Asimptote și grafice — clasa a XII-a

O asimptotă este dreapta de care graficul se apropie oricât de mult, fără să o atingă neapărat. Capitolul le clasifică — orizontale, oblice, verticale — și le folosește apoi ca schelet al desenului întregii funcții. În clasa a XII-a i se alocă 15 lecții; pe pagina asta stau și cele patru teste ale lui, cele unsprezece fișe de formulă și exercițiile rezolvate.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este capitolul în care rezultatul final nu e un număr, ci o figură; de aceea se notează altfel și se verifică altfel.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

Programa specializării matematică-informatică, în textul întocmit pentru planurile-cadru OMEC nr. 4350/2025, așază capitolul sub competențele XII.CS.1.4, XII.CS.2.4, XII.CS.3.4, XII.CS.4.4, XII.CS.5.4 și XII.CS.6.4: recunoașterea comportării unei funcții la capetele domeniului, calculul asimptotelor și trecerea de la tabelul de variație la desen. Pe subiect, cerințele se repetă în formele acestea:

Ce ți se cere	Cum sună cerința pe subiect
Să determini asimptota verticală	„Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției."
Să determini asimptota orizontală	„Arătați că dreapta $y = 7$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ ."
Să determini asimptota oblică	„Determinați asimptota oblică la graficul funcției spre $- \infty$ ."
Să studiezi monotonia cu derivata	„Studiați monotonia funcției și determinați punctele de extrem."
Să discuți convexitatea	„Determinați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune."
Să discuți numărul soluțiilor	„Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației, în funcție de parametrul $m$ ."

Cerințele care au cerut asta la examen sunt strânse, cu enunțul oficial și rezolvarea fiecăreia, pe pagina temei „asimptote", care adună 52 de cerințe din probele dintre 2010 și 2026, și, pentru partea de variație, pe pagina temei „monotonie și extreme", cu 32 de cerințe. Capitolul face parte din grupa „limite, derivate și studiul funcției", descrisă la ce intră la Bacalaureatul M1; probele întregi sunt în arhiva oficială.

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 15 lecții merg în trei pași: cinci despre asimptote, șase despre desen și patru despre ce se citește de pe el.

Asimptotele, una câte una. Ce este o asimptotă explică de ce întrebarea se pune numai la capetele domeniului și lângă punctele scoase din el. Urmează cele trei tipuri, în ordinea în care se predau — la căutare, ordinea e alta, iar locul ei e schema asimptotelor în patru pași: asimptota orizontală, asimptota oblică și asimptota verticală. Ordinea contează: orizontala și oblica se exclud reciproc spre aceeași ramură, deci a doua se caută doar dacă prima nu există. Asimptotele funcțiilor uzuale strânge cazurile tipice — raționale, cu radicali, exponențiale, logaritmice — într-o singură lecție de recunoaștere.

Desenul. Schema reprezentării grafice dă succesiunea de pași care se aplică la orice funcție, iar următoarele cinci lecții o instanțiază pe familii: funcțiile polinomiale, funcțiile raționale, funcțiile cu radicali, funcțiile exponențiale și logaritmice și funcțiile trigonometrice, cu modul sau pe ramuri. Fiecare familie are un pas propriu care lipsește la celelalte, iar acela e motivul pentru care lecțiile nu se pot comasa.

Ce citești de pe grafic. Rezolvarea grafică a ecuației cu parametru transformă desenul într-un instrument de discuție, iar rezolvarea grafică a ecuației cu două funcții și șirul lui Rolle compară metoda grafică cu cea algebrică. Graficele din fizică și instrumentele digitale arată cum se citește un grafic pe care nu l-ai desenat tu. Unitatea se închide cu sinteza studiului complet al unei funcții.

