Legi de compoziție: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Legi de compoziție, în 2010–2026: 149 de cerințe din 51 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Lista de mai jos e făcută ca să se vadă tiparul, nu un exemplu-două: aceleași cerințe revin, în forme apropiate. Toate cad la Subiectul al II-lea, în problemele de 15 puncte cu trei subpuncte. Materia e de clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Legi de compoziție» la Bac M1

• 149 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (9,1 %), în 51 de probe din 91.
• A apărut în 17 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
• Cade numai la Subiectul al II-lea (0 cerințe la Subiectul I, 149 la al II-lea, 0 la al III-lea).
• Aduce 745 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 1,99 din 3 — la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare.

Din cele 149 de cerințe, 89 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește legi de compoziție ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Legi de compoziție», an cu an

Sunt 149 de cerințe. Enunțul e scris pentru primele 120, în ordinea anilor, de la 2026 în jos; pentru restul rămân eticheta cerinței și legătura la subiectul întreg, ca pagina să se deschidă și pe telefon.

2026 — 9 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $0\ast 2=5$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast \frac{3x}{2}=5x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast m\ast n=-1$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $3\ast 5=\frac{7}{4}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $(x\ast 2)\ast x>2$, pentru orice $x\in M$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $m=3$, arătați că $0\ast 1=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m=7$, determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (2x)=5$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $m\in [-4,+\infty )$ pentru care legea de compoziție „$\ast$" este asociativă.

2025 — 12 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $6\ast 7=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast (x+4)=6$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați tripletele $(m,n,p)$ de numere naturale, cu $m<n<p$, pentru care $m\ast n\ast p=3$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 3=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=\frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $\frac{m}{25}$ este simetricul elementului $n$ în raport… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 3=16$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x\ast \frac{2}{x}=9x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m\le n$, pentru care $m\ast n=1$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 4=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că mulțimea $[1,+\infty )$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

2024 — 9 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\circ 1=\frac{7}{4}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $3\circ 5=3$, pentru orice $m\in (0,+\infty )$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m=2$, arătați că $e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră funcția $f:M\to M$, $f(x)=3+\sqrt{x-3}$. Pentru $m=1$, arătați că… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 2=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=5$.

2023 — 9 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $2\circ 3=18$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $x\circ (-x)\le 1$, pentru orice număr real $x$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $0\ast 1=-3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x\ast (-1)\le 2x$, pentru orice număr real $x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care $m\ast n=1$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x\ast (-x)\ge -x^2$, pentru orice $x\in M$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(a,b)$ de numere din mulțimea $M$ pentru care $a\ast b=1$.

2022 — 15 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 3=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 0=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $x\in M$, $x$ nenul, pentru care $x\ast \frac{4}{x}=x$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $0\ast 2=5$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (x+1)=8$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=2mn$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast y={\log }_2\left(\right(2^x-2\left)\right(2^y-2)+2)$, pentru orice $x,y\in M$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $x\ast x\ast x<3x$, pentru orice $x\in M$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(-1)\ast 2=\frac{1}{9}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea…

2021 — 12 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $m=1$, arătați că $2\circ 2=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că, dacă $2\circ 1=5$, atunci $2\circ 5=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $x$, știind că $\left(m{x}^3\right)\circ (-m{x}^2)=m$, pentru orice $m\in (0,+\infty )$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $2\ast 0=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a\le b$, atunci $a\ast b=b$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\ast (x^2+1)\ast (-2x)=10$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $4\ast 3=2$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $e=9$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $x\in G$, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „$\ast$". simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $5\ast 10=17$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x\ast x=x\ast x$.

2020 — 12 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $a=10$, arătați că $1\ast 2=0$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a=20$, arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă $a\in [20,+\infty )$, atunci mulțimea $H=[4,+\infty )$ este parte stabilă a mulțimii numerelor… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $1\ast 2020=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $x\ast y=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+1}$, pentru orice…
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $x\in A$ pentru care $x\ast x=x$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $0\ast 0=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$" este comutativă.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $(x\ast x)\ast x=3+{\log }_{2}3$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Demonstrați că $x\ast y=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$, pentru orice numere reale…
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $\frac{1}{x}\ast x\ast \frac{1}{x}=x\ast \frac{1}{x}\ast x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că nu există numere întregi $x$ și $y$, astfel încât $x$ să fie simetricul lui $y$ în raport cu legea de…

