Matrice inversabile și ecuații matriceale: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2024

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Matrice inversabile și ecuații matriceale, în 2010–2024: 16 cerințe din 14 probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Sunt destul de puține cât să le citești pe toate dintr-o dată, înainte de examen. În subiectele de după 2024 nu mai apare. Aproape toate cad la Subiectul al II-lea, în problemele de 15 puncte cu trei subpuncte. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Matrice inversabile și ecuații matriceale» la Bac M1

16 cerințe din cele 1.638 ale corpusului (1,0 %), în 14 probe din 91.
A apărut în 10 ani din cei 17, între 2010 și 2024.
Cade mai ales la Subiectul al II-lea (1 cerință la Subiectul I, 15 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 80 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 2,63 din 3 — stă spre subpunctele finale, cele care despart notele mari de restul.

Din cele 16 cerințe, 11 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește matrice inversabile și ecuații matriceale ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Matrice inversabile și ecuații matriceale», an cu an

2024 — 2 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, dacă matricea $A (x)$ este inversabilă, atunci și matricea $A (- x)$ este inversabilă. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră matricea $B \in M_{2, 3} (R)$ …

2021 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că, pentru orice $a \in (0, + \infty)$ , matricea $A (a)$ este inversabilă.
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, pentru orice $a \in (0, + \infty)$ , $det (A (a) + (A (a))^{- 1}) \geq 8$ , unde…

2020 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că, pentru orice număr real $a$ , matricea $A (a)$ este inversabilă.
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele întregi $a$ pentru care inversa matricei $A (a)$ are toate elementele numere întregi.

2018 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care inversa matricei $B = A (x, 0) \cdot A (x, 0)$ este matricea $A (x, 0)$ .

2016 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $m$ , pentru care matricea $A (m)$ este inversabilă.

2014 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ , $x \neq = - \frac{1}{4}$ , pentru care matricea $A (x)$ este egală cu inversa ei. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați inversa matricei $A (- 1)$ în $M_{3} (R)$ .

2013 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele întregi $x$ pentru care inversa matricei $A (x)$ are elementele numere întregi. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați inversa matricei $A (2)$ .

2012 — 1 cerință

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Se notează cu $g$ inversa funcției bijective $f : (0, + \infty) \to (4, + \infty)$ , $f (x) = 2^{x} + 3$ . Determinați $g (5)$ .

2011 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați inversa matricei $A (x)$ , unde $x \in R$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că matricea $A (x)$ este inversabilă și calculați inversa matricei $A (x)$ .

2010 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $a \in R$ pentru care toate matricele $B_{n}$ , $n \in N^{*}$ sunt inversabile.

Toate subiectele unui an, la un loc: 2024 · 2021 · 2020 · 2018 · 2016 · 2014 · 2013 · 2012.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Calculul inversei cu matricea adjunctă — clasa a XI-a
Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului — clasa a XI-a
Ecuații matriceale — clasa a XI-a
Determinantul produsului a două matrice — clasa a XI-a
Inversa unei matrice de ordin 4. Matrice cu parametru — clasa a XI-a
Ecuația Hamilton-Cayley și puterile unei matrice de ordin 2 — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Matrice inversabile și ecuații matriceale», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Matrice, determinanți și sisteme liniare mai are 3 teme cu pagină proprie:

Sisteme de ecuații liniare — 98 de cerințe
Operații cu matrice și puteri de matrice — 93 de cerințe
Determinanți — 75 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu matrice inversabile și ecuații matriceale s-au dat la Bac M1?

16 cerințe în 2010–2024, din 14 probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 10, între 2010 și 2024, dintre care 3 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

La ce subiect cade tema «Matrice inversabile și ecuații matriceale»?

La Subiectul al II-lea cad 15 din cele 16 cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Merită învățată, pentru câte puncte aduce?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 80 de puncte în 2010–2024. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,7 puncte din cele 90.

De ce se pierd puncte tocmai aici?

Fiindcă tema stă în subpunctele de final, cele care despart notele mari de restul. Dificultatea medie iese 2,63 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Calculul inversei cu matricea adjunctă, lecția care o predă de la zero, apoi Test: ecuații matriceale și Hamilton-Cayley, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.