Conice — clasa a XII-a

Cercul, elipsa, hiperbola și parabola sunt curbele care apar tăind un con cu un plan; în planul cartezian, fiecare are o ecuație de gradul al doilea și un set de elemente care se citesc din ea. Unitatea are 18 lecții de clasa a XII-a, cinci teste, paisprezece fișe de formulă și o pagină cu exerciții rezolvate.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este singurul capitol de geometrie al anului și, totodată, cel în care desenul ajută vizibil: aproape orice cerință se rezolvă mai repede dacă desenezi întâi.

Ce se cere la Bacalaureatul M1

Conicele formează domeniul al treilea al programei de matematică-informatică întocmite pentru planurile-cadru OMEC nr. 4350/2025; competențele lor sunt XII.CS.1.3, XII.CS.2.3, XII.CS.2.4, XII.CS.3.3, XII.CS.4.3 și XII.CS.5.3. Un lucru trebuie spus limpede, fiindcă schimbă felul în care folosești pagina: probele oficiale M1 date până astăzi nu conțin nicio cerință de conice, iar capitolul nu intră la niciuna dintre sesiunile 2027, 2028 și 2029, care se dau pe programa anterioară. Curbele acestea ajung pe subiect abia la prima sesiune dată după trecerea clasei a XII-a pe textul nou al programei; până la ea, capitolul se învață pentru școală, pentru teze și pentru concursuri. Cerințele de tip examen din lecțiile de mai jos sunt scrise de noi, după formatul probei, nu preluate din probe oficiale. Ce s-a dat efectiv, la geometrie analitică, se vede pe pagina temei „geometrie analitică" — 60 de cerințe între 2010 și 2026, dar despre dreaptă și despre reperul cartezian, materie de clasele a IX-a și a XI-a, nu despre conice. Lista capitolelor care intră efectiv, cu ponderea fiecăruia, e la ce intră la Bacalaureatul M1; probele întregi, în arhiva oficială, de pildă sesiunea 2026.

Tipurile de cerință pe care le exersează capitolul sunt:

Teorie: lecțiile capitolului, în ordinea de predare

Cele 18 lecții merg pe patru curbe, apoi pe ce se poate face cu ele.

Punctul de plecare. Conicele ca secțiuni ale conului explică de ce patru curbe atât de diferite poartă același nume și de unde le vin proprietățile comune.

Cercul. Definiția geometrică și ecuația canonică, ecuația generală și cercul determinat de condiții și cercul față de o dreaptă, cu tangenta formează blocul de la care se învață metoda: din ecuație se citesc elementele, din elemente se rescrie ecuația.

Elipsa și hiperbola. Elipsa, cu deducerea ecuației canonice și elementele elipsei, cu graficul sunt urmate de hiperbolă, cu deducerea ecuației, elementele ei, inclusiv asimptotele și hiperbola echilateră raportată la asimptote. Cele două curbe se învață pereche fiindcă ecuațiile lor diferă printr-un singur semn, iar diferența aceea schimbă tot desenul.

Parabola. Definiția și ecuația canonică și elementele parabolei, cu reprezentarea grafică închid seria celor patru curbe. Atenție la deosebirea față de clasa a IX-a: acolo parabola era graficul unei funcții de gradul al doilea; aici e definită geometric, prin distanțe egale față de un focar și față de o directoare.

Ce se face cu ele. Recunoașterea unei conice din ecuație sau din grafic, intersecția cu o dreaptă, tangenta prin dedublare, intersecția a două conice, determinarea unei conice din condiții date și conicele privite cu instrumentele analizei sunt lecțiile de aplicație. Capitolul se încheie cu sinteza în format de probă scrisă.

Formule

Familia conice numără paisprezece fișe; pe fiecare stau notațiile și un exemplu numeric. Le deschizi în ordinea curbelor:

• ecuația canonică a cercului, ecuația generală a cercului și dreapta față de cerc, prin distanța de la centru — blocul primelor trei lecții;
• definiția și ecuația canonică a elipsei, elementele elipsei și razele focale ale elipsei — ultima se caută numai la cerințele care pomenesc distanțele la focare;
• definiția și ecuația canonică a hiperbolei, asimptotele și razele focale ale hiperbolei și hiperbola echilateră raportată la asimptote — a treia apare mai ales la exercițiile în care curba e dată printr-o funcție de tip raport;
• ecuația canonică a parabolei cu elementele ei și orientările parabolei — a doua rezolvă confuzia dintre cele patru poziții posibile ale curbei;
• intersecția conicei cu o dreaptă, condițiile de tangență ale unei drepte și tangenta prin dedublare — grupul de aplicație, folosit de la lecția a treisprezecea încolo.

