Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2015 (varianta 8) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)\cdot \frac{20}{7}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(a,0)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3}=4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}$, acesta să fie multiplu de $15$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,2)$ și $B(4,6)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x=\frac{12}{13}$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{5}{13}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A+B=5C$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $AB+BA+4I_2=25C$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+4x+4y+12$.

a) (5 puncte) Arătați că $5\circ (-4)=-4$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+4)(y+4)-4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+3x^2+5$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=6x(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)-2x^3}$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+3x^2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-3x^2\right)dx=15$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=2015$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, $n>1$, știind că ${\int }_1^n\frac{f(x)}{x^2}dx=9$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Rândurile punctate urmează documentul oficial al sesiunii iunie 2015 (Varianta 8): două rânduri la fiecare cerință și subpunct de 5 p, cu două excepții — itemul 4 (1 + 2 + 2) și subpunctul 9.c) (2 + 1 + 1 + 1). Redactarea rezolvărilor, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — adunare și înmulțire de fracții.

Fracțiile se aduc la numitorul comun $10$: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}\text{(3 p)}.$$ Numărul $7$ se simplifică între numărătorul și numitorul celor două fracții: $$\frac{7}{10}\cdot \frac{20}{7}=\frac{20}{10}=2\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)\cdot \frac{20}{7}=\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{7}+\frac{1}{5}\cdot \frac{20}{7}=\frac{10}{7}+\frac{4}{7}=2$. Capcană: numărătorii și numitorii se adună separat, $\frac{1+1}{2+5}=\frac{2}{7}$, deși suma este cel puțin $\frac{1}{2}>\frac{2}{7}$; sau se înmulțesc, $\frac{1}{10}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

Punctul $A(a,0)$ se află pe grafic exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisă, adică $f(a)=0$; cu $f(a)=a-2$: $$f(a)=0⟺a-2=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(2)=2-2=0$, deci $A(2,0)$ este chiar punctul în care graficul taie axa $Ox$. Capcană: se scrie $f(0)=a$, adică punctul $(0,a)$, și iese $a=-2$, dar $A$ are ordonata $0$, nu abscisa; sau se pune $f(a)=-2$, valoarea lui $f(0)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Ambii membri se ridică la pătrat; în dreapta apare $4^2=16$: $$x+3=16\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=13$. Verificare: $\sqrt{13+3}=\sqrt{16}=4$, deci valoarea $\mathbf{x}=13$ este soluție (2 p).

(Capcană: se ridică la pătrat numai membrul stâng și se lasă $x+3=4$, cu $x=1$, dar $\sqrt{1+3}=2\ne 4$; sau $4^2$ se scrie $8$, ceea ce dă $x=5$, iar $\sqrt{5+3}=\sqrt{8}\ne 4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor lui $M$, adică $9$ (1 p).

Dintre cele nouă numere, multipli de $15$ sunt $30$, $60$ și $90$, adică $3$ cazuri favorabile (2 p).

Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: $$p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(⚠️ Divergență față de documentul oficial: primul rând al baremului numește $A$ mulțimea cu $9$ elemente, deși enunțul o numește $M$; al doilea rând spune $M$. Pagina scrie $M$ în ambele locuri. Capcană: mulțimea se socotește cu $10$ elemente și se scrie $\frac{3}{10}$; sau se calculează $\frac{6}{9}$, probabilitatea ca numărul să nu fie multiplu de $15$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Abscisa mijlocului este media absciselor capetelor: $$x_M=\frac{4+4}{2}=4\text{(2 p)}.$$ Ordonata este media ordonatelor, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$: $$y_M=\frac{2+6}{2}=4,M(4,4)\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se uită împărțirea la $2$ și se obține $(8,8)$; sau abscisele se scad, $\frac{4-4}{2}=0$; sau ordonatele se scad, $\frac{6-2}{2}=2$. Verificare: $A$ și $B$ au aceeași abscisă, deci segmentul e vertical, iar mijlocul lui are tot abscisa $4$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinus din cosinus.

