Determinanți: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Determinanți, în 2010–2026: 75 de cerințe din 55 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul al II-lea, în problemele de 15 puncte cu trei subpuncte. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Determinanți» la Bac M1

75 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (4,6 %), în 55 de probe din 91.
A apărut în 16 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade numai la Subiectul al II-lea (0 cerințe la Subiectul I, 75 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 375 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 1,47 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 75 de cerințe, 52 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește determinanți ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Determinanți», an cu an

2026 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (3)) = 0$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 4$ .

2025 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 8$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (M (0)) = 0$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det A = 1$ .

2024 — 7 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (B (1)) = 0$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (M (1)) = 7$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2 det (M (n)) \leq det (M (2 n))$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (2)) = 3$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $det (A (x) \cdot A (x) - I_{3}) \leq 0$ , pentru orice număr real $x$ .

2023 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 0$ .

2022 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 2$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det B = i$ .

2021 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 8$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural $n$ pentru care $det (A (n) \cdot A (- n)) > 0$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0, 1, 2)) = 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $det (A (a, b, c)) = (b - a) (c - a) (c - b)$ , pentru orice numere reale $a$ , $b$ și $c$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă $m$ , $n$ și $p$ sunt numere naturale, cu $m < n < p$ , astfel încât determinantul matricei…

2020 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = - 1$ .

2019 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 4$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (a)) = 0$ , pentru orice număr real $a$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 2$ .

2018 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (2)) = 1$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (2, 3)) = 12$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $det (A (n^{2}, n)) \geq 0$ , pentru orice număr natural $n$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (A (x)) = 0$ .

2017 — 10 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = - 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (A (x)) \cdot det (A (x + 1)) = 12$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$ , numărul $det (A (n) A (n) + A (n) + I_{3})$ este pătratul unui… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (2)) = 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $det (A (x) A (- x)) \leq 0$ , pentru orice număr real $x$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $det (A (x)) = (2^{x} - 1) (2^{x} + x - x \cdot 2^{x})$ , pentru orice număr real $x$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (2))$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $det (A (x) + B (x)) = det (B (x))$ , pentru orice număr real $x$ .

2016 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 1$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (10)) = 1024$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (1))$ .

2015 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = 2$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (B (0)) = 1$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det A = 0$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (a))$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $det (A (x) + I_{3}) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $det (a I_{3} - b A (- 1) + c A (- 1) \cdot A (- 1)) \geq 0$ , pentru orice numere reale pozitive $a$ , $b$ și $c$ .

2014 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 1$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (1)) = - 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $m$ știind că $det (A (m)) = 0$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 8$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (A (a)) = 0$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 1$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (0)) = 1$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $det (A (x)) = 0$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $det (A (a)) = (a + 2) (a - 1)^{2}$ , pentru orice număr real $a$ .

2013 — 11 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (1))$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $det (A (1) + A (2) + \dots + A (101)) = - 5 1^{2} \cdot 10 1^{3}$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (- 1))$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $m$ pentru care $det (A (m)) = 0$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $D (2, 3) = 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Verificați dacă $D (a, b) = (a - 1) (b - 1) (b - a)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $P_{n} (n, n^{2})$ , unde $n$ este un număr natural nenul… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $det (A (x)) = x^{2} - 1$ , pentru orice număr real $x$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (0))$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $D (- 1, 2)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că există cel puțin o pereche $(x, y)$ de numere reale, cu $x \neq = y$ , pentru care $D (x, y) = D (y, x)$ .

2012 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $D (0, 1, - 1)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că dacă $a$ , $b$ , $c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi și $D (a, b, c) = 0$ , atunci triunghiul este isoscel. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $det (A (π))$ .

2010 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați $a \in R$ pentru care $det (B_{1}) = 0$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Dați un exemplu de matrice $A \in G$ cu proprietatea că $det A \neq = \hat{0}$ și $det A^{2} = \hat{0}$ .

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Proprietățile determinanților (I): transpusa, linii nule, factor comun — clasa a XI-a
Proprietățile determinanților (II): schimbarea liniilor, linii proporționale, transformări — clasa a XI-a
Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului — clasa a XI-a
Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare — clasa a XI-a
Determinantul de ordinul al doilea — clasa a XI-a
Determinantul de ordin n: definiția cu permutări — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Determinanți», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Matrice, determinanți și sisteme liniare mai are 3 teme cu pagină proprie:

Sisteme de ecuații liniare — 98 de cerințe
Operații cu matrice și puteri de matrice — 93 de cerințe
Matrice inversabile și ecuații matriceale — 16 cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu determinanți s-au dat la Bac M1?

75 de cerințe în 2010–2026, din 55 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 16, între 2010 și 2026, dintre care 14 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

La ce subiect cade tema «Determinanți»?

La Subiectul al II-lea cad 75 din cele 75 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 375 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 6,8 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,47 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Proprietățile determinanților (I): transpusa, linii nule, factor comun, lecția care o predă de la zero, apoi Test: proprietățile determinanților și dezvoltarea după o linie, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu determinanți?

Mai ales ecuații exponențiale (5 cerințe), numere complexe (2 cerințe), inele și corpuri (1 cerință). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.