Grupuri — clasa a XII-a

Un grup este o mulțime cu o lege asociativă, cu element neutru și în care fiecare element are simetric. Definiția are patru rânduri; din ele se deduce, în 20 de lecții de clasa a XII-a, o teorie care ajunge la teorema lui Lagrange și la izomorfisme. Pe pagină sunt lecțiile, cele șase teste, fișele de formulă și exercițiile.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Capitolul are o trăsătură care nu se mai regăsește nicăieri în anul acesta: aproape orice rezultat se demonstrează din cele patru axiome, fără niciun calcul cu numere. Cine caută rețete de calcul nu găsește; cine învață să scrie demonstrații scurte câștigă și la restul algebrei.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

În programa de matematică-informatică, întocmită pentru planurile-cadru OMEC nr. 4350/2025, capitolul poartă codurile XII.CS.1.2, XII.CS.2.2, XII.CS.3.1, XII.CS.3.2, XII.CS.4.2, XII.CS.5.1, XII.CS.5.2, XII.CS.6.1 și XII.CS.6.2. Ele cer să recunoști un grup, să lucrezi în el fără să ieși din axiome și să compari două grupuri între ele. Formele de pe subiect:

Cerințele de examen pe acest capitol sunt strânse, împreună cu cele de legi de compoziție, pe pagina temei „legi de compoziție" — pagina poartă numele primului capitol fiindcă acolo se etichetează problema după ce cere enunțul, iar aproape orice cerință de structuri algebrice cere o lege; cele 149 de cerințe adunate acolo, cu enunțul oficial și rezolvarea, conțin și grupurile, iar cele formulate explicit despre morfisme stau într-o secțiune a lor. Ponderea grupei se vede la ce intră la Bacalaureatul M1; probele întregi, la subiectele oficiale.

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 20 de lecții se așază în patru straturi: exemple, calcul, structură internă și comparație între grupuri.

Exemplele, înaintea teoriei. Definiția grupului, cu exemple din mulțimile de numere deschide capitolul, iar următoarele cinci lecții adaugă familii de exemple: grupuri de matrice și de permutări, grupuri de funcții și grupul lui Klein, grupurile claselor de resturi, grupul rădăcinilor unității și grupurile de translații și rotații. Ordinea aceasta e deliberată: axiomele se rețin greu în abstract și ușor pe cinci exemple diferite.

Calculul în grup. Regulile de calcul și ecuațiile arată ce se poate face fără să presupui comutativitatea, iar puterile unui element pregătesc noțiunea de ordin.

Structura internă. Subgrupul, cu criteriul lui și subgrupurile numerelor întregi și ale numerelor complexe nenule descriu părțile unui grup; ordinul unui element, grupurile finite și teorema lui Lagrange și subgrupul generat de un element, cu grupurile ciclice leagă numărarea de structură. Aici stă rezultatul practic al capitolului: ordinele nu pot fi oricare, ci divizori ai ordinului grupului.

Comparația. Morfismele și izomorfismele, cu compararea tablelor spun când două grupuri sunt „la fel", iar când două grupuri nu sunt izomorfe dă metoda de respingere. Urmează izomorfismele remarcabile, transferul de structură și clasele de resturi în aritmetică, care întorc teoria spre divizibilitate. Capitolul se încheie cu sinteza de tip examen.

Formule

Familia grupuri numără paisprezece fișe. Fiecare are enunțul, notațiile și un exemplu; se caută în momente diferite ale capitolului:

• definiția grupului și regulile de calcul cu puterile unui element — punctul de plecare și, respectiv, ce ai voie să faci în interiorul lui;
• grupul lui Klein, cele șase permutări ale grupului $S_3$, grupul rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității și grupurile de matrice cu un parametru — cele patru exemple care revin an de an pe subiecte;
• criteriul de subgrup și subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi — primul scurtează verificarea de la patru axiome la trei condiții, dintre care prima cere doar să arăți un element din mulțime;
• ordinul grupului și ordinul unui element, ordinul unei clase de resturi, teorema lui Lagrange cu cele trei consecințe și subgrupul generat de un element — blocul de numărare, la care se apelează des pentru verificarea unui răspuns;
• mica teoremă a lui Fermat pentru clase de resturi — o cauți la puteri mari în clase de resturi, unde calculul direct nu se termină;
• morfisme și izomorfisme de grupuri — ultima fișă a capitolului, folosită la comparații.