Termenii capitolului se explică în două rânduri în glosarul sitului. Curbele: conica ca noțiune generală, apoi cercul, elipsa, hiperbola și parabola privită ca și conică. Noțiunile derivate: hiperbola echilateră, asimptotele hiperbolei și tangenta la o conică.

Exerciții rezolvate

Pagina cu 12 exerciții rezolvate dă, la fiecare cerință, variante de răspuns, rezolvarea explicată și lecția din care provine. Sunt acoperite recunoașterea curbei din ecuație, centrul și raza unui cerc, elementele elipsei și ale hiperbolei, asimptotele și poziția unei drepte. Determinările lungi, în care conica se află din trei condiții, cer prea multe etape pentru o grilă și se lucrează pe teste.

Exerciții cu verificare

Testul ghidat despre cercul în planul cartezian te lasă să scrii pasul și îți dă indiciul următor doar unde greșești. La conice ghidajul se declanșează la trecerea dintre cele două forme ale ecuației cercului — acolo unde se pierde semnul coordonatelor centrului — și la formarea pătratelor, pasul în care raza iese greșită dacă termenul liber a fost mutat pe jumătate.

Teste cu barem

Capitolul are cinci teste, fiecare cu 90 de puncte pe cerințe și cu cele 10 din oficiu. Baremul și rezolvările sunt deschise sub cerințe.

• Test: cercul în planul cartezian: 11 cerințe, 50 de minute, de la cele două ecuații până la tangente dintr-un punct exterior.
• Test: elipsa: 11 cerințe, același timp, cu deducerea ecuației și cu excentricitatea.
• Test: hiperbola și parabola: tot 11 cerințe și tot o oră de curs, pe elemente, asimptote și raze focale.
• Test: conice, drepte și tangente: 11 cerințe, 50 de minute, pe poziții relative și pe dedublare.
• Test recapitulativ: conice: 11 cerințe, 90 de minute, cu toate cele patru curbe la un loc.

Metoda de verificare a capitolului

Metoda proprie capitolului este proba pe punct: după orice ecuație pe care o scrii, alege un punct despre care știi sigur că îi aparține curbei — un vârf de pe axa curbei, punctul dat în enunț, un punct calculat de tine dintr-o coordonată aleasă — și înlocuiește-i coordonatele. Dacă egalitatea nu se verifică, ecuația e greșită și nu are rost să mergi mai departe. Proba nu cere niciun rând scris în plus și prinde exact greșelile tipice ale capitolului:

1. Semnul coordonatelor centrului. În ecuația canonică a cercului apar diferențe, deci centrul se citește cu semn schimbat; proba pe un punct de pe cerc o arată imediat.
2. Semiaxele inversate. La elipsă, numitorul mai mare stă sub variabila axei mari; dacă le inversezi, vârfurile calculate nu mai verifică ecuația.
3. Confuzia dintre elipsă și hiperbolă. Semnul dintre cei doi termeni decide curba; înlocuind un punct dintre cele calculate, greșeala de semn iese la iveală.
4. Relația dintre elemente. Distanța focală se leagă de semiaxe printr-o relație diferită la elipsă față de hiperbolă; recalcularea ei din elementele găsite e forma pe care o ia proba pe punct atunci când punctul de control este chiar un focar.
5. Tangenta scrisă fără verificarea punctului. Dedublarea dă o dreaptă chiar și când punctul nu aparține conicei; înainte de a o scrie, punctul se verifică în ecuație.

Recapitulare înainte de examen

Recapitularea capitolului este sinteza de conice, verificată cu testul recapitulativ, de 90 de minute. Pentru elevii care dau proba în sesiunile 2027–2029, timpul de studiu se împarte cu capitolele care intră efectiv la examen: repartiția lor pe puncte este la ce intră la Bacalaureatul M1, iar antrenamentul complet se face pe probele oficiale, corectate cu baremul și cu lista defectelor găsite de noi în bareme. Pentru sesiunea din 2027, ce se cunoaște deja e adunat la subiectele de bacalaureat 2027, iar datele probelor sunt în calendarul examenului.

