Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2016 (varianta 8) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)\cdot \frac{10}{3}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(1,0)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+1}=5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}$, acesta să fie multiplu de $30$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,5)$ și $B(7,5)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Dacă $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{5}{13}$, arătați că $\mathrm{tg}x=\frac{12}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $B\cdot B+A=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, pentru care $A+B=\left(\begin{array}{cc}{2}^x& 0\\ 0& 4^y\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-2X+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=-2$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $(x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2)=-3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+3x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(1-x)(1+x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=-9$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\le 4$, pentru orice $x\in [-1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)-2\right)dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx=2e-1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{6-a}\left(f(x)-4\right)dx$.

Barem și răspunsuri

Suma: 90 p pentru cerințe plus 10 p din oficiu, adică 100 p. Cerința 4 are trei rânduri (1 p + 2 p + 2 p), iar celelalte cinci cerințe ale Subiectului I au câte două. Problemele 7–10 valorează câte 15 p, în trei subpuncte de 5 p; subpunctele au două rânduri, în afară de 9.c) (patru rânduri: 2 p + 1 p + 1 p + 1 p) și de 10.c) (trei rânduri: 2 p + 2 p + 1 p). Împărțirea pe rânduri este cea a variantei 8 din iunie-iulie 2016; justificările, verificările și comentariile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Fracțiile din paranteză se aduc la numitorul $10$: $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$ și $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$, deci $$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}\text{(3 p)}.$$

Rezultatul se înmulțește cu $\frac{10}{3}$, care este inversul lui $\frac{3}{10}$: $$\frac{3}{10}\cdot \frac{10}{3}=\frac{3\cdot 10}{10\cdot 3}=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: înmulțirea aplicată numai lui $\frac{1}{5}$; atunci $\frac{1}{5}\cdot \frac{10}{3}=\frac{2}{3}$, iar $\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}$. În enunț, înmulțirea privește întreaga paranteză.)

Exercițiul 2. (5 p) — parametrul unei funcții.

Un punct aparține graficului dacă ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui. Pentru $A(1,0)$ se cere $f(1)=0$, adică $$1-a=0\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $a=1$, $f(x)=x-1$, iar $f(1)=0$, așa că dreapta trece prin $(1,0)$. Capcană: coordonatele așezate invers, $f(0)=1$; din $0-a=1$ ar ieși $a=-1$, dar atunci punctul de pe grafic ar fi $(0,1)$, nu $A$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul are sens pentru $x+1\ge 0$. Se ridică ecuația la pătrat: $$x+1=5^2=25\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=24$; verificare: $24+1=25\ge 0$ și $\sqrt{25}=5$, deci $\mathbf{x}=24$ (2 p).

(Capcană: pătratul uitat; din $x+1=5$ ar ieși $x=4$, dar $\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, nu $5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Se poate alege oricare dintre numerele lui $M$, scrise de la $10$ la $90$ din zece în zece; acestea sunt cazurile posibile, în număr de $9$ (1 p).

Un număr din $M$ se scrie $10k$, cu $k$ de la $1$ la $9$. El se împarte la $30$ exact când $k$ se împarte la $3$, adică pentru $k=3,6,9$. Cazurile favorabile sunt $30$, $60$ și $90$, în număr de $3$ (2 p).

$$p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

⚠️ Divergență față de documentul oficial: primul rând al baremului scrie „mulțimea $A$ are $9$ elemente", dar enunțul numește mulțimea $M$; rândul al doilea vorbește deja de „mulțimea $M$". Rezultatele sunt corecte; litera $A$ din primul rând este o scăpare de redactare a documentului oficial.

(Capcană: divizorii lui $30$ în loc de multipli; în $M$ sunt doar $10$ și $30$, iar raportul $\frac{2}{9}$ nu răspunde întrebării.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Fiecare coordonată a mijlocului este media coordonatelor capetelor. Pentru abscisă: $$x_M=\frac{3+7}{2}=5\text{(3 p)}.$$ Pentru ordonată: $$y_M=\frac{5+5}{2}=5,\text{ deci }\mathbf{M}(5,5)\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci mijlocul este pe dreapta $y=5$, la jumătatea distanței dintre abscisele $3$ și $7$. Capcană: diferența în loc de sumă; $\frac{7-3}{2}=2$ este jumătate din lungimea segmentului, nu abscisa mijlocului.)

Exercițiul 6. (5 p) — tangenta dintr-un cosinus.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}.$$ Cum $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, sinusul este pozitiv: $\sin x=\frac{12}{13}$ (3 p).