Glosarul definește scurt grupul, grupul comutativ, subgrupul, grupul ciclic, ordinul unui grup, morfismul de grupuri și izomorfismul de grupuri.

Exerciții rezolvate

Cele 12 exerciții rezolvate ale unității stau la grupuri, exerciții rezolvate; fiecare cerință are patru variante și o rezolvare comentată, cu trimitere la lecția-sursă. Sunt acoperite recunoașterea grupului, criteriul de subgrup, ordinul unui element, consecințele teoremei lui Lagrange și verificarea unui morfism. Demonstrațiile de neizomorfism, care cer o proprietate găsită de tine, se lucrează pe testul de morfisme.

Exerciții cu verificare

Testul ghidat de grupuri, cu exemplele remarcabile te lasă să scrii tu verificarea și intervine doar unde greșești. La acest capitol ghidajul oprește în două puncte: la axioma sărită — de regulă simetricul, verificat doar pentru câteva elemente — și la concluzia scrisă înainte de a fi verificat că operația nu scoate rezultatul din mulțime.

Teste cu barem

Capitolul are șase teste. Punctajul maxim rezultă din 90 de puncte pe cerințe, la care se adaugă oficiul; baremul cu rezolvările e deschis sub cerințe.

• Test: grupuri — exemple remarcabile: 13 cerințe, 50 de minute, pe cele cinci familii de exemple.
• Test: reguli de calcul într-un grup: tot 13 cerințe și același timp, pe ecuații, puteri și perioade.
• Test: subgrupuri: 13 cerințe în 50 de minute, de la criteriu până la subgrupuri de matrice și de numere complexe.
• Test: ordinul unui element și teorema lui Lagrange: 13 cerințe, 50 de minute, pe partea de numărare.
• Test: morfisme și izomorfisme de grupuri: 13 cerințe, 50 de minute, cu izomorfisme construite și izomorfisme respinse.
• Test recapitulativ: legi de compoziție și grupuri: 13 cerințe, 90 de minute, acoperind ambele capitole de algebră.

Metoda de verificare a capitolului

Metoda proprie capitolului este proba divizibilității: într-un grup finit, orice număr care numără elemente ale unei structuri interne — ordinul unui element, numărul de elemente ale unui subgrup, numărul de elemente ale subgrupului generat de un element — trebuie să fie divizor al numărului de elemente ale grupului. Teorema lui Lagrange transformă astfel o teoremă de structură într-un test aritmetic care se face din cap, fără să rescrii nimic, aplicabil la orice grup finit. Iată unde respinge un răspuns greșit:

1. Ordinul care nu divide. Un element de ordin 4 într-un grup cu 6 elemente este imposibil; dacă asta îți iese, ai greșit numărând puterile.
2. Subgrupul de mărime nepotrivită. O submulțime cu 4 elemente nu poate fi subgrup într-un grup cu 6; verificarea criteriului a lăsat un element pe dinafară sau a inclus unul în plus.
3. Subgrupul propus fără elementul neutru. Orice subgrup îl conține, deci are cel puțin un element; iar numărul lui de elemente, odată numărat, trebuie să treacă proba divizibilității.
4. Generatorul propus fără proba ordinului. Un element generează grupul ciclic numai dacă ordinul lui este chiar numărul de elemente al grupului; iar ordinul, ca orice ordin, trebuie întâi să treacă proba divizibilității.
5. Izomorfismul propus între grupuri de mărimi diferite. Un izomorfism păstrează numărul de elemente și, cu el, întreaga listă de ordine posibile; dacă cele două grupuri nu dau aceeași listă de divizori, respingerea e imediată.

Recapitulare înainte de examen

Recapitularea acoperă acest capitol împreună cu cel precedent: sinteza de legi de compoziție și grupuri, apoi testul recapitulativ de 90 de minute. După ele urmează o probă cronometrată la trei ore: simularea M1 sau o sesiune din arhiva de subiecte oficiale, cum e cea din 2026. Baremele oficiale se folosesc la corectură, cu lista defectelor găsite de noi alături. Despre sesiunea din 2027 se adună informațiile pe pagina subiectelor de bacalaureat 2027.

