Legi de compoziție — clasa a XII-a

O lege de compoziție este o regulă care ia două elemente dintr-o mulțime și întoarce tot un element al ei. Cu acest capitol începe algebra abstractă a clasei a XII-a: 15 lecții, patru teste, o familie de treisprezece fișe de formulă și o pagină de exerciții rezolvate.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este primul capitol în care nu se mai calculează cu numere, ci cu operații: obiectul de studiu nu mai e rezultatul, ci regula însăși. Schimbarea aceasta de nivel derutează la început și explică de ce majoritatea greșelilor de aici sunt de citire a enunțului, nu de calcul.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

Competențele programei de matematică-informatică pentru acest capitol — XII.CS.1.1, XII.CS.2.1, XII.CS.3.1, XII.CS.4.1, XII.CS.4.2, XII.CS.5.1 și XII.CS.6.1, în textul întocmit pentru planurile-cadru OMEC nr. 4350/2025 — se rezumă la trei verbe: recunoaște operația, verifică-i proprietățile, folosește-le ca să rezolvi. Pe subiect, ele iau formele acestea:

Ce ți se cere	Cum sună cerința pe subiect
Să calculezi un compus	„Calculați $27 * 28$ , unde $x * y = x y - 25 x - 25 y + 650$ ."
Să verifici o proprietate	„Demonstrați că legea este asociativă."
Să determini elementul neutru	„Arătați că $e = 26$ este elementul neutru al legii."
Să afli simetricul unui element	„Determinați simetricul elementului $x$ în raport cu legea."
Să arăți că o mulțime e parte stabilă	„Arătați că intervalul $(25, + \infty)$ este parte stabilă."
Să determini un parametru	„Determinați $a$ real pentru care legea admite element neutru."
Să rezolvi o ecuație în clase de resturi	„Rezolvați ecuația în mulțimea claselor de resturi modulo 6."

Enunțurile oficiale care au cerut asta, an cu an, cu rezolvarea fiecărei cerințe, stau pe pagina temei „legi de compoziție": 149 de cerințe date între 2010 și 2026. Împreună cu grupurile, inelele și polinoamele, capitolul alcătuiește una dintre cele patru grupe din care vin problemele mari ale probei — repartiția pe capitole e la ce intră la Bacalaureatul M1, iar probele complete, în arhiva de subiecte.

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 15 lecții au trei părți: ce este o lege, ce proprietăți poate avea și un exemplu de lucru important, clasele de resturi.

Ce este o lege și pe ce mulțime lucrează. Definiția, cu exemple și contraexemple lămurește de ce o operație poate fi respinsă în două feluri, iar tabla operației pe o mulțime finită dă instrumentul din care se citesc apoi toate proprietățile. Partea stabilă și legea indusă răspunde la întrebarea pusă de fiecare subiect: rezultatul rămâne acolo unde trebuie? Urmează trei lecții de exemple, pe tipuri de mulțimi: legi definite prin formule pe mulțimi de numere, legi pe mulțimea părților unei mulțimi și legi pe mulțimi de matrice și de funcții.

Proprietățile, una câte una. Asociativitatea și comutativitatea, cu simetria tablei sunt cele două care se verifică prin calcul cu litere; elementul neutru și elementele simetrizabile se caută rezolvând ecuații. Din ele se construiesc primele structuri, la semigrupuri și monoizi — lecția care pregătește direct capitolul de grupuri.

Clasele de resturi. Trei lecții duc un singur exemplu până la capăt: mulțimea claselor de resturi și adunarea lor, înmulțirea claselor cu distributivitatea și elementele inversabile cu ecuațiile în clase de resturi. Capitolul se închide cu legile cu parametri, tipul de cerință care apare frecvent la Subiectul al II-lea.

