Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2021 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2021 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right)+\frac{4}{5}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$. Arătați că $f(1)\cdot f(3)=5$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{5x-6}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $25$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$, $B(0,2)$ și $C(0,-2)$. Determinați distanța de la punctul $A$ la mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ astfel încât $\cos x=\frac{1}{4}$. Arătați că $\sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ -1& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=10$.

b) (5 puncte) Arătați că $2B(5)+B(-1)=3B(3)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg $x$ pentru care $\det (A\cdot B(x)-B(4x))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x(y-2)+y(x-2)$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 4=4$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=0$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(x\ast 1)\ast (x+1)=4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{2x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-8x}{{\left(2x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }(xf(x)\ln x)=0$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-x^3-1\right)dx=9$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{x^2}{f(x)-6x}dx=\frac{1}{3}\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x}\right)dx=\frac{a^3}{5}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I: 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p). Subiectele al II-lea și al III-lea: câte 30 p (itemii 7–8, respectiv 9–10), cu subpuncte de câte 5 p. Punctele de mai jos sunt cele ale rezervei din iunie-iulie 2021 (Varianta 1); calculele, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Se rezolvă mai întâi paranteza: $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. Primul termen devine $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{5}$, iar suma este $$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\text{(3 p)}.$$ Cele două fracții au același numitor, deci $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=\frac{5}{5}=1$ (2 p).

(Altă cale: $\frac{1}{3}$ înmulțește fiecare termen din paranteză, $\frac{1}{3}-\frac{2}{15}+\frac{4}{5}=\frac{5-2+12}{15}=1$. Capcană: $\frac{1}{3}$ se aplică doar primului termen din paranteză; $\frac{1}{3}-\frac{2}{5}+\frac{4}{5}=\frac{5-6+12}{15}=\frac{11}{15}$, nu $1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valori ale unei funcții de gradul întâi.

Valoarea în $1$ este $f(1)=2\cdot 1-1=1$ (2 p).

Valoarea în $3$ este $f(3)=2\cdot 3-1=5$, deci $$f(1)\cdot f(3)=1\cdot 5=5\text{(3 p)}.$$

(Capcană: $f(1)\cdot f(3)$ se citește ca $f(1\cdot 3)$. Aici ambele dau $5$, fiindcă $f(1)=1$, dar în general $f(u)\cdot f(v)\ne f(uv)$: $f(2)\cdot f(3)=15$, iar $f(6)=11$. Altă greșeală: valorile se adună, $f(1)+f(3)=6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Membrul drept este $2\ge 0$, deci ridicarea la pătrat păstrează soluțiile, cu condiția $5x-6\ge 0$: $$5x-6=2^2=4\text{(3 p)}.$$ Rezultă $5x=10$, adică $\mathbf{x}=2$. Verificare: $5\cdot 2-6=4\ge 0$ și $\sqrt{4}=2$, deci soluția convine (2 p).

(Capcană: $2$ nu se ridică la pătrat și rămâne $5x-6=2$, deci $x=\frac{8}{5}$; dar pentru acest $x$ radicalul este $\sqrt{2}$, nu $2$. Altă greșeală: se uită verificarea; aici ea reușește, dar la alte ecuații cu radical poate respinge o soluție.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, adică $99-10+1=90$ de numere; numărul cazurilor posibile este $90$ (2 p).

Multiplii lui $25$ cu două cifre sunt $25\cdot 1=25$, $25\cdot 2=50$ și $25\cdot 3=75$; următorul, $25\cdot 4=100$, are trei cifre. Numărul cazurilor favorabile este $3$ (2 p).

Probabilitatea este $$p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(1 p)}.$$

(Capcană: se iau $100$ de cazuri posibile, numerele $0,1,\dots ,99$, și iese $\frac{3}{100}$; dar numerele de două cifre încep de la $10$, nu de la $0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijloc și distanță.

Mijlocul lui $[BC]$ are coordonatele semisumelor: $$\left(\frac{0+0}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right)=(0,0),\text{ adica˘ originea }O\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $A(4,0)$ la origine este $$AO=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{16}=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A$ se află pe axa $Ox$, la $4$ unități de origine. Capcană: se calculează $AB$ în loc de $AO$; $AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, cu $B$ în loc de mijloc.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinus din cosinus.

