, iar baremul cu rezolvările e scris sub cerințe, în aceeași pagină.

Test: sume Riemann și funcții integrabile — 11 cerințe, 50 de minute; verifică definiția, nu calculul.
Test: formula Leibniz–Newton și proprietățile integralei — 11 cerințe, 50 de minute; primul test în care se calculează efectiv.
Test: teorema de medie și funcția integrală — 11 cerințe, 50 de minute, pe încadrări și pe derivarea integralei.
Test: metode de calcul pentru integrala definită — 11 cerințe, 50 de minute; rezultatele se lasă în formă exactă.
Test: șiruri de integrale și sume Riemann — 11 cerințe, 50 de minute, pe recurențe și limite.
Test recapitulativ: integrala definită — 12 cerințe, 90 de minute, acoperind toate cele șase etape ale capitolului.

Metoda de verificare a capitolului

Încadrarea se învață la inegalitățile cu integrale, a unsprezecea lecție, dar capitolul o folosește de la a șaptea încolo, ca reflex înaintea fiecărui rezultat scris pe interval crescător. Ce nu spune nicio lecție e cât de mult acoperă reflexul acesta: dintre cele cinci feluri în care se pierd puncte la integrala definită, patru se văd din simpla comparare a rezultatului cu banda estimată. Punctele de mai jos sunt situațiile în care încadrarea salvează puncte:

Semnul rezultatului. O funcție pozitivă pe interval nu poate da o integrală negativă; dacă iese negativă, capetele au fost inversate sau s-a pierdut un semn la substituție.
Modulul netratat. La funcțiile cu modul, încadrarea iese pozitivă, iar calculul făcut fără despărțirea intervalului iese adesea mai mic — diferența semnalează despărțirea uitată.
Capetele neschimbate la substituție. Rezultatul cade în afara intervalului estimat, fiindcă s-a integrat pe alt interval decât cel cerut.
Funcția pe ramuri. Estimarea pe fiecare ramură, adunată, arată dacă aditivitatea a fost aplicată sau s-a integrat o singură formulă pe tot intervalul.
Recurența cu indice greșit. La șirurile de integrale, încadrarea îți spune întâi ce sens trebuie să aibă șirul: pe $[0, 1]$ , cu integrandul ridicat la puterea $n$ și nenegativ, termenii scad odată cu $n$ ; pe un interval unde funcția depășește $1$ , cresc. Dacă recurența ta dă sensul invers celui pe care îl arată încadrarea, indicele a fost mutat cu o unitate.

Recapitulare înainte de examen

Sinteza capitolului este integrala definită în format de Bacalaureat M1, iar proba cronometrată, testul recapitulativ de integrală definită. Când capitolul stă în picioare, treci la o probă întreagă de trei ore: simularea de Bacalaureat M1, varianta 1 sau orice an din arhiva oficială, de pildă sesiunea 2026. Baremele oficiale, cu erorile de tipar semnalate de noi, sunt la ce am găsit în bareme, iar datele probelor din 2027, la calendarul bacalaureatului.

De aici încolo

Capitolul se sprijină pe primitive — fără tabelul de acolo, formula Leibniz–Newton rămâne fără al doilea termen — și se continuă în aplicații ale integralei, unde numărul calculat aici capătă înțeles de arie, de volum sau de lucru mecanic. Studiul funcției de la asimptote și grafice intră în joc la cerințele cu funcția integrală. Limitele de șiruri, pe care le folosesc ultimele lecții, sunt materie de clasa a XI-a. Ordinea capitolelor și legăturile dintre ele se citesc pe pagina clasei a XII-a. Cine învață cu creionul în mână are fișele tipăribile; cine caută o formulă anume o găsește în culegerea de formule.

Întrebări frecvente

Ce lacună din capitolul de primitive se vede imediat aici?

Oricare, fiindcă formula Leibniz–Newton cere o primitivă găsită corect înainte de orice altceva. Îți trebuie tabelul funcțiilor uzuale și amândouă metodele de calcul, integral. Mai ai nevoie de limite de șiruri, de la clasa a XI-a, fiindcă definiția integralei trece printr-o limită, iar ultimele lecții calculează limite cu sume.

Ce lecții acopăr întâi, dacă teza e aproape?

Formula Leibniz–Newton și proprietățile, adică a șaptea și a opta lecție. Ele acoperă cerințele de calcul, care dau grosul celor 145 de cerințe strânse pe pagina temei. Abia după ce calculezi corect te întorci la sumele Riemann, pentru cerințele care cer justificarea integrabilității, și mergi înainte la teorema de medie, pentru cele cu încadrări.

Ce se schimbă în redactare când treci de la integrala nedefinită la cea definită?

Două lucruri, și baremul le taie pe amândouă. Constanta dispare: la integrala definită ea se simplifică la scădere, iar scrisă degeaba arată că rezultatul n-a fost înțeles ca număr. Capetele apar și trebuie evaluate explicit, cu bara verticală și cu diferența scrisă — o primitivă corectă, lăsată fără evaluarea capetelor, nu primește punctajul întreg. Trecerea între cele două forme se face prin formula Leibniz–Newton.

Care dintre cele 20 de lecții se cer la Subiectul al III-lea și care doar la Subiectul I?

Problemele lungi vin din ultimele patru lecții și din blocul proprietăților fine: recurențele, sumele Riemann și funcția integrală adună împreună 82 de cerințe din arhiva oficială. Cerințele scurte vin din formula Leibniz–Newton și din proprietăți, adică din a șaptea și a opta lecție — acolo stă grosul celor 145 de cerințe cu integrala definită. Construcția obiectului nu se cere ca atare, dar se cere ca justificare în primul subpunct al problemei mari; despărțirea ei de existența primitivelor e la integrabilitate și primitive.

Câte cerințe are un test de integrală definită și cât ține?

Cinci teste au 11 cerințe și 50 de minute fiecare, cât o oră de curs. Testul recapitulativ are 12 cerințe și 90 de minute. Nota se obține dintr-un maxim de 100 de puncte, oficiul inclus, iar structura e mereu în trei părți, cu o cerință finală scrisă ca pe subiectul de examen.

În ce ordine se învață cele 20 de lecții și ce se întâmplă dacă sar începutul?

Ordinea de pe pagină e cea din programă: construcția obiectului, criteriile de integrabilitate, calculul, proprietățile fine, metodele adaptate și șirurile. Dacă sari construcția, poți calcula, dar nu poți răspunde la cerințele care cer justificare, iar acelea apar aproape întotdeauna ca prim punct al problemei mari. Ordinea inversă, calcul întâi și teorie pe urmă, funcționează doar ca recapitulare.

Unde se mai folosește integrala definită până la finalul anului?

La capitolul de aplicații, care e imediat următorul: integrala definită e obiectul cu care se măsoară acolo arii și volume. Înapoi, capitolul primește de la primitive metoda de calcul. Cu structurile algebrice nu are legătură directă, dar împarte cu ele Subiectul al III-lea și, respectiv, al II-lea al probei M1: cine pierde capitolul acesta pierde una dintre cele patru probleme mari ale probei, adică 15 puncte din cele 60 care stau în capitolele mari.