Tangenta este raportul sinus supra cosinus: $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{12}{13}\cdot \frac{13}{5}=\frac{12}{5}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: raportul inversat, $\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{5}{12}$, este cotangenta, nu tangenta.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Produsul elementelor diagonalei principale minus produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1\cdot 0-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnul lui $-1$ pierdut; din $1\cdot 0-1\cdot 1$ ar ieși $-1$.)

b) (5 p) Produsul $B\cdot B$, rând cu coloană: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+(-1)\cdot 1& 0\cdot (-1)+(-1)\cdot 1\\ 1\cdot 0+1\cdot 1& 1\cdot (-1)+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se adaugă $A$: $$B\cdot B+A=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(2 p)}.$$

(Probă: fiecare element al lui $B\cdot B$ este opusul elementului de pe aceeași poziție din $A$ ($-1$ față de $1$, $-1$ față de $1$, $1$ față de $-1$, $0$ față de $0$), deci $B\cdot B=-A$ și suma lor are numai zerouri. Capcană: $B\cdot B$ calculată element cu element, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$; nu este produsul de matrice.)

c) (5 p) Matricele se adună pe poziții: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1+0& 1+(-1)\\ -1+1& 0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $\left(\begin{array}{cc}{2}^x& 0\\ 0& 4^y\end{array}\right)$ înseamnă $2^x=1$ și $4^y=1$ (pozițiile cu $0$ sunt verificate). Cum $1=2^0=4^0$ și funcțiile $t\mapsto 2^t$ și $t\mapsto 4^t$ iau fiecare valoare o singură dată, rezultă $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{y}=0$ (3 p).

(Capcană: $2^x=1$ nu dă $x=1$; $2^1=2$, iar puterea cu exponent $0$ este cea care dă $1$. La fel, $4^1=4$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+1\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-2-2+1=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnul termenului liber; cu $-1$ în loc de $+1$ ar ieși $1-2-2-1=-4$.)

b) (5 p) Schema lui Horner, cu rădăcina $-1$ a lui $X+1$ și coeficienții $1,-2,-2,1$: primul coeficient se copiază, $1$; apoi $-2+(-1)\cdot 1=-3$; apoi $-2+(-1)\cdot (-3)=1$. Câtul are coeficienții $1,-3,1$: $$\text{caˆtul este }{\mathbf{X}}^2-3X+1\text{(3 p)}.$$ Ultima valoare este restul: $1+(-1)\cdot 1=0$, deci $$\text{restul este }0\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(X+1)\left(X^2-3X+1\right)=X^3-3X^2+X+X^2-3X+1=X^3-2X^2-2X+1$. Restul nul se vede și din $f(-1)=-1-2+2+1=0$. Capcană: rădăcina $1$ în loc de $-1$ la schemă; atunci câtul este $X^2-X-3$, iar restul este $-2$.)

c) (5 p) Din coeficienții lui $f=X^3-2X^2-2X+1$, suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui $X^2$: $$x_1+x_2+x_3=2\text{(2 p)}.$$ Atunci $x_2+x_3=2-x_1$, $x_3+x_1=2-x_2$ și $x_1+x_2=2-x_3$. Polinomul $f$ este monic, deci se scrie ca produsul factorilor $X-x_i$, cu $x_i$ rădăcinile lui; la $X=2$ aceștia devin $2-x_i$, iar produsul lor este chiar $f(2)$: $$(x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=f(2)=8-8-4+1=-3\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: cu $s_1=2$, $s_2=-2$, $s_3=-1$, produsul cerut este $s_1{s}_2-s_3=2\cdot (-2)-(-1)=-3$. Capcană: $f(-2)$ în loc de $f(2)$; $f(-2)=-11$, nu $-3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: ${\left(-x^3\right)}^{\prime }=-3x^2$, $(3x{)}^{\prime }=3$, iar constanta $2$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=-3x^2+3\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $3$, apoi diferența de pătrate $1-x^2$ se descompune: $$f^{\prime }(x)=3\left(1-x^2\right)=3(1-x)(1+x),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata constantei $2$ este $0$; dacă s-ar păstra, s-ar obține $-3x^2+5$, care nu mai este $3(1-x)(1+x)$.)

b) (5 p) Valoarea funcției în $2$ este $f(2)=-8+6+2=0$, deci numărătorul $f(x)$ este chiar $f(x)-f(2)$ și limita este definiția derivatei în $2$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\text{(3 p)}.$$ $$=f^{\prime }(2)=-3\cdot 4+3=-9\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(x)=-(x-2)(x+1{)}^2$, deci $\frac{f(x)}{x-2}=-(x+1{)}^2$ pentru $x\ne 2$, iar în $2$ valoarea este $-9$. Capcană: fără să se verifice $f(2)=0$, definiția derivatei nu se poate folosi.)

c) (5 p) Ecuația $f^{\prime }(x)=0$, adică $3(1-x)(1+x)=0$, are soluțiile $x=-1$ și $x=1$ (2 p).