Pătratele sinusului și cosinusului aceluiași unghi au suma $1$, iar $\cos x=\frac{1}{4}$, deci: $${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\text{(3 p)}.$$ Unghiul $x$ este în intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, unde sinusul este pozitiv, deci $$\sin x=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se scade direct $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, fără pătrate; dar ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{10}{16}$, nu $1$. Valoarea $-\frac{\sqrt{15}}{4}$ verifică la fel egalitatea pătratelor, dar e negativă, deci nu poate fi sinusul unui unghi din $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este produsul de pe diagonala principală minus cel de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& 1\end{array}\right|=4\cdot 1-(-3)\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=4+6=10\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită minusul din $-3$ și iese $4\cdot 1-3\cdot 2=-2$.)

b) (5 p) Se scriu matricele cerute: $B(5)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -1& 5\end{array}\right)$ și $B(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$. Atunci $$2B(5)+B(-1)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ -2& 10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ -3& 9\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pentru membrul drept, $B(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$, deci $$3B(3)=\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ -3& 9\end{array}\right)=2B(5)+B(-1)\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $B(x)=x{I}_2+J$, cu $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$; atunci $2B(5)+B(-1)=(10-1)I_2+3J=3(3I_2+J)=3B(3)$. Capcană: $B(-1)$ se scrie cu $x=1$; suma ar fi $\left(\begin{array}{cc}11& 3\\ -3& 11\end{array}\right)$, diferită de $3B(3)$.)

c) (5 p) Se calculează produsul $A\cdot B(x)$, rând cu coloană, și diferența cu $B(4x)=\left(\begin{array}{cc}4x& 1\\ -1& 4x\end{array}\right)$: $$A\cdot B(x)-B(4x)=\left(\begin{array}{cc}4x+3& 4-3x\\ 2x-1& 2+x\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4x& 1\\ -1& 4x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3-3x\\ 2x& 2-3x\end{array}\right),\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$ Determinantul este $3(2-3x)-(3-3x)\cdot 2x=6x^2-15x+6$ (3 p).

Ecuația $6x^2-15x+6=0$ are $\Delta =(-15{)}^2-4\cdot 6\cdot 6=225-144=81$ și rădăcinile $\frac{15\pm 9}{12}$, adică $2$ și $\frac{1}{2}$. Numărul cerut este întreg, deci $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $x=2$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 4& -4\end{array}\right)$, cu determinantul $3\cdot (-4)-(-3)\cdot 4=0$. Capcană: se păstrează și rădăcina $\frac{1}{2}$; ea anulează determinantul, dar nu este număr întreg.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=4$ în formula legii: $$2\ast 4=2(4-2)+4(2-2)\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 4=2\cdot 2+4\cdot 0=4\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: prin dezvoltare, $x\ast y=2xy-2x-2y$, iar $2\ast 4=16-4-8=4$. Legea nu depinde de ordine: $4\ast 2=4\cdot 0+2\cdot 2=4$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$ cei doi termeni sunt egali: $$x\ast x=x(x-2)+x(x-2)=2x(x-2),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Produsul $2x(x-2)$ este nul când un factor este nul: $\mathbf{x}\in \{0,2\}$ (2 p).

(Probă: $0\ast 0=0$ și $2\ast 2=2\cdot 0+2\cdot 0=0$. Capcană: se împarte egalitatea la $x$; rămâne $2(x-2)=0$, deci doar $x=2$, iar soluția $x=0$ se pierde.)

c) (5 p) Prima compunere nu depinde de $x$: $x\ast 1=x(1-2)+1\cdot (x-2)=-x+x-2=-2$. Atunci $$(x\ast 1)\ast (x+1)=(-2)\ast (x+1)=-2(x-1)+(x+1)(-4)=-6x-2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-6x-2=4$ dă $-6x=6$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=-1$ avem $(-1\ast 1)\ast 0=(-2)\ast 0=-2(0-2)+0=4$. Capcană: legea nu e asociativă; dacă parantezele se pun altfel, $x\ast (1\ast (x+1))$, avem $1\ast (x+1)=-2$ și apoi $x\ast (-2)=-6x+4$, care ar da $x=0$ în loc de $x=-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, limită.

a) (5 p) Se aplică formula câtului, cu $u=2$ și $v=2x^2+1$, unde $u^{\prime }=0$ și $v^{\prime }=4x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{0\cdot (2x^2+1)-2\cdot 4x}{(2x^2+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{-8x}{{\left(2x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=2{\left(2x^2+1\right)}^{-1}$, iar derivata funcției compuse este $-2{\left(2x^2+1\right)}^{-2}\cdot 4x$. Capcană: derivata constantei $2$ se scrie $2$, nu $0$; sau derivata numitorului se ia $2x$ în loc de $4x$, uitând factorul $2$.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $0$; ordonata și panta sunt $$f(0)=\frac{2}{0+1}=2,f^{\prime }(0)=\frac{-8\cdot 0}{1^2}=0\text{(2 p)}.$$ Tangenta are ecuația $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y-2=0$: $$\mathbf{y}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2x^2+1\ge 1$, deci $f(x)\le 2$ pentru orice $x$, iar graficul atinge dreapta $y=2$ în $x=0$. Capcană: se scrie $y=0$; dar tangenta trece prin punctul $(0,2)$, nu prin origine.)