Se folosește ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, cu $\cos x=\frac{5}{13}$: $${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sinusul este pozitiv, deci este rădăcina pozitivă a lui $\frac{144}{169}$: $$\sin x=\frac{12}{13}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $5$, $12$ și $13$ sunt laturile unui triunghi dreptunghic, fiindcă $5^2+12^2=169=13^2$; unghiul $x$ are cateta alăturată $5$ și ipotenuza $13$. Capcană: se scrie $1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13}$, fără pătrat; sau ${\left(1-\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{64}{169}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul se scrie ca diferență între produsul diagonalei principale și cel al diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-2\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=4-6=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună, $4+6=10$; sau diagonalele se amestecă, $1\cdot 3-2\cdot 4=-5$.)

b) (5 p) Suma se face element cu element: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1+4& 2+3\\ 3+2& 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ 5& 5\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Factorul $5$ se scoate din toate elementele: $$A+B=5\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=5C\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se calculează produsul $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ 20& 13\end{array}\right)$ în loc de sumă; sau diferența, $\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Produsele se fac linie cu coloană, în ambele ordini: $$AB=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ 20& 13\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}13& 20\\ 5& 8\end{array}\right),4I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Suma lor are toate elementele egale cu $25$: $$AB+BA+4I_2=\left(\begin{array}{cc}25& 25\\ 25& 25\end{array}\right)=25C\text{(2 p)}.$$

(Matricele $AB$ și $BA$ sunt diferite: $AB\ne BA$. Capcană: se consideră $BA=AB$ și suma ar deveni $2AB+4I_2=\left(\begin{array}{cc}20& 10\\ 40& 30\end{array}\right)$; sau produsele se fac element cu element, $\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 4\end{array}\right)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=5$ și $y=-4$ în definiție: $$5\circ (-4)=5\cdot (-4)+4\cdot 5+4\cdot (-4)+12\text{(3 p)}.$$ $$=-20+20-16+12=-4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnele lui $-4$ se pierd și se calculează $5\cdot 4+4\cdot 5+4\cdot 4+12=68$; sau coeficienții $4$ nu se înmulțesc cu operanzii, $5\cdot (-4)+4+4+12=0$.)

b) (5 p) Termenul liber se scrie $12=16-4$, ca să apară $16=4\cdot 4$, termenul liber al produsului $(x+4)(y+4)$: $$x\circ y=xy+4x+4y+16-4\text{(2 p)}.$$ Primii patru termeni se grupează prin factor comun: $$xy+4x+4y+16=x(y+4)+4(y+4)=(x+4)(y+4),\text{ deci }x\circ y=(x+4)(y+4)-4\text{(3 p)}.$$

(Verificare: la desfacere, $(x+4)(y+4)-4=xy+4x+4y+16-4$. Capcană: pentru $12$ se scrie diferența $16-8$, care este $8$, nu $12$; sau $xy+4x+4y+16$ se descompune greșit, cu semne minus în ambele paranteze, ceea ce ar da termenii $-4x$ și $-4y$.)

c) (5 p) Din b), cu $y=x$: $$x\circ x=(x+4{)}^2-4\text{(2 p)}.$$ Ecuația $(x+4{)}^2-4=x$ se desface la $x^2+7x+12=0$, adică $(x+4)(x+3)=0$: $${\mathbf{x}}_1=-4,{\mathbf{x}}_2=-3\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(-4)\circ (-4)=0-4=-4$ și $(-3)\circ (-3)=1-4=-3$. Capcană: termenul $x$ nu se mută în stânga și se rezolvă $(x+4{)}^2-4=0$, cu $x=-2$ sau $x=-6$; sau se uită termenul liber și se rezolvă $x^2+7x=0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, monotonie.

a) (5 p) Se derivează fiecare termen; derivata constantei $5$ este $0$: $$f^{\prime }(x)={\left(2x^3\right)}^{\prime }+{\left(3x^2\right)}^{\prime }+5^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=6x^2+6x=6x(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f^{\prime }(-1)=6\cdot (-1)\cdot 0=0$. Capcană: constanta se păstrează la derivată, $6x^2+6x+5$; sau coeficienții se calculează fără factorul exponentului, $2x^2+3x$.)

b) (5 p) Prin scăderea termenului $2x^3$, numitorul devine $f(x)-2x^3=3x^2+5$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)-2x^3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x(x+1)}{3x^2+5}\text{(2 p)}.$$ Raportul coeficienților dominanți ai celor două polinoame de gradul $2$ este $\frac{6}{3}$: $$=2\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se uită diferența și se ia numitorul $f(x)$, de gradul $3$, ceea ce ar duce la limita $0$; sau se scade cu semn greșit și numitorul devine $4x^3+3x^2+5$.)

c) (5 p) Rădăcinile derivatei sunt $$f^{\prime }(x)=0⟺x_1=-1,x_2=0\text{(2 p)}.$$ Pe $(-\infty ,-1]$, factorii $x$ și $x+1$ sunt amândoi negativi sau nuli, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ (1 p).

