Studiul funcțiilor — clasa a XI-a

Cu derivata întâi se află unde crește și unde scade o funcție, cu derivata a doua unde se curbează într-un sens sau în celălalt, iar din cele două iese tabelul de variație. Capitolul are, la clasa a XI-a, paisprezece lecții și patru teste cu barem, iar cu el se încheie anul, folosind tot ce s-a învățat în capitolele de limite și de derivate.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este capitolul în care derivata devine răspuns, nu rezultat: aceleași calcule de la capitolul precedent servesc acum la demonstrarea unei inegalități, la aflarea numărului de soluții ale unei ecuații sau la găsirea unui cost minim. Reprezentarea grafică propriu-zisă, cu asimptote, se face în clasa a XII-a; aici se studiază variația. Pagina de studiu al funcțiilor strânge cele 14 lecții, formulele de monotonie și de convexitate, exercițiile rezolvate și cele patru teste.

Ce se cere la Bacalaureatul M1 din studiul funcțiilor

La proba M1 studiul variației cade la Subiectul al III-lea, într-o problemă cu subpuncte legate: primul cere derivata, al doilea monotonia sau un extrem, al treilea o inegalitate sau o valoare extremă. Studiul variației se cere în șase forme:

Cerințele reale de studiu al variației, sesiune după sesiune, sunt la monotonie, extreme și convexitate la Bac M1.

Teorie: cele 14 lecții ale capitolului

Lecțiile urcă în patru grupe: ce se citește din derivata întâi, ce se demonstrează cu monotonia obținută, ce se citește din derivata a doua — până la tabelul care le pune pe amândouă la un loc — și la ce folosesc toate acestea, în aplicații.

Derivata întâi: monotonie și extreme. Monotonia dedusă din semnul derivatei întâi este lecția de pornire: pe un interval pe care derivata este strict pozitivă funcția este strict crescătoare, pe unul pe care este strict negativă este strict descrescătoare. Punctele de extrem local arată că nu orice anulare a derivatei dă un extrem — semnul trebuie să se schimbe, din pozitiv în negativ pentru un maxim local și din negativ în pozitiv pentru un minim local. Punct critic este punctul din interiorul domeniului în care funcția este derivabilă și derivata se anulează; la căutarea extremelor, punctelor critice li se adaugă punctele în care funcția nu este derivabilă și capetele închise ale domeniului, unde teorema lui Fermat nu se aplică. Apoi tabelul de variație cu derivata întâi strânge totul într-o formă pe care baremul o punctează ca atare. Imaginea unei funcții stabilită cu derivata dă prima aplicație: mulțimea valorilor se citește din tabel.

Ce se demonstrează cu monotonia. Demonstrarea inegalităților cu ajutorul derivatelor și numărul soluțiilor unei ecuații studiat cu derivate sunt cele două tipuri de cerință în care analiza rezolvă probleme care par de algebră. Amândouă se sprijină pe același pas: se construiește o funcție ajutătoare și se studiază variația ei.

Derivata a doua: convexitate și inflexiune. Funcțiile convexe și funcțiile concave definesc noțiunea geometric, prin poziția coardei față de grafic, iar convexitatea și semnul derivatei a doua o traduce în criteriu de calcul. Punctele de inflexiune sunt punctele în care curbura își schimbă sensul, iar tabelul de variație complet, cu derivata întâi și derivata a doua pune cele două derivate în același tablou, cu două linii de semn.

Aplicații. Problemele de extrem în geometrie, optimizarea costului, a profitului și a productivității și aplicațiile derivatelor în fizică arată la ce folosește capitolul în afara caietului: la găsirea valorii care face un cost minim sau o arie maximă. Schema completă de studiu al variației închide capitolul cu ordinea pașilor, de la domeniu până la tabel.

Formule

Tema de formule are opt intrări, împărțite exact ca lecțiile. De derivata întâi țin monotonia din semnul derivatei, punctele critice și extremele locale și tabelul de variație — pe ultima o deschizi când nu ești sigur ce se scrie pe fiecare linie a tabelului, fiindcă forma lui este parte din punctaj.

De derivata a doua țin funcțiile convexe și funcțiile concave, convexitatea și derivata a doua și punctele de inflexiune, cu condiția de schimbare de semn scrisă separat.

Ultimele două sunt de aplicații: șirul lui Rolle, metodă învățată în capitolul de derivate și folosită aici de fiecare dată când cerința întreabă câte soluții are o ecuație, și optimizarea costului mediu și a profitului maxim, pagina de care ai nevoie la problemele cu enunț din economie. Tema întreagă este la formulele de studiu al funcțiilor.

