Integrala definită: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Integrala definită, în 2010–2026: 145 de cerințe din 68 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Lista de mai jos e făcută ca să se vadă tiparul, nu un exemplu-două: aceleași cerințe revin, în forme apropiate. Toate cad la Subiectul al III-lea, unde o problemă are trei subpuncte legate între ele. Materia e de clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Integrala definită» la Bac M1

• 145 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (8,9 %), în 68 de probe din 91.
• A apărut în 16 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
• Cade numai la Subiectul al III-lea (0 cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 145 la al III-lea).
• Aduce 725 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 1,79 din 3 — la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare.

Din cele 145 de cerințe, 101 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește integrala definită ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Integrala definită», an cu an

Sunt 145 de cerințe. Enunțul e scris pentru primele 120, în ordinea anilor, de la 2026 în jos; pentru restul rămân eticheta cerinței și legătura la subiectul întreg, ca pagina să se deschidă și pe telefon.

2026 — 12 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x^2-4x+5}dx=2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^{3}f(x)dx=0$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_2^{3}f(x)x\ln xdx=\frac{7}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}dx=\ln 2$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}dx=e^2+9$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{{\ln }^{2}x}{x}\right)dx=12+\ln 3$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^e\left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{1}{3}$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^3(f(x)-\sqrt{x^2+4})dx=3$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{f(x)-x^2+2}dx=1$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_2^3\frac{f(x)}{\ln x}dx=11$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^{e}x(f(x)-4x\ln x)dx=3$.

2025 — 14 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^3(f(x)-e^{2x})dx=24$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}4x(f(x)-3x^2+1)dx=e^2+1$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt=1$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)(x+1{)}^{3}dx=9$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}dx=1-\ln 2$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-{\ln }^{2}x)dx=31$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}dx=\frac{1}{3}$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)e^{x}dx=10$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=5-\frac{6}{e}$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^4(f(x)-e^x)dx=18$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^2\frac{e^x}{f(x)-x^2}dx=\ln (e+1)$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că ${\int }_0^1\frac{x}{f(x)+1}dx\le 1-\frac{2}{e}$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_{-1}^2(2x^2+1)f(x)dx=3$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^2\sqrt{f(x)}dx=1$.

2024 — 11 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_{-1}^1(f(x)-6x^2)dx=\frac{12}{5}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^6\frac{x^3}{f(x)-1}dx=\frac{\ln 6}{2}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^x(f(2t)-f(t))dt\right)=6$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_3^{4}f(x)(3x^2+1)dx=14$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{4}{3}\ln 2$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^3(f(x)-x\ln x)dx=6$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^e(f(x)-x-1)dx=\frac{e^2+1}{4}$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^{3}f(x)(x^2+1{)}^{2}dx=4$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^4{e}^{x}f(x)dx=12$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{2e-3}{e}$.

2023 — 14 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-\ln (x+1))dx=9$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}dx=\frac{1}{2}$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)e^{x}dx=18$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+2}dx=\frac{e-2}{e}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt\right)=1$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^2(x^3+8)f(x)dx=8$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^{4}xf(x)dx=4\ln 2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^{x}t\cdot f(t)dt\right)$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^3(1+e^{-x})f(x)dx=8+e^3$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_{-m}^m\frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=m$, pentru orice $m\in (0,+\infty )$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real nenul $a$ pentru care… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)\sqrt{x+3}dx=12$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_{-2}^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx=2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că ${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le \frac{\pi }{2}$.

2022 — 13 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx=2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{\sqrt{5}}f(x)dx=\frac{19}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru fiecare număr natural $n$, $n\ge 2$, se consideră numărul… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^5(f(x)-\sqrt{x^2+9})dx=0$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}dx=2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx$… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)dx=e^2+1$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_{-1}^1{e}^x(f(x)-x-e^x)dx=1$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$ pentru care ${\int }_0^{1}x(f(x)+f(-x))dx=\frac{m}{2}-\frac{2}{e}$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_4^6\frac{f(x)}{\ln (x-1)}dx=10$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$, știind că ${\int }_3^{5}f(x)dx=m(4\ln 2-1)$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^3{e}^{x}f(x)dx=12$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care…

