Dreapta în plan — clasa a XI-a

Geometria analitică traduce figura în calcul: un punct devine o pereche de numere, o dreaptă devine o ecuație, iar întrebările de geometrie devin verificări algebrice. Capitolul de clasa a XI-a are 13 lecții și 4 teste cu barem și acoperă tot ce se poate cere despre drepte, distanțe și arii în reperul cartezian.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

La profilul mate-info capitolul se predă întreg, de la zero: reperul cartezian, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment intră în primele ore, fiindcă blocul corespunzător din clasa a IX-a aparține trunchiului comun, iar la mate-info nu se parcurge acolo. O parte din paginile de formulă ale temei sunt publicate sub clasa a IX-a, unde le găsesc elevii celorlalte profiluri; formulele sunt aceleași, iar aici se folosesc de la prima lecție. Este singurul capitol de geometrie al anului și se așază între algebră și analiză. Pagina strânge lecțiile, formulele, exercițiile rezolvate și testele lui.

Ce se cere la Bacalaureatul M1 din dreapta în plan

La proba M1 geometria analitică cade la Subiectul I, în cele șase cerințe scurte și independente de la începutul probei, cu numere mici, în care se pierde punctaj din semne, nu din metodă. Cele 60 de cerințe de geometrie analitică date la Bacalaureatul M1 între 2010 și 2026 se împart în șapte feluri:

Ce ți se cere	Cum sună o cerință de acest fel
Să calculezi distanța dintre două puncte	„Calculați lungimea segmentului $A B$ ."
Să afli mijlocul unui segment	„Determinați coordonatele mijlocului segmentului $A B$ ."
Să scrii ecuația unei drepte	„Scrieți ecuația dreptei $A B$ ."
Să arăți că trei puncte sunt coliniare	„Arătați că punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare."
Să pui o condiție de paralelism sau de perpendicularitate	„Determinați $m$ pentru care dreptele sunt paralele."
Să calculezi o distanță de la un punct la o dreaptă	„Calculați distanța de la punctul $A$ la dreapta $d$ ."
Să calculezi aria unui triunghi	„Calculați aria triunghiului $A B C$ ."

Enunțurile date în anii trecuți pe geometrie analitică stau adunate la geometrie analitică la Bac M1.

Teorie: cele 13 lecții ale capitolului

Lecțiile urcă în trei trepte: reperul, ecuațiile dreptei, apoi relațiile dintre drepte și mărimile care se calculează cu ele.

Reperul și panta. Reperul cartezian: distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment dă cele două formule de pornire, pe care se sprijină toate celelalte, iar panta unei drepte și unghiul cu axa Ox introduce numărul care măsoară înclinarea: semnul lui spune dacă dreapta urcă sau coboară, iar valoarea lui, cât de repede. Tot acolo apare legătura dintre pantă și unghiul format cu axa absciselor.

Formele ecuației dreptei. Ecuația dreptei prin punct și pantă este forma care se scrie direct când se cunosc un punct și înclinarea; ecuația explicită o rescrie în forma cu care ești obișnuit de la funcția de gradul I; ecuația generală o aduce la forma în care intră în formula distanței și acoperă și dreptele verticale, pe care celelalte forme nu le pot scrie; iar ecuația dreptei determinate de două puncte și forma cu determinant leagă geometria de capitolul de determinanți. Din aceeași idee vine și condiția de coliniaritate a trei puncte: trei puncte stau pe o dreaptă exact când un determinant de ordinul al treilea se anulează.

Relații între drepte și mărimi calculate. Poziția relativă a două drepte reduce întrebarea la un sistem de două ecuații, iar răspunsurile posibile sunt trei: un punct comun, niciunul sau o infinitate. Condițiile de paralelism și de perpendicularitate le traduc în relații între pante, cu grija cazului în care una dintre drepte este verticală. Unghiul a două drepte se calculează cu tangenta, distanța de la un punct la o dreaptă cu formula care cere ecuația generală, iar aria unui triunghi cu ajutorul determinantului încheie seria mărimilor. Ultima lecție, probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare, combină toate formulele în cerințe de tip examen.

Formule

Tema de formule are șaisprezece intrări și se citește în patru grupe. De pornire sunt distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment, amândouă din prima lecție.

Panta are două pagini: panta unei drepte, calculată din două puncte, și panta ca tangentă a unghiului cu axa Ox, la care ajungi când enunțul dă un unghi în loc de un al doilea punct.

Paginile de formulă ale ecuației dreptei sunt patru, câte una pentru fiecare formă care se scrie direct din datele enunțului — forma explicită nu are pagină proprie, fiindcă e o rescriere a formei generale: ecuația dreptei prin punct și pantă, forma generală a ecuației dreptei, ecuația dreptei prin două puncte și ecuația dreptei prin două puncte, cu determinant. Alături stau relațiile dintre drepte: coliniaritatea a trei puncte, intersecția a două drepte, paralelism și perpendicularitate și unghiul a două drepte.