2019 — 9 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast 2019=2019$, pentru orice număr real $x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$, știind că $(x\ast x)\ast x=x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile de numere întregi $m$ și $n$ pentru care $m\ast n=2020$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Demonstrați că $x\ast y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$, pentru orice numere…
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x\ast x=x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că nu există niciun număr natural $n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$\ast$" să fie… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Demonstrați că $x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați perechile de numere naturale $a$ și $b$, știind că $a\circ b=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$, numărul…

2018 — 9 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Demonstrați că $x\ast y=4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right)-\frac{3}{4}$, pentru orice numere reale…
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast x\ast x=-\frac{1}{2}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $a$, știind că $f(x)\ast f(y)=f(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, unde… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Demonstrați că $x\ast y=\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\ast x\le \frac{101}{10}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați ${\log }_{2}1\ast {\log }_{2}2\ast {\log }_{2}3\ast \dots \ast {\log }_{2}2018$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Demonstrați că $x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, pentru orice $x,y\in {\mathbb{Z}}_{20}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați $a\in {\mathbb{Z}}_{20}$, știind că $a\circ x=\hat{0}$ pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_{20}$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Dați exemplu de $a,b\in {\mathbb{Z}}_{20}\setminus \left\{\widehat{17}\right\}$ pentru care $a\circ b=\hat{0}$.

2017 — 9 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\circ y=(x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$, știind că $x\circ x=x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$, știind că $2017^a\circ (-6)=1$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast y=7(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x\ast x=x$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă $a$, $b$ și $c$ sunt numere naturale astfel încât $a\ast b\ast c=48$, atunci numerele $a$, $b$… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast y=2-5(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele naturale $n$, știind că $(n\ast n)\ast n=n$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, dacă $a\ast a=b$ și $b\ast b=a$, atunci $a=b=2$ sau $a=b=\frac{9}{5}$.

2016 — 12 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+3$. Demonstrați că $f(x\circ y)=f(x)f(y)$…
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $a$, pentru care… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast y=2-(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $x$, pentru care $x\ast x=1$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă $m$, $n$ și $p$ sunt numere întregi astfel încât $m\ast n\ast p=2$, atunci produsul numerelor… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast y=-2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10=5$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele naturale $m$ și $n$, pentru care $m\ast n=27$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2016$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele naturale $a$, $b$ și $c$, știind că $a<b<c$ și $a\ast b\ast c=66$.

2015 — 6 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(-3)\circ 3=3$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\circ n=11$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $1\circ 2\circ 3\circ \dots \circ 2015$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2014 — 6 cerințe

sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2013 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2012 — 7 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2011 — 3 cerințe

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2010 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

Inele și corpuri

3 cerințe vin pe tema asta — prea puține pentru o pagină a ei, deci stau aici, la tema-umbrelă a capitolului.

2012 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{3}\right)$.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Descompuneți în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_5$ polinomul…
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că funcția $f$ nu este surjectivă.

Grupuri și morfisme de grupuri

2 cerințe vin pe tema asta — prea puține pentru o pagină a ei, deci stau aici, la tema-umbrelă a capitolului.

2010 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m=6$ arătați că $(M,\ast )$ este grup.
• Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m=6$, demonstrați că funcția $f:M\to {\mathbb{R}}^{}$, $f(x)=2x-3$ este un izomorfism între grupurile…

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Parte stabilă și legea de compoziție indusă — clasa a XII-a
• Asociativitatea unei legi de compoziție — clasa a XII-a
• Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei — clasa a XII-a
• Elementul neutru al unei legi de compoziție — clasa a XII-a
• Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită — clasa a XII-a
• Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule — clasa a XII-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: legi de compoziție cu parametri
• Test recapitulativ: legi de compoziție și grupuri
• Test: legea de compoziție și tabla operației
• Test: proprietățile legilor de compoziție

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Legi de compoziție», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Legi de compoziție, grupuri, inele, polinoame mai are o temă cu pagină proprie:

• Polinoame — 117 cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu legi de compoziție s-au dat la Bac M1?

149 de cerințe în 2010–2026, din 51 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 17, între 2010 și 2026, dintre care 36 de cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

La ce subiect cade tema «Legi de compoziție»?

La Subiectul al II-lea cad 149 din cele 149 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Cât cântărește tema în nota finală?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 745 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 14,6 puncte din cele 90.

Cât de grea e, față de restul probei?

Tema stă la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare. Dificultatea medie iese 1,99 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă nu știu deloc tema?

De la Parte stabilă și legea de compoziție indusă, lecția care o predă de la zero, apoi Test: legi de compoziție cu parametri, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu legi de compoziție?

Mai ales ecuații exponențiale (8 cerințe), numere complexe (3 cerințe), operații cu matrice și puteri de matrice (1 cerință). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.