Pe $[-1,1]$ factorii $1-x$ și $1+x$ sunt pozitivi sau nuli, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$: funcția $f$ este crescătoare pe $[-1,1]$ (1 p).

Pe $[1,+\infty )$, factorul $1-x$ este negativ sau nul, iar $1+x$ pozitiv, deci $f^{\prime }(x)\le 0$: funcția $f$ este descrescătoare pe $[1,+\infty )$ (1 p).

Funcția crește până în $1$ și scade după aceea, deci în $x=1$ are cea mai mare valoare pe $[-1,+\infty )$: $f(x)\le f(1)=-1+3+2=4$ (1 p).

(Probă: $f(-1)=1-3+2=0$ și $f(3)=-27+9+2=-16$ sunt valori sub $4$. Capcană: inegalitatea nu se extinde la stânga lui $-1$; $f(-3)=27-9+2=20>4$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Din $f(x)=x+2$ se obține $f(x)-2=x$, deci integrandul este $x$ (2 p). $${\int }_{-1}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $x$ este funcție impară, iar pe un interval simetric față de $0$ integrala ei este nulă. Capcană: în $-1$ pătratul este $(-1{)}^2=1$, nu $-1$; cu $-1$ s-ar obține $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.)

b) (5 p) Integrala se calculează prin părți, cu $u=x+2$ și $v^{\prime }=e^x$, deci $u^{\prime }=1$ și $v=e^x$: $${\int }_0^1{e}^x(x+2)dx=e^x(x+2){|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $3e-2$, iar al doilea, $e^x{|}_0^1=e-1$: $$(3e-2)-(e-1)=2e-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: o primitivă a integrandului este $e^x(x+1)$, fiindcă derivata acestui produs adună $e^x(x+1)$ cu $e^x$ și dă tocmai integrandul; valorile ei în $1$ și în $0$ sunt $2e$ și $1$, iar $2e-1$ confirmă rezultatul. Capcană: primitiva lui $x{e}^x$ nu este $\frac{x^2}{2}{e}^x$.)

c) (5 p) Prima integrală: $${\int }_0^a(x+2)dx=\frac{a^2}{2}+2a\text{(2 p)}.$$ A doua: $f(x)-4=x-2$, deci $${\int }_0^{6-a}(x-2)dx=\frac{(6-a{)}^2}{2}-2(6-a)\text{(2 p)}.$$ Se egalează: $\frac{a^2}{2}+2a=\frac{(6-a{)}^2}{2}-2(6-a)$. Termenii cu $\frac{a^2}{2}$ se reduc, rămâne $2a=6-4a$, deci $6a=6$ și $\mathbf{a}=1$ (1 p).

(Probă: pentru $a=1$, prima integrală este $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$, iar a doua, cu limita $5$, este $\frac{25}{2}-10=\frac{5}{2}$. Capcană: limita de sus a celei de-a doua integrale este $6-a$, nu $6$; înlocuirea ei cu $6$ schimbă ecuația.)

Pentru părinți și profesori

Despre lucrare. Aici este Varianta 8, lucrarea principală a sesiunii iunie-iulie 2016 la matematică M_tehnologic, cu baremul oficial pe rânduri și cu rezolvările noastre. Antetul foii citează ministerul și Centrul Național de Evaluare și Examinare, apoi proba E. c), disciplina matematică M_tehnologic, în cadrul bacalaureatului național din 2016. Au susținut-o elevii filierei tehnologice, din profilurile servicii, resurse și tehnic; pe site, proba apare și sub numele M3. Enunțurile din „Itemi" sunt cele din PDF, literă cu literă. Rezolvările, probele și ghidajul sunt scrise de noi, iar din documentul oficial am păstrat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Aspectul foii. Antetul anunță trei ore de lucru, obligativitatea tuturor subiectelor și zece puncte din oficiu. Subiectul I are șase cerințe, iar Subiectele II și III au câte două probleme, fiecare cu trei subpuncte.