2021 — 11 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1(x^4+1)f(x)dx=\frac{11}{5}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $G(0)=0$. Arătați că… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^2(x^2+x+3)f(x)dx=2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^{2}g(x)dx=\ln \frac{9}{5}$, unde $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{\mathrm{arctg}x}dx=3$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real nenul $a$ pentru care ${\int }_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\frac{\pi }{a}-\sqrt{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că ${\int }_{-1}^{1}xf(x)dx=0$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+4x+5}dx=7$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^1(f^2(x)-4)dx=4\ln 2$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1\left(2f(x)+\frac{1}{x^2+3}\right)dx=\frac{\pi }{4}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, pentru orice numere reale $a$ și $b$, cu $a<b$, ${\int }_a^{b}f(x)F^2(x)dx>0$, pentru orice…

2020 — 8 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2\left(x^2+3\right)f(x)dx=\frac{1}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=1-\ln \frac{4}{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)dx=\frac{1}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{3}\ln 2$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^{2}x\cdot \frac{1}{f(x)}dx=\frac{31}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$, unde $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1(x^2+4)f(x)dx=-\frac{11}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră $I_n={\int }_1^2{x}^{n}f(x)dx$. Demonstrați că…

2019 — 10 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{13}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^4}{\int }_0^x{t}^{3}f(t)dt$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-\ln x)dx=\frac{7}{3}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{e^{-1}}^1{x}^n(f(x)-x^2)dx=0$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1(x^2+9)f(x)dx=\frac{1}{3}$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați ${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}f(x)dx$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^2{e}^{x}f(x)dx=2$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați ${\int }_1^2\frac{(3x-2)f(x)}{\ln (x+1)}dx$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t^3}{\int }_0^{t}f(x)dx$.

2018 — 10 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)dx=9$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^2\frac{2-x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1(x+3)f(x)dx=4$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=2-3\ln \frac{4}{3}$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)e^{-x}dx=\frac{11}{6}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx=1$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x}\right)dx=\frac{e-1}{e}$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}f\left(\mathrm{tg}x\right)dx=\frac{1}{2}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că…

2017 — 7 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_{-2}^1(x+2{)}^{2}dx=9$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $n=1$, arătați că ${\int }_0^{1}f(x)e^{x}dx=2e-1$. sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1(e^x+1)f(x)dx=e-1$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_{-1}^{1}x(f(x)+f(-x))dx=0$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-3x^2)dx=e-1$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_0^{1}xf(x)dx=\frac{7}{4}$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2\frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx=\ln \frac{3}{2}$.

2016 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^2\sqrt{x}f(x)dx=\frac{5}{2}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^{e^2}(f(x)-\sqrt{x})\ln xdx=4$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)e^{-x}dx=0$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{-n}^1\left(f(x)+e^x\right)dx=0$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_5^{10}(x-4)f(x)dx=\ln 2$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2{\int }_n^{n+1}f(x)dx\right)=1$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați ${\int }_2^4\frac{1}{\ln x}f(x)dx$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)}{x}dx=1-\frac{2}{e}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_1^e\frac{f(x)}{x^n}dx=0$.

2015 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1$.
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2014 — 5 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2012 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2011 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

2010 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3
• Subiectul al III-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Integrarea prin părți pentru integrala definită — clasa a XII-a
• Funcții integrabile și integrala definită — clasa a XII-a
• Schimbarea de variabilă pentru integrala definită — clasa a XII-a
• Sinteză: integrala definită — probleme de tip Bacalaureat M1 — clasa a XII-a
• Proprietățile integralei definite — clasa a XII-a
• Integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul — clasa a XII-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: metode de calcul pentru integrala definită
• Test recapitulativ: integrala definită
• Test: formula Leibniz–Newton și proprietățile integralei
• Test: teorema de medie și funcția integrală

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Integrala definită», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Primitive, integrale și arii mai are 3 teme cu pagină proprie:

• Șiruri de integrale — 82 de cerințe
• Aria subgraficului și volumul corpului de rotație — 24 de cerințe
• Primitive și integrala nedefinită — 22 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu integrala definită s-au dat la Bac M1?

145 de cerințe în 2010–2026, din 68 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 16, între 2010 și 2026, dintre care 48 de cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Cade la problemele lungi de la Subiectul al III-lea?

Da: la Subiectul al III-lea cad 145 din cele 145 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Cât cântărește tema în nota finală?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 725 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 10,7 puncte din cele 90.

Cât de grea e, față de restul probei?

Tema stă la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare. Dificultatea medie iese 1,79 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă nu știu deloc tema?

De la Integrarea prin părți pentru integrala definită, lecția care o predă de la zero, apoi Test: metode de calcul pentru integrala definită, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu integrala definită?

Mai ales limite de funcții și de șiruri (18 cerințe), funcția de gradul I (9 cerințe), inele și corpuri (1 cerință). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.