Pe $[-1,0]$, $x\le 0$, iar $x+1\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $[-1,0]$ (1 p).

Pe $[0,+\infty )$, ambii factori sunt pozitivi sau nuli, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ este crescătoare pe $[0,+\infty )$ (1 p).

(Probă pe câte un punct: $f^{\prime }(-2)=12>0$, $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}<0$, $f^{\prime }(1)=12>0$. Capcană: se păstrează rădăcinile $1$ și $0$, cu semnele schimbate; sau semnul lui $f^{\prime }$ se studiază doar pe $(0,+\infty )$ și $f$ este declarată crescătoare pe $\mathbb{R}$, deși $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)<0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și ecuație cu limita necunoscută.

a) (5 p) Din $f(x)=4x^3+3x^2$ rezultă $f(x)-3x^2=4x^3$: $${\int }_1^2\left(f(x)-3x^2\right)dx={\int }_1^{2}4x^{3}dx=x^4{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=2^4-1^4=16-1=15\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se alege primitiva $4x^4$, dar derivata ei este $16x^3$; sau se ia derivata în loc de primitivă, $12x^2$.)

b) (5 p) Primitivele lui $f$ sunt $$F(x)=x^4+x^3+c,c\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Din $F(1)=1+1+c=2015$ rezultă $c=2013$: $$\mathbf{F}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^4+{\mathbf{x}}^3+2013\text{(3 p)}.$$

(Probă: $F(1)=2+2013=2015$ și $F^{\prime }(x)=4x^3+3x^2$. Capcană: se împarte în plus la exponent, $\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}$, a cărei derivată este $x^3+x^2$.)

c) (5 p) Pentru $x\ne 0$, deci pe tot intervalul $[1,n]$, raportul se simplifică, $\frac{f(x)}{x^2}=4x+3$, iar integrala devine $${\int }_1^n\frac{f(x)}{x^2}dx={\int }_1^n(4x+3)dx=\left(2x^2+3x\right){|}_1^n=2n^2+3n-5\text{(3 p)}.$$ Ecuația $2n^2+3n-5=9$ se scrie $2n^2+3n-14=0$, adică $(2n+7)(n-2)=0$; rădăcina $-\frac{7}{2}$ nu este număr natural, deci $$\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $2\cdot 4+3\cdot 2-5=9$. Capcană: valoarea primitivei în $1$ nu se scade și se obține $2n^2+3n$; sau se adună, iar termenul liber devine $+5$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde Varianta 8 a probei de matematică tehnologic (în acte, Matematică M_tehnologic, în vorbirea din școli „M3") de la Bacalaureatul din iunie 2015. Foaia oficială poartă antetul Ministerului Educației și Cercetării Științifice și al Centrului Național de Evaluare și Examinare și e destinată filierei tehnologice (profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale). Textul cerințelor e cel oficial, fără nicio abatere; soluțiile, probele și ghidajul le-am scris noi, iar din documentul de notare am păstrat numai împărțirea punctelor.

O notă despre documentul oficial. La cerința 4, primul rând al baremului numește mulțimea $A$, deși enunțul o numește $M$; rândul următor spune corect $M$. Pagina folosește $M$ peste tot (vezi „⚠️ Divergență" la itemul 4).

Rânduri punctate care ies din tipar. La cerința 4 baremul are trei rânduri (1 + 2 + 2), iar la 9.c) patru (2 + 1 + 1 + 1), pentru că fiecare interval de monotonie primește rândul lui. Toate celelalte cerințe și subpuncte au două rânduri; lucrarea are astfel 39 de rânduri punctate, cu totalul tot 90.

Tema fiecărei cerințe în programa de examen. Clasa trecută în tabel este cea a programei de examen (OMEN 4430/2014, anexa 2, coloana M_tehnologic).

