Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2016 (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right):\frac{1}{12}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Arătați că $4(x_1+x_2)-3x_1{x}_2=2$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+6=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x-1}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $10\%$, prețul unui obiect este $90$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,1)$ și $B(3,1)$. Calculați lungimea segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Dacă $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{4}{5}$, arătați că $\sin x=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-5$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot B=B\cdot A$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $A\cdot A-3(A+B)=I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{1}{3}xy+x+y$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast (-3)=-3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale nenule $x$, pentru care $x\ast \frac{1}{x}=-3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+3x}{x}=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge -2$, pentru orice $x\in [-1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x-1\right)dx=\frac{1}{5}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\left(f(x)-x^4-1\right)\ln xdx=\frac{e^2+1}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

Barem și răspunsuri

Total general: 90 p de la cerințe și 10 p din oficiu, adică 100 p. Fiecare cerință din Subiectul I are două rânduri punctate. La problemele 7–10 (câte 15 p, în trei subpuncte de 5 p) fiecare subpunct are tot două rânduri, cu o singură excepție: 9.c) are patru (2 p, 1 p, 1 p, 1 p). Rândurile reproduc varianta 5 din iunie-iulie 2016; justificările, verificările și comentariile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — diferență de fracții și împărțire.

Cele două fracții se aduc la numitorul $12$: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ și $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, deci $$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\text{(3 p)}.$$

Rămâne $\frac{1}{12}:\frac{1}{12}$, adică de câte ori încape $\frac{1}{12}$ în el însuși: o singură dată. În calcul, $\frac{1}{12}\cdot 12=1$ (2 p).

(Capcană: numitorii se scad și se obține $\frac{1}{3-4}=-1$; rezultatul este negativ, deși $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$, iar $-1:\frac{1}{12}=-12$, nu $1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

Ecuația $x^2-5x+6=0$ are coeficienții $1$, $-5$ și $6$. Suma soluțiilor este opusul coeficientului lui $x$, iar produsul lor este termenul liber: $$x_1+x_2=5,x_1{x}_2=6\text{(2 p)}.$$

Se înlocuiește în expresie: $$4(x_1+x_2)-3x_1{x}_2=4\cdot 5-3\cdot 6=20-18=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: discriminantul este $25-24=1$, deci $x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$, adică $2$ și $3$; atunci $4\cdot (2+3)-3\cdot 2\cdot 3=2$. Capcană: suma luată cu semnul coeficientului, $-5$; ar ieși $4\cdot (-5)-18=-38$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul există pentru $x-1\ge 0$, adică $x\ge 1$. Ridicarea la pătrat a ambilor membri dă $$x-1=2^2=4\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=5$. Cum $5\ge 1$ și $\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2$, valoarea convine; deci $\mathbf{x}=5$ (2 p).

(Capcană: pătratul uitat; din $x-1=2$ ar ieși $x=3$, dar $\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — prețul înainte de ieftinire.

Fie $p$ prețul inițial. Ieftinirea scade $10\%$ din $p$, iar rezultatul este $90$ de lei: $$p-\frac{10}{100}p=90,\text{ adica˘ }\frac{9}{10}p=90\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește cu $\frac{10}{9}$: $p=90\cdot \frac{10}{9}=100$ de lei (2 p).

(Probă: $10\%$ din $100$ este $10$, iar $100-10=90$. Capcană: peste $90$ se adaugă $10\%$ din $90$, adică $9$, și iese $99$; dar reducerea s-a calculat din prețul inițial, nu din $90$.)

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment.

Cu formula distanței dintre două puncte: $$AB=\sqrt{(3-5{)}^2+(1-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$AB=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: ordonatele punctelor coincid ($1$), deci $AB$ stă pe o paralelă la $Ox$, iar lungimea lui este distanța dintre abscise, $|5-3|=2$. Capcană: diferența $3-5$ este negativă, dar se ridică la pătrat; lungimea nu poate fi $-2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinusul din cosinus.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ rezultă $${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\text{(3 p)}.$$ Pătratul lui $\sin x$ este $\frac{9}{25}$, deci $\sin x=\pm \frac{3}{5}$. Cum $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, sinusul este pozitiv, așadar $\sin x=\frac{3}{5}$ (2 p).

