Primitive — clasa a XII-a

Primitivele răstoarnă derivarea: se dă funcția și se caută aceea din care ar fi putut proveni prin derivare. Unitatea are 21 de lecții în clasa a XII-a, un tabel de funcții uzuale și două metode de calcul. Pagina strânge lecțiile, formulele, exercițiile rezolvate și cele șase teste ale unității.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Capitolul deschide partea de calcul integral a anului, după studiul funcțiilor: aici nu se măsoară încă nimic, se caută doar funcția-mamă. Măsurarea vine în capitolul următor. Cele 21 de lecții și cele șase teste de mai jos se deschid fără cont.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

Programa cere să recunoști o primitivă, să o calculezi folosind tabelul și cele două metode, și să citești din semnul funcției ce se întâmplă cu graficul primitivei (competențele XII.CS.1.5, XII.CS.2.5, XII.CS.3.5, XII.CS.4.5, XII.CS.5.5 și XII.CS.6.5 ale programei de matematică-informatică elaborate pentru planurile-cadru OMEC 4350/2025). La proba scrisă, cerințele se repetă în forme scurte, ușor de recunoscut:

Ce ți se cere	Cum sună cerința pe subiect
Să verifici că o funcție dată este primitivă	„Arătați că $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe $R$ ."
Să calculezi o primitivă din tabel	„Determinați primitivele funcției $f$ , $f (x) = 3 x^{2} + cos x$ ."
Să aplici integrarea prin părți	„Calculați $\int (5 x + 2) e^{x} d x$ ."
Să recunoști o derivată sub integrală	„Calculați $\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 2} d x$ ."
Să alegi primitiva care trece printr-un punct	„Determinați primitiva $F$ pentru care $F (2) = 7$ ."
Să justifici că o funcție nu admite primitive	„Arătați că funcția nu admite primitive pe $R$ ."

Cerințele date efectiv la examen, an cu an, cu enunțul oficial și rezolvarea fiecăreia, sunt strânse pe pagina temei „primitive" la Bacalaureatul M1: 22 de cerințe între 2010 și 2026. Cât cântărește capitolul în ansamblul probei se vede în ce intră la Bacalaureatul M1 — primitivele intră acolo în grupa „primitive, integrale și arii", una dintre cele patru din care vin problemele mari. Probele întregi, cu barem, pornesc de la sesiunea 2026.

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 21 de lecții urcă în șase trepte: definiția, tabelul, existența, cele două metode, funcțiile care cer pregătire înainte de integrare și, la capăt, alegerea metodei.

Treapta 1 — ce este o primitivă. Noțiunea de primitivă pune întrebarea inversă derivării și explică de ce răspunsul nu e o funcție, ci o familie întreagă. Integrala nedefinită dă notația și cele două proprietăți de care depinde orice descompunere de mai târziu.

Treapta 2 — tabelul. Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale și completarea lui cu arctangentă, arcsinus și logaritm sunt lecțiile pe care se sprijină restul unității; fără ele, orice metodă de calcul rămâne fără punct de sosire.

Treapta 3 — existența. Funcțiile care admit primitive și teorema lui Darboux răspunde la întrebarea pusă înaintea oricărui calcul, iar primitivele funcțiilor definite pe ramuri arată ce se schimbă când funcția e scrisă bucată cu bucată: constantele nu mai sunt independente.

Treapta 4 — cele două metode. Integrarea prin părți vine în două lecții, formula și primele aplicații și alegerea părților cu aplicarea repetată; schimbarea de variabilă, tot în două, formula cu justificarea ei și recunoașterea derivatei cu substituțiile tipice. Ordinea nu e întâmplătoare: a doua lecție a fiecărei metode e cea care te învață să o alegi, nu doar să o aplici.

Treapta 5 — familii de funcții care cer pregătire. Aici intră trinomul de gradul al doilea, funcțiile raționale în două lecții, descompunerea în fracții simple și rădăcinile multiple cu factorii de gradul al doilea, apoi funcțiile trigonometrice, radicalii și exponențialele și relațiile de recurență.

Treapta 6 — ce faci cu primitiva după ce ai găsit-o. Proprietățile primitivei citite din funcție leagă semnul funcției de monotonia primitivei, iar primitiva cu o condiție și modelările arată de unde se fixează constanta. Unitatea se închide cu cum alegi metoda de integrare, metodele combinate și sinteza de tip Bacalaureat M1.