Ultima grupă se deschide la problemele lungi: distanța de la un punct la o dreaptă, piciorul perpendicularei, simetricul unui punct față de un punct și aria triunghiului cu determinant. Tema întreagă este la formulele de dreaptă în plan.

Termenii de geometrie analitică pe care enunțurile îi folosesc fără să-i mai explice sunt în glosar: dreapta, panta unei drepte, ecuația dreptei prin punct și pantă, coliniaritate, distanța de la un punct la o dreaptă și aria triunghiului cu determinant.

Exerciții rezolvate

Pe pagina de exerciții rezolvate de geometrie analitică sunt douăsprezece grile; la fiecare, „Vezi rezolvarea" deschide calculul de geometrie analitică dus până la capăt și trimite la lecția din care vine cerința. Acoperă distanța și mijlocul, panta din două puncte, scrierea ecuației dreptei în formele ei, coliniaritatea, intersecția a două drepte, condițiile de paralelism și de perpendicularitate, distanța până la o dreaptă și aria unui triunghi. Se lucrează cu desenul alături: în geometria analitică o figură făcută în trei linii arată dacă rezultatul are sens înainte de a-l verifica algebric.

Exerciții cu verificare

O cerință de geometrie analitică se pierde la semne, nu la metodă, iar semnele se văd numai scriind. Testul ghidat de pantă și ecuațiile dreptei îți arată ce urmează, din punctul în care te-ai blocat. La geometrie analitică ghidajul te oprește de obicei la semnul pantei și la ordinea coordonatelor în formulă: dacă scazi în ordine inversă la numărător și la numitor, panta iese cu semn schimbat, iar dreapta se înclină invers față de desen.

Teste cu barem

Capitolul are patru teste. Fiecare cere 13 rezolvări și valorează 100 de puncte, zece dintre ele acordate din oficiu; timpul recomandat diferă de la unul la altul și e scris pe test. Baremul stă deschis în josul paginii.

Test: panta și ecuațiile dreptei — o oră de curs, adică 50 de minute; acoperă primele cinci lecții și se dă primul.
Test: dreapta prin două puncte și coliniaritatea — tot 50 de minute; adaugă forma cu determinant și cerințele în care se cere arătată coliniaritatea.
Test: poziția relativă a două drepte și unghiul dintre ele — 70 de minute, fiindcă fiecare cerință cere un sistem rezolvat și o concluzie scrisă.
Test: distanța de la un punct la o dreaptă și aria triunghiului — tot 70 de minute; este testul în care intră problemele combinate din ultima lecție.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului este proba punctului: orice ecuație de dreaptă obținută se verifică punând în ea, pe rând, coordonatele punctelor prin care dreapta trebuie să treacă. Dacă egalitatea iese, ecuația este bună; dacă nu iese la unul dintre puncte, greșeala este în calculul pantei sau într-un semn. Aceeași probă merge și invers: un punct de intersecție găsit se pune în amândouă ecuațiile, iar un punct simetric se verifică cerând ca mijlocul segmentului să cadă acolo unde trebuie. Ce nu se verifică cu un punct se verifică cu semnul și cu unitatea de măsură: o distanță și o arie sunt numere pozitive, iar o condiție între pante nu are voie să fie scrisă înainte de a te uita dacă vreuna dintre drepte e verticală. Din cele patru greșeli de mai jos, proba punctului le oprește pe prima și pe ultima, iar semnul cu unitatea de măsură pe celelalte două:

Panta calculată cu diferențele în ordine inversă — dreapta scrisă cu ea nu mai trece prin al doilea punct dat, deci proba o respinge din prima linie: la numărător se scad ordonatele, la numitor abscisele, în aceeași ordine. Se repară la panta unei drepte: definiție, semn și unghiul cu axa Ox.
Condiția de perpendicularitate aplicată unei drepte verticale — aici nu ai ce înlocui, fiindcă greșeala e făcută înainte de a scrie vreo ecuație; o prinzi numai uitându-te la drepte: o dreaptă de ecuație $x = a$ nu are pantă, deci relația dintre pante nu se poate scrie, iar cazul se tratează separat. Se repară la condiții de paralelism și de perpendicularitate.
Distanța sau aria lăsată negativă — nu e o ecuație în care să pui un punct, ci un număr căruia i se citește semnul: amândouă formulele conțin un modul, fiindcă rezultatul este o lungime, respectiv o arie; un număr negativ înseamnă modul uitat, nu greșeală de calcul.
Coliniaritatea „arătată" pe un desen — proba o închide direct: al treilea punct trebuie să verifice ecuația dreptei determinate de primele două, iar la examen se cere scrisă tot ea, ca determinant nul sau ca egalitate de pante.