De aici încolo

Capitolul continuă direct legile de compoziție: grupul e o lege cu trei condiții în plus. Mai departe, inele, corpuri și polinoame așază două legi pe aceeași mulțime, iar grupul unităților unui inel se recunoaște cu ce se învață aici. Matricele, determinanții și permutările, din care ies exemplele cerute frecvent pe subiect, sunt materie de clasa a XI-a, iar rădăcinile unității vin din numerele complexe de clasa a X-a. Traseul complet al anului pornește de la pagina clasei a XII-a. Demonstrațiile se scriu de mână, deci merită fișele de lucru tipăribile; axiomele și criteriile, strânse laolaltă, sunt în culegerea de formule.

Întrebări frecvente

Pot începe grupurile fără capitolul de legi de compoziție?

Nu. Grupul e definit exact prin noțiunile de acolo — asociativitate, element neutru, elemente simetrizabile și parte stabilă —, iar de toate patru ai nevoie din prima oră. Mai ai nevoie de operații cu matrice și cu numere complexe, de la clasele a XI-a și a X-a, fiindcă exemplele pe care se lucrează sunt luate de acolo.

Care patru lecții acoperă grosul cerințelor scurte despre grupuri?

Definiția, exemplele remarcabile, criteriul de subgrup și ordinul unui element — în ordinea asta, dacă vrei întâi ce se cere pe subiect. Morfismele și izomorfismele vin după ele, iar transferul de structură apare de obicei ca ultim punct al unei probleme, nu ca cerință de sine stătătoare.

Exemplele de grup vin înaintea axiomelor sau după ele?

Înaintea lor: întâi șase lecții de exemple, apoi două de calcul, apoi cinci de structură internă — subgrup, ordin, Lagrange, grupuri ciclice —, apoi cinci de comparație între grupuri și una de aplicații în aritmetică, iar la final sinteza. Ordinea e inversă față de manualul clasic, care începe cu teoria; aici exemplele vin primele, fiindcă axiomele abstracte nu se rețin fără ele.

De ce începe capitolul cu șase lecții de exemple și abia apoi cu teoria?

Fiindcă axiomele grupului sunt patru rânduri care nu se rețin în abstract, iar cele șase familii — numere, matrice, permutări, funcții, clase de resturi, rădăcini ale unității — sunt exact mulțimile din care se construiesc apoi enunțurile. Cine învață întâi teoria recunoaște definiția, dar nu recunoaște grupul din enunț; cine învață întâi exemplele are, la fiecare axiomă nouă, șase locuri unde s-o vadă lucrând.

Câte lecții din capitol sunt despre compararea a două grupuri?

Cinci din cele douăzeci sunt despre comparație propriu-zisă — morfismele, izomorfismele, respingerea izomorfismului, izomorfismele remarcabile și transferul de structură —, iar a șasea, aplicațiile în aritmetică, folosește rezultatul comparației. Șase lecții din douăzeci, adică aproape o treime, nu construiește structuri noi, ci compară structuri deja construite — de aceea izomorfismul se învață ca metodă de lucru, nu ca ultimă noțiune.

Câte teste are capitolul de grupuri și cât ține fiecare?

Șase. Cinci dintre ele se dau în 50 de minute, cât o oră de curs, iar testul recapitulativ, în 90 de minute. Toate au câte 13 cerințe și se notează din 100 de puncte, cu oficiul socotit. Structura are trei părți, ultima conținând cerințe scrise în formatul subiectului de examen.

Ce fac dacă demonstrațiile din acest capitol mi se par prea abstracte?

Le scrii întâi pe un exemplu concret, de preferință pe un grup cu puține elemente, unde tabla se poate desena întreagă, apoi înlocuiești numerele cu litere și păstrezi aceiași pași. Metoda funcționează fiindcă demonstrațiile de aici folosesc numai axiomele, iar pe un exemplu mic se vede exact care axiomă se aplică la fiecare pas.