Aria subgraficului și volumul corpului de rotație: ce s-a dat la Bac M1, 2011–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Aria subgraficului și volumul corpului de rotație, în 2011–2026: 24 de cerințe din 22 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Sunt destul de puține cât să le citești pe toate dintr-o dată, înainte de examen. Tema apare abia din 2011. Toate cad la Subiectul al III-lea, unde o problemă are trei subpuncte legate între ele. Materia e de clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Aria subgraficului și volumul corpului de rotație» la Bac M1

24 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (1,5 %), în 22 de probe din 91.
A apărut în 11 ani din cei 17, între 2011 și 2026.
Cade numai la Subiectul al III-lea (0 cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 24 la al III-lea).
Aduce 120 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 2,54 din 3 — stă spre subpunctele finale, cele care despart notele mari de restul.

Din cele 24 de cerințe, 20 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește aria subgraficului și volumul corpului de rotație ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Aria subgraficului și volumul corpului de rotație», an cu an

2026 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real nenul $m$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (- 2, + \infty) \to R$ … sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției…

2025 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : R \to R$ …

2024 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ … sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real nenul $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului…

2023 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ , știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției…

2019 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g : R \to R$ , $g (x) = x f (x)$ , axa $O x$ … sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ … sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ , $a > e$ , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = - 1$ și $x = 1$ …

2017 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și… sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 1$ … sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural nenul $n$ , pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$ , $m > 0$ , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției…

2016 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ , $a > 1$ , știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 2$ … sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului funcției $g : [5, 6] \to R$ …

2015 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ .

2013 — 3 cerințe

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați aria suprafeței $S$ .
Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați volumul corpului obținut prin rotația suprafeței $S$ în jurul axei $O x$ .
Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\int_{0}^{2 π} f^{n} (k x) d x = \int_{0}^{2 π} f^{n} (x) d x$ , pentru orice numere naturale…

2012 — 1 cerință

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ .

2011 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției $g : [1, 2] \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ și de…

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2019 · 2017 · 2016 · 2015.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Aria subgraficului unei funcții continue — clasa a XII-a
Volumul corpului de rotație — clasa a XII-a
Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții — clasa a XII-a
Arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale: cazuri cu schimbare de semn — clasa a XII-a
Volume de rotație în probleme — clasa a XII-a
Aria discului și aria interiorului unei elipse — clasa a XII-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Aria subgraficului și volumul corpului de rotație», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Primitive, integrale și arii mai are 3 teme cu pagină proprie:

Integrala definită — 145 de cerințe
Șiruri de integrale — 82 de cerințe
Primitive și integrala nedefinită — 22 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu aria subgraficului și volumul corpului de rotație s-au dat la Bac M1?

24 de cerințe în 2011–2026, din 22 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 11, între 2011 și 2026, dintre care 7 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Cade la problemele lungi de la Subiectul al III-lea?

Da: la Subiectul al III-lea cad 24 din cele 24 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Merită învățată, pentru câte puncte aduce?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 120 de puncte în 2011–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,5 puncte din cele 90.

De ce se pierd puncte tocmai aici?

Fiindcă tema stă în subpunctele de final, cele care despart notele mari de restul. Dificultatea medie iese 2,54 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă nu știu deloc tema?

De la Aria subgraficului unei funcții continue, lecția care o predă de la zero, apoi Test: arii delimitate de grafice, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu aria subgraficului și volumul corpului de rotație?

Mai ales ecuații exponențiale (6 cerințe), inele și corpuri (5 cerințe), funcția de gradul al II-lea, ecuații și inecuații (4 cerințe). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.