Recapitulare și pregătire pentru Bacalaureatul M1

Recapitularea capitolului este recapitulare: drepte în planul cartezian, iar pentru repetat rapid sunt cartonașele ce legătură are panta cu unghiul dreptei și cât de departe este un punct de o dreaptă.

Ce intră din geometria analitică din geometria analitică ajunge în probă se citește la ce intră la Bacalaureatul M1, cerințele date efectiv se citesc pe cele 91 de subiecte oficiale, unde geometria analitică apare în 60 de cerințe din 57 de probe, iar ce a ieșit la iveală când au fost transcrise baremele comisiei este la ce am găsit în baremele oficiale.

De aici încolo

Capitolul împrumută o unealtă din determinanți — coliniaritatea și aria se scriu cu determinanți de ordinul al treilea — și se sprijină, la intersecția a două drepte, pe sisteme de ecuații liniare. Panta revine în a doua jumătate a anului cu alt înțeles, la derivate, unde derivata într-un punct este panta tangentei. Geometria analitică e un capitol dintr-un an care începe cu algebră și se termină cu analiză, iar celelalte capitole ale lui sunt pe hub-ul clasei a XI-a; cerințele de desenat și de calculat cu creionul sunt în fișele tipăribile, iar conicele, care duc geometria analitică mai departe, se studiază în clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul de geometrie analitică?

De la reperul cartezian și de la formulele primei lecții: distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment. Nu presupune nimic din blocul de geometrie analitică al clasei a IX-a, fiindcă la mate-info nu s-a parcurs. Unele pagini de formulă poartă eticheta clasei a IX-a, fiindcă servesc și profilurile care îl fac atunci; conținutul e același. Din trigonometrie îți trebuie doar tangenta unui unghi, care apare încă de la a doua lecție, unde panta se citește ca tangentă a unghiului cu axa absciselor, și revine la unghiul a două drepte.

În ce ordine se învață cele 13 lecții ale capitolului?

Întâi reperul și panta, apoi formele ecuației dreptei, apoi relațiile dintre drepte și mărimile calculate. Ordinea contează la mijloc: forma generală trebuie știută înainte de distanța de la un punct la o dreaptă, fiindcă formula distanței cere coeficienții din ea. Ultima lecție se face la final, fiindcă amestecă toate formulele.

Care formă a ecuației dreptei se folosește la examen?

Depinde de ce dă enunțul. Cu un punct și panta se scrie forma cu punct și pantă; cu două puncte, forma prin două puncte sau cea cu determinant; când urmează o distanță, se trece obligatoriu la forma generală. Formele sunt echivalente, iar trecerea de la una la alta este calcul algebric elementar, nu metodă nouă.

Care dintre formulele capitolului se învață pe de rost și care se pot reciti la nevoie?

Pe de rost se învață patru: distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, panta din două puncte și condiția de perpendicularitate. Ele intră în cerințele scurte de la Subiectul I și se scriu fără ezitare. Restul se recitesc: forma cu determinant, distanța până la o dreaptă și aria se folosesc mai rar, iar la examen contează să știi că există și în ce formă trebuie adusă dreapta. Un singur lucru nu e formulă și se ține minte oricum: verticalele nu au pantă, iar cerințele cu pante se scriu în cuvinte.

Cum mă pregătesc pentru testele de geometrie analitică?

Trei lucruri, în ordine: cele două cartonașe de recapitulare, apoi lecția de recapitulare a capitolului, apoi testul ghidat, care te oprește exact unde greșești. Testele cu barem se dau la final, iar între ele se lasă timp de reparat: două teste date în aceeași zi arată aceeași greșeală de două ori, nu progres.

La ce folosește determinantul într-un capitol de geometrie?

La scurtarea a două calcule care altfel cer mai mulți pași: ecuația dreptei prin două puncte și aria unui triunghi cu vârfuri date. În ambele, determinantul strânge coordonatele într-un singur tablou, iar condiția de coliniaritate devine „determinantul este nul". Este locul în care algebra din primele trei capitole se întoarce ca unealtă de geometrie.

Cum verific dacă rezultatul are sens, fără să refac tot calculul?

Cu un desen sumar în reper. Este perechea probelor de mai sus, făcută în celălalt moment: ele verifică un rezultat scris, desenul se face înainte de calcul — pui punctele, tragi dreapta cu mâna și compari cu ce a ieșit. O pantă pozitivă cere o dreaptă care urcă, o distanță trebuie să fie mai mică decât lungimea oricărui segment oblic dus din același punct, iar aria unui triunghi cu vârfuri apropiate nu poate ieși mare. Desenul nu ține loc de demonstrație, dar prinde erorile de semn în câteva secunde.