c) (5 p) Produsul este $xf(x)\ln x=\frac{2x\ln x}{2x^2+1}$. Pentru $x\to +\infty$ ambele părți ale fracției cresc nemărginit, deci forma este $\frac{\infty }{\infty }$ și regula lui l'Hôpital poate fi aplicată; derivatele sunt $2\ln x+2$ la numărător și $4x$ la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x\ln x}{2x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\ln x+2}{4x}\text{(3 p)}.$$ Forma rămâne $\frac{\infty }{\infty }$; derivatele sunt acum $\frac{2}{x}$ și $4$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\ln x+2}{4x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2/x}{4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2x}=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $xf(x)\to 0$ și $\ln x\to +\infty$; produsul $0\cdot \infty$ este caz de nedeterminare, deci nu se poate scrie direct $0$. Altă cale: împărțind la $x^2$, expresia este $\frac{2\cdot \frac{\ln x}{x}}{2+\frac{1}{x^2}}$, iar $\frac{\ln x}{x}\to 0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Termenii $x^3$ și $1$ dispar: $f(x)-x^3-1=6x$. Atunci $${\int }_1^2\left(f(x)-x^3-1\right)dx={\int }_1^{2}6xdx=3x^2{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=3\cdot 4-3\cdot 1=12-3=9\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $6x$ se scrie $6x^2$, uitând împărțirea la $2$; atunci s-ar obține $6\cdot 4-6\cdot 1=18$.)

b) (5 p) Numitorul este $f(x)-6x=x^3+1$. Derivata lui $x^3+1$ este $3x^2$, deci $\frac{x^2}{x^3+1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\left(x^3+1\right)}^{\prime }}{x^3+1}$, iar o primitivă este $\frac{1}{3}\ln \left(x^3+1\right)$: $${\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\ln \left(x^3+1\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{3}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\frac{1}{3}\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Probă numerică: $\frac{1}{3}\ln 2\approx 0,2310$. Capcană: integrala unui cât nu este câtul integralelor; ${\int }_0^1{x}^{2}dx/{\int }_0^1\left(x^3+1\right)dx=\frac{1/3}{5/4}=\frac{4}{15}\approx 0,2667$ nu coincide cu $\frac{1}{3}\ln 2$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $\sqrt{x}$ în $f$: $f\left(\sqrt{x}\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^3+6\sqrt{x}+1=x\sqrt{x}+6\sqrt{x}+1$. Cu $x\sqrt{x}=x^{3/2}$ și $\sqrt{x}=x^{1/2}$, primitivele sunt $\frac{2}{5}{x}^{5/2}$, $4x^{3/2}$ și $x$: $${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x}\right)dx=\left(\frac{2}{5}{x}^{5/2}+4x^{3/2}+x\right){|}_0^1=\frac{2}{5}+4+1=\frac{27}{5}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\frac{a^3}{5}=\frac{27}{5}$ dă $a^3=27$, deci $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Probă numerică: $\frac{27}{5}=5,4$. Capcană: $f\left(\sqrt{x}\right)$ se confundă cu $\sqrt{f(x)}$ sau cu $f(x)\sqrt{x}$; în $x=4$, $f(\sqrt{4})=f(2)=21$, dar $\sqrt{f(4)}=\sqrt{89}$ și $f(4)\cdot \sqrt{4}=178$.)

Pentru părinți și profesori

Ce găsești aici. Este lucrarea de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2021 la matematică M_tehnologic, Varianta 1, cu baremul oficial și cu rezolvarea fiecărei cerințe. Documentele poartă în antet Examenul național de bacalaureat 2021, Proba E. c) și numele Ministerului Educației, al doilea rând fiind Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Subiectul se adresează candidaților din filiera tehnologică (servicii, resurse, tehnic, cu toate calificările profesionale); pe site îl numim și M3. Enunțurile sunt reproduse întocmai, iar tot restul — rezolvări, observații, ghidaj — a fost scris de noi; din barem am păstrat numai punctele de pe fiecare rând.

Alcătuirea lucrării. Pe foaie sunt scrise trei reguli: subiectele sunt toate obligatorii, durata efectivă a lucrului este de trei ore, iar oficiul adaugă zece puncte. Primul subiect are șase cerințe scurte, iar următoarele două au câte două probleme cu trei subpuncte. Baremul are în total 37 de rânduri punctate: câte două pentru fiecare cerință sau subpunct, în afară de cerința 4, care are trei.