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Programa de examen trece ecuațiile cu radicali de ordinul $2$ la clasa a X-a. În programa școlară nouă pentru clasele IX–X nu figurează astfel de ecuații; acolo ecuațiile se rezolvă pe grafic.
• Nota 2. Programa de examen numește la clasa a X-a coordonatele punctelor și distanța dintre ele, nu și mijlocul unui segment. Programa școlară nouă are mijlocul segmentului în geometria analitică a clasei a IX-a.
• Nota 3. Lista de conținuturi a programei de examen nu cuprinde identitatea fundamentală a trigonometriei (suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este $1$); în schimb numește, la clasa a IX-a, cercul trigonometric și definiția funcțiilor trigonometrice, de unde identitatea rezultă.

Ce a ieșit special. La cerința 1, suma $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$ se simplifică cu $7$ din fracția $\frac{20}{7}$. Mulțimea de la cerința 4 are nouă elemente, iar multiplii lui $15$ dintre ele sunt $30$, $60$ și $90$. Punctele $A$ și $B$ de la cerința 5 au aceeași abscisă, $4$, deci mijlocul lor are tot abscisa $4$. La cerința 6, numerele $5$, $12$, $13$ sunt o terță pitagorică. La Subiectul al II-lea, $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt matrice diferite, dar suma lor, mărită cu $4I_2$, are toate elementele egale cu $25$. Legea $x\circ y=(x+4)(y+4)-4$ are pe $-4$ ca element care absoarbe orice număr, de aceea $5\circ (-4)=-4$ și una dintre soluțiile ecuației de la 8.c) este $-4$. La Subiectul al III-lea, derivata $6x(x+1)$ se anulează în $-1$ și $0$, iar valorile funcției în aceste puncte sunt $6$ și $5$. În ultima problemă, câtul $\frac{f(x)}{x^2}$ se simplifică la un polinom de gradul întâi.

Planul lucrării. Cele 90 de puncte ale cerințelor se împart în trei grupe egale de 30. Un plan de repartizare a celor 180 de minute: Subiectul I în 50 de minute, câte 60 pentru celelalte două subiecte și 10 pentru recitire.

Calculul notei. Nota este totalul împărțit la $10$. O notă de $9$ înseamnă $90$ de puncte, adică $80$ din cele $90$ ale cerințelor, la care se adaugă $10$ din oficiu.

Greșeli de redactare de evitat: la 4, numărarea a $10$ elemente în $M$ în loc de $9$; la 5, coordonatele mijlocului scrise ca sume, fără împărțirea la $2$; la 7.c), $A\cdot B$ considerat egal cu $B\cdot A$; la 8.a), semnul lui $-4$ pierdut în produsul $5\cdot (-4)$; la 9.c), intervalele date fără a justifica semnul lui $f^{\prime }$ pe fiecare dintre ele; la 10.c), soluția $-\frac{7}{2}$ păstrată, deși $n$ este număr natural, $n>1$.

Formulele folosite în varianta 8

• Subiectul I. $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$; $\sqrt{u}=v$ cu $v\ge 0$ duce la $u=v^2$; probabilitatea este $\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; mijlocul segmentului $AB$ este $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul $P\cdot Q$ se face linie cu coloană, iar în general $P\cdot Q\ne Q\cdot P$; $(x+a)(y+a)=xy+ax+ay+a^2$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; pentru un raport de polinoame de același grad, limita la $+\infty$ este raportul coeficienților dominanți; $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă $f$ crescătoare pe el, iar $f^{\prime }\le 0$ înseamnă $f$ descrescătoare; pentru $k\ne -1$, puterea $x^k$ are ca primitivă expresia cu exponentul $k+1$, împărțită la $k+1$.

Despre litere. La cerința 2, $f$ este $x-2$; la 9, $2x^3+3x^2+5$; la 10, $4x^3+3x^2$. Litera $A$ denumește trei obiecte diferite: punctul $A(a,0)$ la cerința 2, punctul $A(4,2)$ la 5 și matricea de la 7. Litera $M$ este mulțimea de la cerința 4 și mijlocul segmentului $AB$ la 5. La fel, $B$ este punctul $B(4,6)$ la cerința 5 și o matrice la 7, unde $C$ este matricea cu toate elementele egale cu $1$. Numărul real cerut la 2 este $a$; $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare în legea de la 8, iar $n$ este limita de sus necunoscută de la 10.c).