(Capcană: semnul. Valoarea $-\frac{3}{5}$ are și ea pătratul $\frac{9}{25}$, dar un unghi din primul cadran are sinus pozitiv.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Diferența dintre produsul de pe diagonala principală și cel de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right|=2\cdot 2-3\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=4-9=-5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună; $4+9=13$ nu este determinantul.)

b) (5 p) Se înmulțește $A$ cu $B$, rând cu coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2x+3\cdot 1& 2\cdot 1+3x\\ 3x+2\cdot 1& 3\cdot 1+2x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x+3& 3x+2\\ 3x+2& 2x+3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Apoi, în ordine inversă: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2x+1\cdot 3& 3x+1\cdot 2\\ 1\cdot 2+3x& 1\cdot 3+2x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x+3& 3x+2\\ 3x+2& 2x+3\end{array}\right)=A\cdot B,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: cu $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, avem $A=2I_2+3J$ și $B=x{I}_2+J$; ambele sunt combinații ale lui $I_2$ și $J$, iar $I_2$ comută cu orice matrice, deci $A\cdot B=B\cdot A$. Capcană: două matrice oarecare nu comută; de exemplu, pentru $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$ produsele în cele două ordini sunt diferite.)

c) (5 p) Se calculează $A\cdot A$ și $A+B$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}13& 12\\ 12& 13\end{array}\right),A+B=\left(\begin{array}{cc}2+x& 4\\ 4& 2+x\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $$\left(\begin{array}{cc}13-3(2+x)& 12-12\\ 12-12& 13-3(2+x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$ adică $13-3(2+x)=1$, deci $7-3x=1$ și $\mathbf{x}=2$ (3 p).

(Probă: pentru $x=2$, $13-3\cdot 4=1$. Capcană: scalarul $3$ se aplică ambilor termeni din paranteză, nu doar lui $B$; altfel, $A+3B$ ar da $\left(\begin{array}{cc}2+3x& 6\\ 6& 2+3x\end{array}\right)$, altă matrice.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=-3$ în formulă: $$1\ast (-3)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (-3)+1+(-3)\text{(3 p)}.$$ $$1\ast (-3)=-1+1-3=-3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul $\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (-3)$ este $-1$; cu semnul uitat, ar ieși $1+1-3=-1$.)

b) (5 p) Se pornește de la definiție. Se adună și se scade $3$, apoi $\frac{1}{3}$ se scoate factor comun, folosind $3=\frac{1}{3}\cdot 9$: $$x\ast y=\frac{1}{3}xy+x+y+3-3=\frac{1}{3}\left(xy+3x+3y+9\right)-3\text{(3 p)}.$$ Paranteza se grupează: $xy+3x+3y+9=x(y+3)+3(y+3)=(x+3)(y+3)$, deci $$x\ast y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3,\text{ pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă în sens invers: $\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3=\frac{1}{3}\left(xy+3x+3y+9\right)-3=\frac{1}{3}xy+x+y+3-3$. Capcană: factorul $\frac{1}{3}$ nu se aplică doar primului termen; înmulțește toată paranteza.)

c) (5 p) Cu forma de la b), pentru $x\ne 0$: $$x\ast \frac{1}{x}=\frac{1}{3}(x+3)\left(\frac{1}{x}+3\right)-3=-3⟺(x+3)\left(\frac{1}{x}+3\right)=0\text{(3 p)}.$$ Un produs este nul dacă un factor este nul: $x+3=0$ dă $x=-3$, iar $\frac{1}{x}+3=0$ dă $x=-\frac{1}{3}$. Ambele numere sunt nenule, deci $$x\in \left\{-3,-\frac{1}{3}\right\}\text{(2 p)}.$$

(Probă directă: $x\ast \frac{1}{x}=\frac{1}{3}+x+\frac{1}{x}$; egalată cu $-3$ și amplificată cu $3x$, relația duce la o ecuație de gradul al doilea cu soluțiile $-3$ și $-\frac{1}{3}$. Capcană: se împarte la $x+3$ și se pierde soluția $x=-3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Derivata unei puteri și a unui multiplu: $$f^{\prime }(x)={\left(x^3\right)}^{\prime }-(3x{)}^{\prime }=3x^2-3\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $3$ și se descompune diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=3\left(x^2-1\right)=3(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $3x$ este $3$; dacă s-ar păstra $3x$, expresia $3x^2-3x$ nu s-ar descompune în $3(x-1)(x+1)$.)

b) (5 p) Numărătorul se simplifică: $f(x)+3x=x^3-3x+3x=x^3$, deci $$\frac{f(x)+3x}{x}=\frac{x^3}{x}\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\ne 0$, câtul este $x^2$, iar $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$ (3 p).