Termenii se recitesc scurt în glosar: punct de extrem local, punct de inflexiune, convexitate, criteriul de convexitate, derivata de ordinul al doilea și șirul lui Rolle.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate de studiu al variației sunt 12, fiecare cu variante de răspuns; „Vezi rezolvarea" deschide răspunsul, tabelul lucrat și lecția din care vine cerința. Acoperă semnul derivatei și intervalele de monotonie, punctele critice și extremele, citirea imaginii unei funcții din tabel, convexitatea cu derivata a doua, punctele de inflexiune și primele probleme de optimizare. Cerințele lungi, în care tabelul se construiește de la zero și demonstrația se scrie integral, se lucrează pe testele capitolului, unde există loc de redactare; pe pagina de exerciții, aceleași teme apar în varianta scurtă, cu variante de răspuns.

Exerciții cu verificare

Aici se lucrează pe tabel, nu se citește despre el. Testul ghidat de monotonie și extreme îți spune ce ai de făcut mai departe, chiar din dreptul opririi. La studiul variației, pasul care se sare des este chiar primul: stabilirea domeniului înainte de orice calcul. Un tabel corect construit pe un domeniu greșit dă intervale de monotonie care nu există.

Teste cu barem

Cele patru teste de studiu al variației au aceleași cifre: 13 cerințe și 50 de minute recomandate, din cele 100 de puncte ale fiecărui test 10 fiind din oficiu. În josul fiecărui test stau baremul și rezolvările, deschise, fără niciun pas de trimitere.

• Test: monotonia și punctele de extrem — semnul derivatei întâi, intervalele de monotonie și extremele. Se dă primul.
• Test: inegalități și ecuații rezolvate cu derivate — cerințele în care se construiește o funcție ajutătoare și se studiază variația ei.
• Test: convexitate, concavitate și puncte de inflexiune — tot ce se citește din derivata a doua, inclusiv condiția de schimbare de semn.
• Test: tabelul de variație și probleme de optimizare — testul de sinteză al capitolului, cu tabelul complet și cu enunțuri din geometrie și din economie.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului este proba pe câte o valoare din fiecare interval: după ce ai stabilit semnul derivatei, alege un număr comod din fiecare interval al tabelului, calculează derivata în el și compară semnul obținut cu cel scris. Apoi calculează funcția în două puncte din același interval și verifică dacă valorile chiar cresc sau chiar scad, așa cum spune tabelul. Proba pe intervale prinde greșelile de semn — punctele 2 și 4 de mai jos. Înaintea ei se face însă o probă de o singură linie, care le prinde pe celelalte două: scrie domeniul și numele derivatei folosite deasupra tabelului, înainte de orice calcul. Un tabel al cărui antet spune „$D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, semnul lui $f^{\prime }$" nu poate nici să sară un punct exclus, nici să citească curbura din rândul greșit.

1. Antetul lipsă se vede în coloanele tabelului — dacă domeniul nu a fost scris înainte, tabelul pornește direct de la soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$ și rămâne fără barele din punctele în care funcția nu este definită. Ordinea pașilor este fixată la schema de studiu al variației.
2. Proba pe intervale separă punctul critic de punctul de extrem — două valori, una de o parte și alta de cealaltă, arată dacă semnul derivatei se schimbă; dacă rămâne același, punctul este doar critic, iar funcția trece prin el fără să întoarcă. Se repară la punctele de extrem local.
3. Antetul spune din ce rând se citește curbura — proba pe intervale se face pe $f^{\prime }$ și dă monotonia, deci nu are cum să confirme o afirmație de convexitate; aceea se citește din $f^{\prime \prime }$, pe linia ei. Se repară la convexitatea și semnul derivatei a doua.
4. Proba pe intervale cere schimbarea de semn și la $f^{\prime \prime }$ — anularea singură nu ajunge, exact ca la extreme: se iau două valori de o parte și de alta a punctului și se compară semnele lui $f^{\prime \prime }$. Se repară la punctele de inflexiune.

Recapitulare și pregătire pentru Bacalaureatul M1

Recapitularea capitolului este recapitulare: studiul variației funcțiilor, iar problemele de tip examen ale capitolului sunt strânse în sinteza finală de clasa a XI-a. Pentru repetat rapid înainte de teză sunt cartonașele monotonia din semnul derivatei și punctele de inflexiune.