Cerințele, pe clase, după programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Numerele reale, deci și fracțiile, sunt cerute la examen în clasa a IX-a. Programa nouă nu le dedică o unitate; site-ul le acoperă prin „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ridicarea la pătrat din cerința 3 aparține ecuațiilor cu radicali (clasa a X-a la examen). Programa nouă lucrează ecuațiile pe grafic sau digital, deci materia e în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Lista programei de examen numește reperul cartezian și distanța dintre două puncte (clasa a X-a), dar nu pomenește în mod expres mijlocul unui segment. Programa școlară nouă are „coordonatele mijlocului unui segment" în clasa a IX-a. Pagina așază cerința 5 la clasa a X-a, unde programa de examen are reperul cartezian.
• Nota 4. Subpunctul 7.c) se încheie cu ecuații exponențiale ($2^x=1$ și $4^y=1$), care în programa de examen țin de clasa a X-a; programa nouă nu le rezolvă algebric, iar materia e tot în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".

Ce are aparte această variantă. La cerința 1, cele două numere pe care le înmulțești sunt inverse unul altuia. Pe cerința 4, mulțimea are nouă numere, toate multipli de $10$, iar multiplii de $30$ sunt unul din trei: al treilea, al șaselea și al nouălea. La 7, suma $A+B$ este chiar $I_2$, iar $B\cdot B$ iese $-A$. La 8.c), produsul de trei factori devine valoarea lui $f$ în $2$. La 9.b), numitorul $x-2$ și numărătorul $f(x)$ se anulează amândouă în $2$, deci limita este o derivată. La 10.c), pătratele lui $a$ se reduc între ele și rămâne o ecuație de gradul întâi.

Cum lucrezi cu pagina:

• Orele. Din 180 de minute: 20 pentru Subiectul I, 60 pentru al II-lea, 70 pentru al III-lea, 30 pentru recitire.
• Redactarea. Se scriu toți pașii. Majoritatea cerințelor și subpunctelor au în documentul oficial câte două rânduri, dar trei locuri se abat: cerința 4 (1 + 2 + 2), subpunctul 9.c) (2 + 1 + 1 + 1) și subpunctul 10.c) (2 + 2 + 1).
• Regulile foii de barem. Soluțiile corecte pe alt drum primesc punctele cuvenite, punctele nu se rup în fracțiuni (rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limita rândului), iar nota este totalul împărțit la 10.
• Locuri unde se greșește: la 4, multiplii confundați cu divizorii; la 5, diferența în loc de sumă; la 6, tangenta scrisă ca raport inversat; la 7.c), $2^x=1$ rezolvat cu $x=1$; la 8.b), un coeficient al câtului calculat cu rădăcina $1$ în loc de $-1$; la 9.c), intervalul de monotonie extins peste $[-1,+\infty )$.
• După corectare. Pentru fiecare subpunct pierdut se scrie ce n-a funcționat: formula, un pas de calcul sau justificarea.

Totalul și nota. Un total de 60 de puncte (50 din cele 90 ale cerințelor, plus oficiul) dă nota 6, iar unul de 80 de puncte (70 din 90 plus oficiul) dă nota 8. Sub 50 de puncte din 90, greșelile se caută în Subiectul I; între 50 și 70, de lucrat sunt subpunctele c); peste 70, contează reglarea timpului.

Formule pentru fiecare subiect:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$; $f(x_0)=y_0$ dacă punctul $(x_0,y_0)$ e pe graficul lui $f$; $\sqrt{u}=c⟹u=c^2$, cu verificare; mijlocul unui segment are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor; pătratul sinusului plus pătratul cosinusului este $1$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul „rând cu coloană"; $a^u=1$ doar pentru $u=0$ (cu $a>0$, $a\ne 1$); un polinom monic de gradul $3$ este produsul factorilor $X-x_i$, cu $x_i$ rădăcinile lui, deci valoarea lui în $c$ este produsul numerelor $c-x_i$; restul împărțirii la $X+1$ este valoarea polinomului în $-1$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$; $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă $f$ crescătoare, iar $f^{\prime }\le 0$, descrescătoare; formula de integrare prin părți: integrala lui $u{v}^{\prime }$ este $uv$ minus integrala lui $u^{\prime }v$.

Despre litere. În variantă, $f$ denumește patru obiecte: funcția $x-a$ (cerința 2), polinomul $X^3-2X^2-2X+1$ (cerința 8), funcția $-x^3+3x+2$ (cerința 9) și funcția $x+2$ (cerința 10). Litera $A$ este punct la cerințele 2 și 5 și matrice la cerința 7; $B$ e punct la cerința 5 și matrice la 7. Litera $M$ este mulțimea de la cerința 4; mijlocul segmentului de la cerința 5 va fi tot un punct $M$. Litera $a$ este parametrul de la cerința 2 și limita de sus a integralei de la 10.c). Numerele „Exercițiul 1" … „Exercițiul 10" vin din documentul oficial; în comentarii ele devin „cerința 1" … „cerința 10".