(Probă: la $x=0$ expresia are forma $\frac{0}{0}$, de aceea s-a simplificat cu $x$ înainte de limită. Capcană: $x=0$ înlocuit direct în fracție; împărțirea la $0$ nu are sens.)

c) (5 p) Derivata $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$ se anulează pentru $x=-1$ sau $x=1$ (2 p).

Pe $[-1,1]$, factorul $x-1$ este negativ sau nul și $x+1$ este pozitiv sau nul, deci $f^{\prime }(x)\le 0$: funcția $f$ este descrescătoare pe $[-1,1]$ (1 p).

Pe $[1,+\infty )$, ambii factori sunt pozitivi sau nuli, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$: funcția $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty )$ (1 p).

Valoarea în punctul de schimbare este $f(1)=1-3=-2$, iar pe ambele intervale $f$ nu coboară sub ea: $f(x)\ge f(1)=-2$ pentru orice $x\in [-1,+\infty )$ (1 p).

(Capcană: inegalitatea nu se extinde la $x<-1$; de exemplu $f(-3)=-27+9=-18<-2$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și arie.

a) (5 p) Termenii $x$ și $1$ se reduc: $f(x)-x-1=x^4$. Integrandul este $x^4$ (2 p).

O primitivă a lui $x^4$ este $\frac{x^5}{5}$: $${\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{x^5}{5}{|}_0^1=\frac{1}{5}-0=\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $x^4$ nu este $4x^3$; aceea este derivata. Exponentul crește cu $1$, iar coeficientul se împarte la noul exponent.)

b) (5 p) Din $f(x)-x^4-1=x$, integrala este ${\int }_1^{e}x\ln xdx$. Integrarea prin părți, cu $\ln x$ derivat și $x$ integrat: $${\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $\frac{e^2}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{e^2}{2}$, iar al doilea, ${\int }_1^e\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}{|}_1^e=\frac{e^2-1}{4}$: $$\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{2e^2-e^2+1}{4}=\frac{{\mathbf{e}}^2+1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Probă: integrandul $x\ln x$ este pozitiv pe $(1,e]$, fiindcă $\ln x>0$ acolo, deci integrala trebuie să fie pozitivă, iar $\frac{e^2+1}{4}>0$. Capcană: $\ln 1=0$, nu $1$; dacă s-ar lua $1$, s-ar scădea în plus $\frac{1}{2}$.)

c) (5 p) Pe $[0,1]$, $x^4\ge 0$ și $x\ge 0$, deci $f(x)=x^4+x+1\ge 1>0$; aria este integrala lui $f$: $$\mathcal{A}={\int }_0^1\left(x^4+x+1\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{A}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+1=\frac{2+5+10}{10}=\frac{17}{10}\text{(2 p)}.$$

(Probă: aria este mai mare decât $1$, aria dreptunghiului $[0,1]\times [0,1]$ de sub dreapta $y=1$, fiindcă $f(x)\ge 1$. Capcană: se omite termenul liber $1$; fără el, $\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$.)

Pentru părinți și profesori

Ce găsești aici. Rezolvările noastre pentru Varianta 5, subiectul de rezervă din iunie-iulie 2016 la matematică M_tehnologic, împreună cu rândurile punctate ale documentului oficial. Foaia originală numește Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice și Centrul Național de Evaluare și Examinare și anunță proba E. c), matematică M_tehnologic, a bacalaureatului național din 2016. Au lucrat-o elevii filierei tehnologice (profilurile servicii, resurse și tehnic); în limbajul școlilor, ea se numește și M3. Cerințele din „Itemi" sunt copiate din PDF fără schimbări; rezolvările, probele și ghidajul sunt scrise de noi.

Cum e împărțită foaia. Trei ore de lucru, toate subiectele obligatorii, zece puncte din oficiu. Subiectul I are șase cerințe scurte, iar în Subiectele II și III fiecare problemă are trei subpuncte.