Formule

Familia asimptote și reprezentarea grafică are unsprezece fișe. Pe fiecare stau notațiile explicate și un exemplu dus până la capăt:

ce este o asimptotă — se citește o dată, la început, și lămurește ce anume se calculează în celelalte zece;
asimptota orizontală, asimptota verticală și asimptota oblică în trei pași — trei pagini, trei tipuri de răspuns; oblica e singura care cere două limite legate, întâi panta și apoi termenul liber, iar acolo se pierd punctele;
asimptota oblică la funcțiile cu radical și asimptotele funcțiilor raționale — scurtături pentru două familii care apar des; se folosesc după ce procedura generală e înțeleasă, nu în locul ei;
schema asimptotelor în patru pași și schema reprezentării grafice în nouă pași — cele două liste de control ale capitolului; a doua o cuprinde pe prima;
punctul de inflexiune al funcției de gradul al treilea — un caz particular care scurtează mult pasul de convexitate;
discuția grafică a ecuației cu parametru și ecuația cu două funcții și șirul lui Rolle — se caută abia la ultimele lecții, când graficul e deja desenat.

În glosar sunt definite asimptota, asimptota oblică, asimptota orizontală, asimptota verticală și reprezentarea grafică a unei funcții.

Exerciții rezolvate

Cele 12 exerciții rezolvate ale capitolului sunt grile: bifezi varianta, iar rezolvarea de dedesubt îți arată drumul și lecția de unde vine cerința. Ating recunoașterea tipului de asimptotă, calculul celor doi coeficienți ai oblicei, citirea tabelului de variație și numărul de soluții al unei ecuații cu parametru. Desenul întreg al unei funcții nu se poate cere într-o grilă și rămâne pe teste.

Exerciții cu verificare

În testul ghidat de asimptote scrii tu limita și primești indiciul următor doar acolo unde te oprești. Ghidajul de la acest capitol se declanșează în două puncte: la alegerea capătului spre care se calculează limita — spre $+ \infty$ și spre $- \infty$ răspunsurile pot fi diferite — și la al doilea pas al asimptotei oblice, unde mulți se opresc după ce au aflat panta.

Teste cu barem

Capitolul are patru teste. Nota se calculează din 90 de puncte de lucru, la care se adaugă oficiul, iar baremul cu rezolvările e deschis sub cerințe.

Test: asimptotele funcțiilor — 11 cerințe și o oră de curs; ultima parte cere schema asimptotelor aplicată unei funcții cu parametru.
Test: reprezentarea grafică a funcțiilor — tot 11 cerințe în 50 de minute, pe schema în nouă pași și pe patru familii de funcții.
Test: rezolvarea grafică a ecuațiilor — 10 cerințe într-o oră de curs, cu valorile-prag și regula capătului deschis.
Test recapitulativ: studiul complet al funcțiilor — tot 10 cerințe, dar 90 de minute, fiind recapitulare de capitol.

Metoda de verificare a capitolului

Metoda proprie capitolului este confruntarea desenului cu tabelul: după ce ai desenat graficul, parcurgi tabelul de variație rând cu rând și verifici că fiecare rând se vede în figură. Un tabel corect și un desen corect spun același lucru de două ori; când nu se potrivesc, unul dintre ele e greșit, iar comparația arată care. Locurile în care confruntarea aceasta prinde greșeli sunt:

Asimptota atinsă în loc de tăiată. Graficul poate tăia asimptota orizontală sau oblică; punctele de intersecție se află rezolvând $f (x) = m x + n$ , iar dacă ecuația are soluții și desenul nu le arată, desenul e cel greșit.
Monotonia inversată pe un interval. Săgeata din tabel și panta din desen trebuie să indice în aceeași direcție pe fiecare interval.
Extremul plasat greșit. Punctul în care derivata se anulează are, în desen, tangentă orizontală; dacă figura arată acolo o pantă vizibilă, valoarea a fost calculată greșit.
Convexitatea uitată. Un grafic care urcă poate urca în două feluri; inflexiunea din tabel trebuie să se vadă ca schimbare de curbură, altfel pasul acela a fost sărit.
Domeniul restrâns nerespectat. Desenul continuat dincolo de capetele domeniului contrazice primul rând al tabelului și e sancționat, chiar dacă restul figurii e corect.