Cât cântăresc monotonia, extremele și convexitatea din studiul variației e materie de examen se află la ce intră la Bacalaureatul M1, cerințele cerute an de an, cu barem, sunt strânse pe cele 91 de subiecte oficiale; ce s-a văzut în baremele comisiei la transcrierea lor este scris în ce am găsit în baremele oficiale de Bacalaureat.

De aici încolo

Capitolul folosește direct derivatele, inclusiv consecințele teoremei lui Lagrange, și se sprijină pe limitele de funcții atunci când tabelul cere valorile la capetele domeniului. Metoda funcției ajutătoare revine, cu alte unelte, la limitele de șiruri, în demonstrațiile de monotonie. Studiul variației este ultimul capitol al anului, iar drumul până la el se vede pe hub-ul clasei a XI-a; tabelele se construiesc de mână în fișele tipăribile. Iar asimptotele și reprezentarea grafică completă, care încheie studiul unei funcții, se adaugă în clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul de studiu al funcțiilor?

De la legătura dintre semnul derivatei și monotonie, adică de la prima lecție, dar numai după ce derivarea a devenit un calcul sigur. Capitolul nu aduce tehnici noi de derivare: aduce întrebări noi puse aceleiași derivate. Dacă derivatele compuse încă cer timp, se reia întâi capitolul dinainte.

În ce ordine se învață cele 14 lecții de studiu al variației și ce nu se poate sări?

În patru grupe: derivata întâi cu monotonia și extremele; inegalitățile și numărul de soluții, care se sprijină pe ea; derivata a doua cu convexitatea și inflexiunea; apoi aplicațiile din geometrie, economie și fizică. Nu se sare tabelul de variație — este forma în care se cere răspunsul la examen — și nu se sare schema finală, care fixează ordinea pașilor. Aplicațiile se pot lăsa la urmă.

Ce îmi trebuie din capitolul de derivate ca să încep studiul variației?

Derivatele funcțiilor uzuale, derivarea unui produs, a unui cât și a unei funcții compuse, plus limitele la capetele unui interval, care apar pe prima linie a tabelului. Din capitolul de derivate mai sunt necesare teorema lui Fermat și consecințele teoremei lui Lagrange: din ele iese chiar regula după care semnul derivatei dă monotonia.

Ce se studiază în tabelul de variație și ce nu se studiază la clasa a 11-a?

Granița trece prin tabel, nu prin funcție: la clasa a XI-a se cer domeniul, variația citită din derivata întâi și curbura citită din derivata a doua, adică tot ce se poate scrie fără să desenezi. Asimptotele și trasarea propriu-zisă a graficului nu fac parte din programa acestui an; ele intră în programa clasei a XII-a, unde se reia schema completă de reprezentare grafică. De aceea o cerință de clasa a XI-a se încheie la citirea tabelului, iar una care cere graficul aparține anului următor.

De ce apar în același capitol inegalitățile, numărul de soluții și problemele de cost?

Fiindcă toate trei se rezolvă cu același obiect: tabelul de variație al unei funcții alese de tine. La o inegalitate se mută totul într-o parte și se studiază variația expresiei rămase. La numărul de soluții se studiază variația funcției din ecuație și se numără intersecțiile cu o dreaptă orizontală. La un cost minim se scrie mărimea de optimizat ca funcție de necunoscută și se caută minimul în tabel. Capitolul nu aduce tehnici noi de derivare: aduce întrebări noi pe care aceeași derivată le poate răspunde.

De ce apare studiul variației mereu la Subiectul al III-lea și niciodată la Subiectul I?

Fiindcă cerințele lui nu se pot închide într-un răspuns scurt. Subiectul I cere rezultate care încap pe un rând; aici, între enunț și concluzie stau domeniul, derivata, semnul ei, tabelul și citirea tabelului — cinci pași, fiecare punctat separat. De aceea tema cade într-o problemă cu trei subpuncte legate: primul cere derivata, al doilea monotonia sau un extrem, al treilea concluzia care se sprijină pe ele. Cine sare tabelul pierde punctele intermediare chiar dacă nimerește răspunsul final.

Cum arată o problemă de optimizare rezolvată complet?

În patru pași: se alege necunoscuta și se scrie mărimea de optimizat ca funcție de ea, se stabilește intervalul pe care are sens problema, se studiază variația cu derivata, apoi se revine la enunț și se răspunde cu mărimea cerută, nu cu valoarea necunoscutei. Ultimul pas este cel uitat frecvent: se calculează $x$ și se uită costul.