Primitive și integrala nedefinită: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Primitive și integrala nedefinită, în 2010–2026: 22 de cerințe din 20 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Sunt destul de puține cât să le citești pe toate dintr-o dată, înainte de examen. Toate cad la Subiectul al III-lea, unde o problemă are trei subpuncte legate între ele. Materia e de clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Primitive și integrala nedefinită» la Bac M1

• 22 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (1,3 %), în 20 de probe din 91.
• A apărut în 11 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
• Cade numai la Subiectul al III-lea (0 cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 22 la al III-lea).
• Aduce 110 puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 2,00 din 3 — la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare.

Din cele 22 de cerințe, 14 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește primitive și integrala nedefinită ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Primitive și integrala nedefinită», an cu an

2026 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{F^2(x)}{\int }_2^x(t-2)F(t)dt=\frac{\ln 2}{4}$, unde… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}F(t)dt=0$, unde… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați primitiva $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $f$, pentru care axa $Ox$ este tangentă la graficul…

2022 — 2 cerințe

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $F\left(\sqrt{7}\right)<F(3)$, pentru orice primitivă $F$ a funcției $f$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că orice primitivă $G$ a funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ este convexă.

2021 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Se consideră $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $f$. Știind că graficul funcției $F$ are asimptotă… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că orice primitivă $F$ a funcției $f$ este strict crescătoare.

2020 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(-\infty ,0]$.

2019 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ are un singur punct de inflexiune. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(1,+\infty )$.

2018 — 2 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ are exact două puncte de inflexiune. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

2017 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(0,+\infty )$.

2015 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=0$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=\mathrm{e}-3$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.

2013 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați ${\int }_0^1(x+2)f(x)dx$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Verificați dacă funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați ${\int }_{-1}^{0}F(x)f(x)dx$.

2012 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $(-1,+\infty )$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x\ln x-x$ este o primitivă a funcției $f$.

2010 — 1 cerință

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019 · 2018 · 2017 · 2015.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți — clasa a XII-a
• Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive — clasa a XII-a
• Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale — clasa a XII-a
• Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm: completarea tabelului — clasa a XII-a
• Funcții care admit primitive: teorema lui Darboux și funcțiile continue — clasa a XII-a
• Primitivele funcțiilor definite pe ramuri — clasa a XII-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: primitive și integrala nedefinită
• Test: existența primitivelor și funcții pe ramuri
• Test: primitivele funcțiilor raționale
• Test: integrarea prin părți

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Primitive și integrala nedefinită», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Primitive, integrale și arii mai are 3 teme cu pagină proprie:

• Integrala definită — 145 de cerințe
• Șiruri de integrale — 82 de cerințe
• Aria subgraficului și volumul corpului de rotație — 24 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu primitive și integrala nedefinită s-au dat la Bac M1?

22 de cerințe în 2010–2026, din 20 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 11, între 2010 și 2026, dintre care 2 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Cade la problemele lungi de la Subiectul al III-lea?

Da: la Subiectul al III-lea cad 22 din cele 22 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Merită învățată, pentru câte puncte aduce?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 110 puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,5 puncte din cele 90.

Cât de grea e, față de restul probei?

Tema stă la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare. Dificultatea medie iese 2,00 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă nu știu deloc tema?

De la Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți, lecția care o predă de la zero, apoi Test: primitive și integrala nedefinită, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu primitive și integrala nedefinită?

Mai ales monotonie, puncte de extrem și convexitate (11 cerințe), funcția de gradul I (3 cerințe), limite de funcții și de șiruri (2 cerințe). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.