De aici încolo

Curbele studiate aici reapar imediat la aplicații ale integralei, unde trei lecții calculează arii mărginite de cercuri, elipse, parabole și hiperbole, iar alte trei, volumele obținute rotind aceleași regiuni. Asimptotele hiperbolei se leagă de noțiunea generală de la asimptote și grafice, deși aici se obțin geometric, nu prin limite. Dreapta și distanța de la un punct la o dreaptă vin din clasa a XI-a, iar reperul cartezian, distanța dintre două puncte și funcția de gradul al doilea, al cărei grafic este tot o parabolă, încă din clasa a IX-a. Ce mai urmează în anul acesta se vede pe pagina clasei a XII-a. Curbele se desenează, nu se citesc, așa că fișele de lucru tipăribile ajută aici mai mult decât oriunde; ecuațiile canonice, una lângă alta, sunt în culegerea Matepolis de formule.

Întrebări frecvente

Merită să învăț un capitol care nu apare pe subiectul de examen?

Da, dar cu bugetul de timp așezat corect. Conicele se dau la teze, la lucrarea semestrială și la concursuri, iar mai târziu în același an reapar la aplicațiile integralei, unde trei lecții calculează arii mărginite de cerc, elipsă, parabolă și hiperbolă. Practic: le înveți în timpul anului, la clasă, dar recapitularea de dinaintea probei se face pe capitolele care aduc puncte, listate la ce intră la Bacalaureatul M1.

Ce cunoștințe de geometrie analitică cer conicele de la bun început?

Reperul cartezian și distanța dintre două puncte, de clasa a IX-a, plus ecuațiile dreptei și distanța de la un punct la o dreaptă, reluate în clasa a XI-a. Mai ai nevoie de formarea pătratelor, care transformă ecuația generală în ecuație canonică, și de rezolvarea sistemelor formate dintr-o ecuație de gradul al doilea și una de gradul întâi.

Cercul se ia primul dintre cele patru curbe?

Da, deși nu e prima lecție a capitolului: întâi vine cea care explică originea comună a celor patru curbe, apoi cercul în trei lecții, elipsa în două, hiperbola în trei, parabola în două, iar la final șase lecții de aplicație și sinteza. Ordinea e importantă între cerc și restul: pe cerc se învață metoda de lucru — citirea elementelor din ecuație și drumul invers —, care se repetă apoi la fiecare curbă.

De ce apare parabola de două ori în liceu, la clase diferite?

Fiindcă cele două capitole pun întrebări diferite despre aceeași curbă, iar capitolul de față o studiază ca pe una dintre patru, nu ca pe graficul unei funcții. În clasa a IX-a interesau vârful, monotonia și semnul, adică ce face funcția. Aici interesează focarul, directoarea și tangenta, adică unde stau punctele curbei unele față de altele. Curba e aceeași; se schimbă ce se cere despre ea.

Cele cinci teste de conice se dau în 50 sau în 90 de minute?

Patru dintre ele durează o oră de curs, adică 50 de minute, iar testul recapitulativ ține o oră și jumătate. Toate cinci au câte 11 cerințe, iar nota vine dintr-un total de 100 de puncte, oficiul socotit. Împărțirea e mereu în trei părți, iar cerința de la coadă e redactată ca pe un subiect de examen.

De ce se învață elipsa și hiperbola una după alta?

Fiindcă ecuațiile lor canonice se deosebesc printr-un singur semn, iar aproape toate elementele se calculează cu formule care diferă tot printr-un semn. Învățate separat, la distanță de câteva săptămâni, cele două se amestecă; învățate pereche, deosebirea devine ea însăși metoda de reținere.

Ce se pierde dacă sar peste cele trei lecții de cerc?

Metoda întregului capitol. Pe cerc se învață drumul în ambele sensuri — din ecuație se citesc centrul și raza, din centru și rază se rescrie ecuația —, iar la elipsă, hiperbolă și parabolă se repetă exact același drum, cu alte elemente. Cine începe direct de la elipsă învață pe de rost trei liste de formule în loc de o singură metodă aplicată de patru ori.