Formule

Familia legi de compoziție și clase de resturi are treisprezece fișe; pe fiecare găsești notațiile explicate și un exemplu numeric. Momentul în care le deschizi:

legea de compoziție și compusul a două elemente și tabla legii de compoziție — se citesc în primele două ore și rămân reperul întregului capitol;
parte stabilă și legea indusă — o cauți ori de câte ori enunțul restrânge mulțimea la un interval sau la o submulțime;
asociativitatea și comutativitatea, elementul neutru și elementele simetrizabile — grupul proprietăților, folosit de la lecția a șaptea până la sfârșit;
semigrup, monoid și mulțimea elementelor simetrizabile — pagina care leagă acest capitol de următorul;
forma factorizată a legii și familia de legi cu parametri — prima scurtează aproape orice verificare de parte stabilă, a doua se caută la cerințele cu necunoscute în formulă;
clasele de resturi modulo n, adunarea și înmulțirea lor, elementele inversabile modulo n și ecuația de gradul întâi în clase de resturi — blocul ultimelor trei lecții.

În glosar sunt definite pe scurt legea de compoziție, semigrupul, monoidul și mulțimea claselor de resturi.

Exerciții rezolvate

Pe pagina cu cele 12 exerciții rezolvate fiecare cerință vine cu variante de răspuns și cu o rezolvare desfășurată, care trimite la lecția de unde provine. Sunt acoperite recunoașterea unei legi, citirea tablei, partea stabilă, cele patru proprietăți și calculele în clase de resturi. Demonstrațiile lungi de asociativitate nu intră în format de grilă; pentru ele se merge pe teste.

Exerciții cu verificare

Testul ghidat de lege de compoziție și tabla operației îți cere pasul și îți dă indiciul următor numai unde te blochezi. Aici ghidajul se declanșează devreme, la verificarea apartenenței rezultatului la mulțime — pasul pe care aproape toți îl sar fiindcă pare evident — și la citirea tablei, unde linia și coloana se inversează ușor.

Teste cu barem

Capitolul are patru teste. Cele 90 de puncte se împart pe cerințe, iar oficiul aduce restul până la 100; baremul cu rezolvările stă sub cerințe, în aceeași pagină.

Test: legea de compoziție și tabla operației — 12 cerințe într-o oră de curs, pe recunoaștere, tablă și parte stabilă.
Test: proprietățile legilor de compoziție — tot 12 cerințe și 50 de minute, cu partea a doua pe demonstrații.
Test: clasele de resturi modulo n — 12 cerințe, 50 de minute, de la calcul până la ecuații și puteri.
Test: legi de compoziție cu parametri — 11 cerințe în 50 de minute, pe determinarea parametrului și pe structura rămasă după aceea.

Metoda de verificare a capitolului

Metoda proprie acestui capitol este numirea mulțimii: lângă fiecare afirmație pe care o scrii, adaugă explicit pe ce mulțime este adevărată. Regula sună banal și rezolvă majoritatea cerințelor, fiindcă aproape toate proprietățile de aici sunt afirmații despre o pereche „operație plus mulțime", nu despre operație singură. Iată unde se vede că mulțimea n-a fost numită:

Verdictul „este lege de compoziție" fără mulțime. Aceeași formulă poate fi lege pe un interval și să nu fie pe altul; verdictul fără mulțime nu se punctează.
Elementul neutru din afara mulțimii. Ecuația poate da o valoare corectă care nu aparține mulțimii de lucru; atunci elementul neutru nu există.
Simetricul care iese în afară. Formula simetricului trebuie însoțită de condiția care spune pentru ce elemente rămâne în mulțime.
Contraexemplul fără mulțimea din care sunt luate elementele. Ca să respingi partea stabilă, cele două elemente trebuie numite ca aparținând submulțimii, iar compusul lor, ca neaparținând ei — altfel calculul e corect, dar nu respinge nimic.
Clasele de resturi confundate cu numerele. În mulțimea claselor modulo $n$ , egalitățile se scriu între clase; un rezultat scris ca număr întreg schimbă mulțimea și, cu ea, răspunsul.