Formule

Familia primitive și integrala nedefinită are paisprezece pagini, fiecare cu legenda literelor și cu un exemplu numeric rezolvat. Ordinea în care le deschizi urmează lecțiile:

definiția primitivei și liniaritatea integralei nedefinite — îți trebuie de la prima oră și rămân în folosință tot capitolul;
cele trei bucăți ale tabelului, rândurile 1–5, rândurile 6–10 și rândurile 11–16 — se deschid pe rând, la lecțiile a treia și a patra;
existența primitivelor prin teorema lui Darboux — o cauți când cerința spune „arătați că nu admite primitive", nu când calculezi;
integrarea prin părți, schimbarea de variabilă și scurtătura pentru argument de gradul întâi — a treia scutește de substituție completă și se uită des la teze;
primitiva raportului dintre derivată și funcție și substituțiile tipice — te caută la exercițiile în care nu vezi de unde să începi;
trinomul de gradul al doilea, descompunerea în fracții simple și ce se citește despre primitivă din semnul funcției — ultima nu servește la calcul, ci la cerințele care întreabă de monotonie.

Termenii se definesc scurt în glosar: primitivă, integrală nedefinită, tabelul primitivelor și funcție care admite primitive.

Exerciții rezolvate

Cele 12 exerciții rezolvate ale unității sunt grile cu patru variante: alegi întâi, apoi deschizi rezolvarea, care spune și din ce lecție provine exercițiul. Acoperă recunoașterea unei primitive, tabelul, ambele metode de calcul și cazurile în care funcția nu admite primitive. Nu conțin recurențe și nici funcții pe ramuri cu doi parametri — pentru acelea se merge direct la testele de mai jos.

Exerciții cu verificare

Pagina de exerciții rezolvate se citește; ecranul de mai jos se lucrează. În testul ghidat de primitive și integrală nedefinită scrii tu pasul și primești imediat următorul indiciu acolo unde te-ai oprit. La acest capitol ghidajul intervine devreme, la constanta de integrare și la intervalul pe care se lucrează — două locuri unde rezultatul pare corect și baremul nu îl acceptă.

Teste cu barem

Unitatea are șase teste. Punctajul este același la toate: 90 de puncte repartizate pe cerințe, plus oficiul. Baremul și rezolvările stau deschise în josul paginii — se pot sări până le lucrezi.

Test: primitive și integrala nedefinită — 11 cerințe, 50 de minute. Prima parte cere definiția și notația, ultima ajunge la liniaritate demonstrată și la o familie cu parametru.
Test: existența primitivelor și funcții pe ramuri — 11 cerințe, 50 de minute, cu partea a treia pe discuția după doi parametri.
Test: integrarea prin părți — 11 cerințe, 50 de minute; cere alegerea părților scrisă explicit, nu doar rezultatul.
Test: schimbarea de variabilă — 11 cerințe, 50 de minute, cu substituția scrisă la fiecare integrală.
Test: primitivele funcțiilor raționale — 11 cerințe, 50 de minute, cu descompunerea cerută în forma cu litere.
Test recapitulativ: metode de integrare — 11 cerințe, 90 de minute, fiind recapitulare de unitate; la fiecare integrală se cere numită metoda aleasă.

Metoda de verificare a capitolului

Proba prin derivare se învață la metodele combinate și se folosește apoi la fiecare dintre celelalte douăzeci de lecții — de aceea capitolul o tratează ca obicei, nu ca truc de lecție. Ce nu scrie în nicio lecție e unde cade proba: derivarea confirmă forma, dar nu vede nici constanta, nici intervalul, iar cele două locuri sunt exact acelea în care baremul taie puncte. Punctele de mai jos sunt locurile în care proba pică des:

Constanta lipsă. Derivarea nu o vede — de aceea proba trebuie completată cu întrebarea „am scris familia sau doar un reprezentant al ei?".
Intervalul netrecut. Derivata coincide, dar egalitatea e valabilă numai acolo unde funcția e definită; la funcțiile cu logaritm și cu fracții asta schimbă răspunsul.
Semnul la integrarea prin părți. Proba prin derivare îl prinde imediat, fiindcă produsul derivat dă doi termeni, nu unul.
Substituția nedesfăcută. După schimbarea de variabilă, rezultatul rămâne uneori în variabila nouă; derivarea în variabila veche nu se mai potrivește și eroarea iese la iveală.
Factorul din scurtătură. La argument de gradul întâi se uită împărțirea la coeficient; derivata rezultatului iese cu acel coeficient în plus.

