Monotonie, puncte de extrem și convexitate: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Monotonie, puncte de extrem și convexitate, în 2010–2026: 32 de cerințe din 29 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul al III-lea, unde o problemă are trei subpuncte legate între ele. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Monotonie, puncte de extrem și convexitate» la Bac M1

• 32 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (2,0 %), în 29 de probe din 91.
• A apărut în 14 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
• Cade numai la Subiectul al III-lea (0 cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 32 la al III-lea).
• Aduce 160 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 2,31 din 3 — stă spre subpunctele finale, cele care despart notele mari de restul.

Din cele 32 de cerințe, 24 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește monotonie, puncte de extrem și convexitate ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Monotonie, puncte de extrem și convexitate», an cu an

2026 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că funcția $f$ este strict crescătoare.

2025 — 1 cerință

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

2024 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

2022 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\left|\frac{f(x)}{e^{-x}}-1\right|$ are…

2021 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem.

2019 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

2017 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(-2,+\infty )$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

2016 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty )$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

2015 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că derivata funcției $f$ este descrescătoare pe $\mathbb{R}$. sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(1,+\infty )$.

2014 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

2013 — 2 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Verificați dacă funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $(-1,1)$.
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați punctele de inflexiune a funcției $f$.

2012 — 4 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că funcția este crescătoare pe intervalul $[2,+\infty )$. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(\sqrt{x}\right)$ este strict crescătoare pe… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $[-1,1]$.

2011 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că graficul funcției $f$ are un punct de inflexiune. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$.

2010 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Studiați monotonia funcției $f$.
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați punctele de inflexiune ale funcției $f$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe intervalul $(-\infty ,-1)$.

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2022 · 2021 · 2019 · 2017 · 2016.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Punctele de extrem local și determinarea extremelor — clasa a XI-a
• Puncte de inflexiune — clasa a XI-a
• Convexitatea și semnul derivatei a doua — clasa a XI-a
• Probleme de extrem în geometrie — clasa a XI-a
• Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi — clasa a XI-a
• Tabelul de variație cu derivata întâi — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: convexitate, concavitate și puncte de inflexiune
• Test: monotonia și punctele de extrem
• Test: inegalități și ecuații rezolvate cu derivate
• Test: tabelul de variație și probleme de optimizare

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Monotonie, puncte de extrem și convexitate», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Limite, derivate și studiul funcției mai are 3 teme cu pagină proprie:

• Derivate și reguli de derivare — 159 de cerințe
• Asimptote și studiul funcției — 52 de cerințe
• Limite de funcții și de șiruri — 33 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu monotonie, puncte de extrem și convexitate s-au dat la Bac M1?

32 de cerințe în 2010–2026, din 29 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 14, între 2010 și 2026, dintre care 5 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Cade la problemele lungi de la Subiectul al III-lea?

Da: la Subiectul al III-lea cad 32 din cele 32 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 160 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,5 puncte din cele 90.

De ce se pierd puncte tocmai aici?

Fiindcă tema stă în subpunctele de final, cele care despart notele mari de restul. Dificultatea medie iese 2,31 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Punctele de extrem local și determinarea extremelor, lecția care o predă de la zero, apoi Test: convexitate, concavitate și puncte de inflexiune, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.