Recapitulare înainte de examen

Recapitularea capitolului se face împreună cu următorul, prin sinteza de legi de compoziție și grupuri și prin testul recapitulativ comun, de 90 de minute. Pasul următor este o probă întreagă: simularea de Bacalaureat M1, în trei ore, sau un an din arhiva oficială, de exemplu sesiunea 2026. Corectura se face cu baremul oficial, ținând cont de erorile de tipar pe care le-am semnalat. Datele propuse pentru probele din 2027, încă neaprobate prin ordin, sunt în calendarul bacalaureatului.

De aici încolo

Capitolul următor, grupuri, adaugă celor două proprietăți verificate aici încă două condiții și obține structura pe care se sprijină tot restul algebrei anului. Mai departe, inele, corpuri și polinoame pun două legi pe aceeași mulțime. Matricele și funcțiile pe care se definesc multe dintre legile de aici vin de la matematică de clasa a XI-a. Celelalte șapte capitole ale anului sunt strânse la pagina clasei a XII-a. Varianta de tipărit e la fișele de lucru, iar formulele tuturor capitolelor, la culegerea de formule. Dacă bazele de clasa a XI-a șchioapătă, începe cu testul inițial.

Întrebări frecvente

Cere capitolul acesta tehnici noi de calcul?

Nu, și de aceea derutează. Îți trebuie operațiile cu numere reale, cu matrice și cu funcții, plus rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi și al doilea — toate știute dinainte. Ce e nou nu e calculul, ci privirea asupra lui. Ce ajută cu adevărat este obișnuința de a lucra cu litere, fiindcă aproape toate verificările se fac general, nu pe numere alese.

Cu ce trei lecții acopăr cerințele de recunoaștere?

Definiția, tabla operației și partea stabilă — primele trei din unitate. Ele acoperă cerințele de recunoaștere, care deschid aproape orice problemă de la Subiectul al II-lea. Abia după ele au sens proprietățile, fiindcă fiecare proprietate se verifică pe o mulțime care trebuie mai întâi stabilită.

Tabla operației vine înaintea proprietăților sau după ele?

Înaintea lor, chiar de la a doua lecție: definiția și tabla, apoi partea stabilă, apoi trei lecții de exemple pe tipuri de mulțimi, apoi cele patru proprietăți, apoi semigrupurile și monoizii, apoi clasele de resturi și, la final, legile cu parametri. Ordinea urmează programa și are o logică simplă: fiecare proprietate nouă se citește pe tabla construită la a doua lecție.

De ce se învață clasele de resturi într-un capitol despre operații?

Fiindcă sunt exemplul pe care se văd, pe o mulțime finită și mică, toate noțiunile capitolului: tabla se scrie întreagă, elementul neutru se citește dintr-o linie, simetricele se numără. Sunt și mulțimea pe care se construiesc, în capitolele următoare, primele grupuri și primele corpuri, deci efortul de aici se plătește de trei ori.

Au aceeași durată cele patru teste de legi de compoziție?

Da, toate patru durează 50 de minute, cât o oră de curs. Numărul de cerințe diferă însă: trei dintre ele au 12 cerințe, iar cel cu parametri are 11. Maximul e 100 de puncte, oficiul inclus. Fiecare test are trei părți, iar ultima cerință e scrisă în formatul subiectului de examen, ca să exersezi și redactarea, nu doar rezolvarea.

Care dintre cele 15 lecții se sar de obicei și cât costă asta?

Se sar cele trei lecții de exemple — pe mulțimi de numere, pe mulțimea părților, pe matrice și funcții —, fiindcă par repetiții ale definiției. Costul apare la teste: fără ele, orice cerință care schimbă tipul mulțimii pornește de la zero, iar demonstrațiile cu litere se scriu de două ori mai încet. Ordinea din pagină le pune deliberat între definiție și proprietăți.

Ce capitole de mai târziu se sprijină pe legile de compoziție?

Toate cele trei care urmează, fiindcă acesta e temelia algebrei anului. Grupurile adaugă axiome peste ce se verifică aici, inelele pun două legi pe aceeași mulțime, iar polinoamele se studiază tocmai ca inel. Cu analiza matematică a aceluiași an nu are puncte comune, dar împarte cu ea proba de examen: structurile algebrice dau una dintre problemele Subiectului al II-lea.