Recapitulare înainte de examen

Recapitularea unității este sinteza de primitive în format de Bacalaureat M1, iar verificarea cronometrată, testul recapitulativ de metode de integrare. După ele are sens o probă întreagă: simularea M1, varianta 1 se dă în trei ore, ca la examen. Arhiva completă, cu baremele oficiale, este la subiectele de Bacalaureat M1, iar greșelile de tipar găsite în bareme sunt strânse la ce am găsit în baremele oficiale. Dacă nu ești sigur ce ți-a rămas din anii trecuți, pornește de la testul inițial de clasa a XII-a.

De aici încolo

Capitolul următor, integrala definită, folosește tot ce se calculează aici, dar adaugă capetele de integrare și transformă familia de primitive într-un număr. Apoi vine aplicații ale integralei, unde numărul devine arie sau volum. Înaintea primitivelor stau derivatele, la matematică de clasa a XI-a, iar semnul funcției pe care îl citești în ultima lecție e materie de la asimptote și grafice. Lista întreagă a capitolelor anului este pe hub-ul clasei a XII-a. Pentru lucru pe hârtie sunt fișele de lucru de clasa a XII-a, iar formulele tuturor claselor stau în culegerea Matepolis.

Întrebări frecvente

Definiția sau tabelul — care vine primul?

Definiția, apoi tabelul. Definiția lămurește de ce răspunsul e o familie de funcții, iar tabelul îți dă punctele de sosire ale oricărui calcul de mai târziu. Metodele de integrare se învață abia după ce recunoști dintr-o privire zece rânduri din tabel; altfel, integrarea prin părți te lasă cu o integrală pe care tot nu știi să o închei.

Tabelul primitivelor se învață înaintea metodelor de integrare?

Da, și cu două lecții înainte de ele. Ordinea de pe pagina asta e cea din programă: definiție, tabel, existență, cele două metode de calcul, familiile de funcții care cer pregătire înainte de integrare și, la final, alegerea metodei. Singurul loc unde ordinea contează cu adevărat este perechea existență–calcul: dacă sari lecția de existență, vei încerca să calculezi primitive pentru funcții care nu au.

De ce nu merge nimic aici fără derivate?

Fiindcă primitiva se caută pornind de la derivată și se verifică tot derivând. Îți trebuie derivatele funcțiilor uzuale, regulile de derivare și derivarea funcțiilor compuse, toate de clasa a XI-a; fără ele, tabelul primitivelor rămâne o listă de memorat, iar proba nu se poate face. Mai ajută semnul unei funcții și monotonia, fiindcă ultimele lecții ale unității citesc proprietățile primitivei direct din funcția dată.

Cât durează un test de la acest capitol și ce conține?

Cinci dintre cele șase teste ale unității au 11 cerințe și 50 de minute, adică o oră de curs; testul recapitulativ are tot 11 cerințe, dar 90 de minute. Punctajul maxim este 100, cu oficiul inclus. Fiecare test e împărțit în trei părți, iar cerința de la final e scrisă în formatul subiectului de Bacalaureat M1.

În ce lecție se învață alegerea metodei și de ce vine abia la sfârșitul capitolului?

La a nouăsprezecea lecție, cum alegi metoda de integrare, și nu mai devreme. Motivul e că arborele de decizie are nevoie de toate ramurile ca să funcționeze: dacă nu ai văzut încă fracțiile simple sau substituțiile tipice, întrebarea „ce metodă?" nu are răspuns, ci doar variante nedeschise. Până acolo, fiecare lecție îți dă o singură unealtă și ți-o cere pe aceea; abia la final capitolul te pune să alegi singur.

Cu ce se leagă primitivele de restul materiei de clasa a 12-a?

Cu derivatele, înapoi, și cu integrala definită, înainte. Formula Leibniz–Newton din capitolul următor calculează integrala definită tocmai printr-o primitivă, deci tot ce nu se așază aici se plătește acolo. Legătura mai puțin evidentă este cu studiul funcțiilor: semnul funcției de sub integrală decide monotonia primitivei, iar asta se cere la Bacalaureatul M1 în forme scurte.

Cum știu că am terminat capitolul și pot trece la integrala definită?

Când poți face trei lucruri fără să te uiți în tabel: să spui dacă o funcție admite sau nu primitive, să numești metoda potrivită înainte de a începe calculul și să scrii intervalul pe care e valabil rezultatul. Verificarea cronometrată e testul recapitulativ de metode de integrare; dacă îl treci, formula Leibniz–Newton din capitolul următor nu îți mai cere nimic nou de la primitive.