Unde se află fiecare cerință în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. La examen, fracțiile ordinare cad sub operațiile cu numere reale, adică în clasa a IX-a. Dintre unitățile școlare noi ale clasei a IX-a lipsește una despre numere reale, deci tema o tratează „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Programa de examen așază ecuațiile cu radicali în clasa a X-a; școala nouă le lasă pe grafic ori pe seama mijloacelor digitale. Ridicarea la pătrat urmată de verificare, tehnica de la cerința 3, e predată în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Reperul cartezian și distanța dintre două puncte sunt la examen în clasa a X-a; programa școlară nouă le predă în clasa a IX-a. Mijlocul unui segment nu e numit în lista conținuturilor de examen, deși cerința 5 îl folosește; programa școlară nouă îl are în clasa a IX-a, la geometria analitică. Pagina urmează clasa din programa de examen.
• Nota 4. La examen, trigonometria cu funcțiile ei și cu formulele trigonometrice stă în clasa a IX-a. Programa școlară nouă pentru clasa a IX-a conține formula fundamentală și reducerile la primul cadran, deci cerința 6 e acoperită de lecțiile școlare.

Ce are special varianta 1. Cerința 4 e singura din Subiectul I al cărei barem are trei rânduri punctate, nu două: cazurile posibile, cazurile favorabile și raportul lor. La Subiectul al II-lea, determinantul de la 7.c) iese un trinom de gradul al doilea în $x$, cu două rădăcini, iar cuvântul „întreg" din enunț alege una singură. Legea de compoziție de la a doua problemă dă același rezultat dacă își schimbă între ele argumentele, iar la 8.c) prima compunere dă un număr constant, $-2$, care apoi intră în a doua. La Subiectul al III-lea, limita de la 9.c) e o nedeterminare de forma $0\cdot \infty$ care se rezolvă cu regula lui l'Hôpital; la ultima problemă, polinomul $f$ apare de trei ori: o dată redus, o dată prin $f(x)-6x$ și o dată cu argumentul $\sqrt{x}$.

Cum îți organizezi lucrul:

• Timp: trei ore. Dacă păstrezi 10 minute pentru verificarea finală, rămân 170 de minute pentru 90 de puncte, adică un pic sub două minute pe punct. Cerința 4 are rânduri mai mici, deci merge repede dacă numerele de două cifre sunt scrise corect.
• Redactare: cele mai multe subpuncte au două rânduri, de 3 + 2 sau 2 + 3 puncte; la cerința 4, trei rânduri, de 2 + 2 + 1 puncte.
• Reguli tipărite pe barem: orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, și când diferă de cea din barem; punctele nu se fracționează; nota este totalul împărțit la zece.
• Capcane de redactare: la 3, soluția scrisă fără verificarea condiției de sub radical; la 4, numerele de două cifre numărate de la $0$; la 6, sinusul fără precizarea cadranului; la 7.c), soluția $\frac{1}{2}$ păstrată deși cerința cere un număr întreg; la 8.b), împărțirea la $x$, care pierde soluția $0$; la 9.c), $0\cdot \infty$ scris direct ca $0$.

Cum citești rezultatul. Nota 6 se atinge cu 50 de puncte din 90, la care se adaugă cele 10 din oficiu. Sub 50, refă întâi cerințele Subiectului I și subpunctele a), b). Între 50 și 70 de puncte, uită-te la subpunctele c), unde enunțul cere o idee în plus. De la 70 în sus (nota 8 cu oficiul), rămân de lucrat viteza și curățenia scrisului.

Formule folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$; o ecuație $\sqrt{u}=v$ cu $v\ge 0$ se ridică la pătrat și se verifică; probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile; mijlocul unui segment are semisumele coordonatelor capetelor; pătratele sinusului și cosinusului aceluiași unghi au suma $1$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; $kM$ înmulțește fiecare element cu $k$; produsul de matrice se face „rând cu coloană".
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x=a$ este $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{\infty }{\infty }$: $\lim \frac{u}{v}=\lim \frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}$, când limita din dreapta există; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|$.

Despre litere. Litera $f$ numește trei funcții: $f(x)=2x-1$ la cerința 2, $f(x)=\frac{2}{2x^2+1}$ la cerința 9 și $f(x)=x^3+6x+1$ la cerința 10. Litera $A$ e punct la cerința 5 (cu coordonatele $(4,0)$) și matrice la cerința 7. Litera $B$ e punct la cerința 5 și o familie de matrice, $B(x)$, la cerința 7. Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos e luat din barem; la clasă spunem „cerința".