Sisteme de ecuații liniare: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Sisteme de ecuații liniare, în 2010–2026: 98 de cerințe din 34 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul al II-lea, în problemele de 15 puncte cu trei subpuncte. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Sisteme de ecuații liniare» la Bac M1

• 98 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (6,0 %), în 34 de probe din 91.
• A apărut în 13 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
• Cade numai la Subiectul al II-lea (0 cerințe la Subiectul I, 98 la al II-lea, 0 la al III-lea).
• Aduce 490 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 2,00 din 3 — la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare.

Din cele 98 de cerințe, 58 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește sisteme de ecuații liniare ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Sisteme de ecuații liniare», an cu an

2026 — 12 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(2))=4$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a=1$, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, pentru orice $a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$, sistemul de ecuații are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(1))=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că, pentru orice număr real $a$, sistemul de ecuații are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $(x_0,y_0,z_0)$, cu $z_0=n{x}_0$… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=2$, arătați că $x_0{z}_0+y_0\ge 0$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(1))=4$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Considerăm $(x_1,y_1,z_1)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $a=1$. Pentru $a=2$, determinați…

2025 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(2))=4$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a=1$, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $x_0=a$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(1))=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $a$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații verifică… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=-2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=1$, determinați soluțiile $(x_1,y_1,z_1)$ și $(x_2,y_2,z_2)$ ale sistemului de ecuații…

2023 — 12 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=8$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=-2$, arătați că $x_0{z}_0+y_0=-2$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=-1$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=5$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $b$ și $c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $a$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=1$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt…

2022 — 3 cerințe

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(1))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^{3}B(1)$, pentru orice număr real $a$, unde $B(a)=A(a)-A(0)$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $x_0{y}_0+y_0{z}_0+z_0{x}_0\le 0$, pentru…

2021 — 6 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(4))=5$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $A(a)$ nu este inversabilă.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=3$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații pentru care… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (X(0,1))=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $a$ și $b$, sistemul de ecuații are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă $(x_0,y_0,z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci…

2020 — 6 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $\det (A(a))=(a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $a$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural $a$ pentru care sistemul are soluție unică $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ și $x_0$, $y_0$… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(1))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ are rangul 2.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$, știind că sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și…

2019 — 9 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $\det (A(a))=a(1-a)(1+a)$, pentru orice număr real $a$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma $(x_0,y_0,z_0)$ cu… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (M(0))=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m=1$, determinați soluțiile $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ale sistemului pentru care… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(a))=a(3-a)$, pentru orice număr real $a$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele întregi $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $x_0$, $y_0$ și…

2018 — 6 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (M(0))=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $m$, știind că $\det (M(m))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m=-1$, demonstrați că, dacă $(a,b,c)$ este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele $a$, $b$… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (M(-1))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (M(a))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $a$, știind că sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $2x_0+y_0{z}_0=0$.

2017 — 6 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(9))=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $(x_0,y_0,z_0)$, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale nenule, atunci… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(a))=(a+1)(a-3)$, pentru orice număr real $a$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $m$ pentru care $A(m)A(2-m)=A(2-m)A(m)$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele întregi $a$ pentru care sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, iar $x_0$, $y_0$ și…

2016 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=-2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$, $a\ne -1$ și $a\ne 1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele întregi $a$, pentru care sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, iar $x_0$, $y_0$ și… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=-1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$, $a\ne -1$ și $a\ne \frac{1}{3}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $a$, pentru care sistemul are soluție unică $\left(x_0,y_0,z_0\right)$, iar $x_0=y_0$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\det (A(0))=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că matricea $A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $m$, $m\ne -1$ și $m\ne 2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m=2$, determinați soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului pentru care $x_0+2y_0+3z_0=9$.

2013 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $q$ pentru care matricea $A(2,q)$ are rangul egal cu 2.

2012 — 10 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că determinantul matricei sistemului este egal cu $3a^3+9a^2-3a-9$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care sistemul este compatibil determinat.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a=-2$, rezolvați sistemul. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați determinantul matricei sistemului.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — În cazul $m=2$, determinați soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului pentru care $x_0>0$ și… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care matricea $A(0,1,x)$ are rangul egal cu 2. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați valorile lui $m$ pentru care determinantul matricei sistemului este nul.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că, pentru nicio valoare a lui $m$, sistemul nu are o soluție $(x_0,y_0,z_0)$ cu $x_0$, $y_0$, $z_0$ numere…
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de $2$, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

2010 — 9 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că rangul matricei $A$ este egal cu $2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Rezolvați sistemul în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea $\mathbb{N}\times \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Rezolvați sistemul pentru $a=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Verificați dacă pentru $a=-1$ sistemul este compatibil.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul are soluție unică. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că determinantul sistemului este $\Delta =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Rezolvați sistemul în cazul în care este compatibil determinat.
• Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Știind că $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$, arătați că sistemul are o infinitate de soluții $(x,y,z)$, astfel încât…

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019 · 2018.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă — clasa a XI-a
• Sisteme de ecuații liniare cu parametru: discuția completă — clasa a XI-a
• Modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare — clasa a XI-a
• Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer — clasa a XI-a
• Sisteme de tip Cramer cu patru ecuații și patru necunoscute — clasa a XI-a
• Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: forma matriceală a unui sistem și regula lui Cramer
• Test: Kronecker-Capelli, Rouché și sisteme nedeterminate
• Test: metoda lui Gauss și sisteme cu parametru
• Test: rangul unei matrice

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Sisteme de ecuații liniare», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Matrice, determinanți și sisteme liniare mai are 3 teme cu pagină proprie:

• Operații cu matrice și puteri de matrice — 93 de cerințe
• Determinanți — 75 de cerințe
• Matrice inversabile și ecuații matriceale — 16 cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu sisteme de ecuații liniare s-au dat la Bac M1?

98 de cerințe în 2010–2026, din 34 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 13, între 2010 și 2026, dintre care 21 de cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

La ce subiect cade tema «Sisteme de ecuații liniare»?

La Subiectul al II-lea cad 98 din cele 98 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 490 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 14,4 puncte din cele 90.

Cât de grea e, față de restul probei?

Tema stă la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare. Dificultatea medie iese 2,00 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă, lecția care o predă de la zero, apoi Test: forma matriceală a unui sistem și regula lui Cramer, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu sisteme de ecuații liniare?

Mai ales numere complexe (75 de cerințe), polinoame (1 cerință). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.