Recapitulare înainte de examen

Recapitularea capitolului este sinteza studiului complet al unei funcții, verificată cu testul recapitulativ de studiu complet. Pasul următor este o probă întreagă, cronometrată la trei ore: simularea de Bacalaureat M1 sau un an din arhiva oficială, corectat cu baremul; erorile de tipar pe care le-am găsit în bareme sunt la defectele semnalate. Ce se știe despre sesiunea următoare stă la subiectele de bacalaureat 2027. Dacă limitele și derivatele de anul trecut sunt șubrede, măsura se ia cu testul inițial al clasei.

De aici încolo

Capitolul continuă direct studiul funcțiilor început la matematică de clasa a XI-a, de unde vin limitele și derivatele fără de care nu se calculează nicio asimptotă. Mai departe, semnul și monotonia citite aici se folosesc la primitive, unde proprietățile primitivei se deduc din funcție, și la integrala definită, la cerințele cu funcția integrală. Graficele de conice, care nu sunt grafice de funcții, se studiază separat la conice. Toate capitolele anului se văd dintr-o privire pe pagina clasei a XII-a. Desenele se exersează mai bine pe hârtie, la fișele de lucru, iar schemele de calcul revin în culegerea de formule.

Întrebări frecvente

Cât din analiza de clasa a XI-a intră în calculul unei asimptote?

Limitele, în întregime: la infinit, laterale și cazurile de nedeterminare — tot ce s-a predat anul trecut sub numele acesta. Pentru a doua jumătate a capitolului, cea de reprezentare grafică, mai ai nevoie de derivata întâi, pentru monotonie, și de derivata a doua, pentru convexitate. Fără limite laterale, asimptota verticală nu se poate justifica.

De ce stau asimptotele și reprezentarea grafică în același capitol?

Fiindcă asimptotele sunt primul pas al desenului, nu un subiect separat: din cele nouă rânduri ale schemei de reprezentare grafică, al treilea este chiar ele. Cele cinci lecții de asimptote apar și singure pe subiectul scurt, dar cine le învață așa rămâne cu o treime din capitol: celelalte zece nu adaugă asimptote noi, ci arată ce se face cu ele. Ordinea de căutare, alta decât cea de predare, e în schema asimptotelor în patru pași.

De ce se învață graficul separat pe familii de funcții?

Fiindcă fiecare familie adaugă un pas pe care celelalte nu îl au: la funcțiile raționale, punctele scoase din domeniu; la cele cu radicali, condiția de existență; la cele logaritmice, capătul deschis al domeniului; la cele cu modul, despărțirea pe ramuri. Schema generală rămâne aceeași, dar pasul suplimentar se învață doar pe exemple din familia lui.

Câte cerințe are fiecare dintre cele patru teste de asimptote și grafice?

Primele două au câte 11 cerințe și se dau în 50 de minute. Testul de rezolvare grafică are 10 cerințe, tot în 50 de minute, iar cel recapitulativ are tot 10 cerințe, dar 90 de minute. Maximul e 100 de puncte la fiecare, oficiul inclus, iar structura merge pe trei părți, cu o cerință finală în formatul subiectului de examen.

Se cere desenul propriu-zis pe subiectul de Bacalaureat M1?

În formatul actual al probei, cerințele scurte cer elementele desenului — asimptote, monotonie, extreme, convexitate —, nu figura însăși. Studiul complet rămâne totuși util: la cerințele de discuție cu parametru, numărul de soluții se citește dintr-o figură făcută pe ciornă mai repede decât se obține pe cale algebrică — iar cele două căi se compară în lecția despre șirul lui Rolle.

Ce legătură are capitolul cu restul materiei de clasa 12?

Este puntea dintre analiza de clasa a XI-a și integrale. Din el vin semnul funcției și monotonia, folosite la deducerea proprietăților unei primitive, și tot din el vine poziția relativă a două grafice, de care depinde formula ariei dintre ele. Cu structurile algebrice ale aceluiași an nu are puncte comune.

Ce fac dacă graficul desenat de mine nu seamănă cu cel din barem?

Compari rând cu rând tabelul tău de variație cu al baremului, nu figurile între ele. Diferența apare aproape întotdeauna într-un singur rând — un semn de derivată, o limită la capăt sau un punct scos din domeniu —, iar corectarea acelui rând aduce figura la forma corectă fără să redesenezi tot.