Clasa fiecărei cerințe, după programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile sunt, la examen, parte din numerele reale ale clasei a IX-a. Unitățile noi ale clasei a IX-a nu includ numerele reale; materia lipsă o dă „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea sunt cerute la examen în clasa a IX-a, dar programa școlară nouă nu le menționează. Tema se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
• Nota 3. Ecuațiile cu radicali sunt, la examen, din clasa a X-a; programa nouă le lasă pe grafic sau pe calculator, iar pe site cerința 3 e acoperită de „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 4. Procentele intră, la examen, în calculul financiar al clasei a X-a. Programa nouă le amintește doar ca exemplu, fără să le facă temă: „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 5. Programa de examen are distanța dintre două puncte la clasa a X-a, programa nouă la a IX-a; aici, cerința 5 stă la clasa din programa de examen.

Detalii care deosebesc această variantă. La cerința 1, diferența din paranteză este chiar împărțitorul, așa că rezultatul vine imediat. La cerința 4, prețul căutat este cel dinainte de reducere, nu cel de după. La cerința 5, cele două puncte au aceeași ordonată, deci segmentul este orizontal. Matricele de la 7.b) se înmulțesc în ambele ordini și dau același rezultat; la 7.c), pozițiile din stânga sus și din dreapta jos dau aceeași ecuație, iar celelalte două sunt identități de forma $0=0$. Legea de la 8.b) are o formă cu paranteze, care transformă ecuația de la 8.c) într-un produs egal cu zero. La 9.c), minimul $-2$ se atinge în $x=1$, iar integrala de la 10.b) cere integrarea prin părți.

Ce faci cu pagina, pas cu pas:

• Ceasul. Cele 180 de minute: 25 pentru Subiectul I, câte 55 pentru Subiectele II și III, apoi 45 pentru recitirea întregii lucrări.
• Scrisul. Se redactează fiecare calcul, nu doar răspunsul. Foaia oficială împarte fiecare cerință sau subpunct de 5 puncte în două rânduri, cu o singură excepție: 9.c) are patru rânduri (2 + 1 + 1 + 1).
• Regulile foii de barem. Foaia admite soluții corecte pe alt drum decât cel oficial, nu rupe punctele în fracțiuni (dar permite punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limita rândului) și notează totalul împărțit la 10.
• Gropi la care să te uiți: la 3, soluția nefiind verificată în ecuație; la 4, procentul aplicat la 90, nu la prețul inițial; la 6, semnul sinusului; la 8.c), împărțirea la $x+3$, care pierde o soluție; la 10.c), $|f|$ înlocuit fără să se arate că $f>0$.
• La sfârșit. La fiecare subpunct greșit se scrie dacă a lipsit o formulă, un pas de calcul sau o justificare.

Totalul. Nota 7 se obține cu 70 de puncte în total, adică 60 din cele 90 ale cerințelor, iar nota 10 cu 90 din 90. Un scor sub 60 trimite înapoi la Subiectul I; între 60 și 90 diferența o fac subpunctele c).

Formulele lucrării:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$; pentru $x^2+bx+c=0$, $x_1+x_2=-b$ și $x_1{x}_2=c$; $\sqrt{u}=c⟹u=c^2$, cu verificare; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; pătratul sinusului plus pătratul cosinusului aceluiași unghi este $1$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul „rând cu coloană"; pentru o lege de compoziție, valoarea $x\ast y$ se obține înlocuind $x$ și $y$ în formulă.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe un interval, $f$ scade pe el, iar dacă $f^{\prime }\ge 0$, crește; formula de integrare prin părți (integrala lui $u{v}^{\prime }$ este $uv$ minus integrala lui $u^{\prime }v$); aria sub graficul unei funcții pozitive este integrala ei între limitele cerute.

Despre litere. Litera $f$ denumește două funcții: $x^3-3x$ la cerința 9 și $x^4+x+1$ la cerința 10. Litera $x$ este necunoscută de aflat la cerințele 3, 7.c) și 8.c), număr real oarecare la 7.b) și 8.b), necunoscuta ecuației $x^2-5x+6=0$ la cerința 2 (soluțiile ei se numesc $x_1$ și $x_2$), unghiul de la cerința 6 și variabila funcțiilor de la cerințele 9 și 10. Literele $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5 și matrice la cerința 7; în matricea $B$ de la cerința 7, $x$ este un parametru. Numerotarea „Exercițiul 1" … „Exercițiul 10" este cea oficială; în explicații, același lucru se numește „cerința".