Test inițial la matematică — clasa a XI-a (clasa 11)

Evaluarea inițială de la începutul anului școlar 2026–2027 verifică materia din clasa a X-a — exact ce trebuie să stăpânească un copil care intră în clasa a XI-a, adică în a 11-a. Testul de mai jos are 15 exerciții grilă alese din cele patru domenii ale băncii noastre de exerciții, în ordinea în care se învață. Timp de lucru recomandat: 30–40 de minute, fără calculator.

Ești la științe ale naturii (M2)? Testul ți se potrivește: în clasa a X-a, mate-info și științele naturii au avut aceeași programă, de 4 ore pe săptămână (OMEC nr. 4598/2004, cu planul-cadru OMECI nr. 3410/2009). Pentru anul acesta, continuă cu traseul M2 al clasei a XI-a sau verifică-te și cu evaluarea sumativă M2 de clasa a X-a →

Îl poți folosi acasă, ca părinte, sau la clasă: răspunsurile stau ascunse sub „Vezi răspunsul", iar la fiecare exercițiu greșit ai un link direct către mini-lecția care repară exact acea lacună. Evaluarea inițială are rol de diagnoză — de regulă nota ei nu se trece în catalog, ci arată de unde se pornește recuperarea.

Numele elevului: …………………………  ·  Clasa: ……………  ·  Data: ……………
Timp de lucru: 30–40 de minute  ·  15 exerciții  ·  Fără calculator  ·  Se încercuiește o singură literă

Pentru profesori: competența din programa clasei a X-a e la fiecare exercițiu, sub „Vezi răspunsul”, iar după barem găsești matricea de specificații și un model de raport de analiză.

Testul (15 exerciții)

1. Valoarea lui $8^{\frac{2}{3}}$ este:

   • a) $2$
   • b) $16$
   • c) $\frac{16}{3}$
   • d) $4$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $4$

   $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$: numitorul exponentului dă ordinul radicalului, iar numărătorul dă puterea. Varianta $2$ este doar $\sqrt[3]{8}$, fără ridicarea la pătrat, iar $\frac{16}{3}$ apare când se înmulțește baza cu exponentul.

   Recapitulează: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică →

   Competența evaluată: competența 2 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Determinarea echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale. Domeniul cognitiv: aplicare — doi pași: treci de la puterea cu exponent rațional la radical, rădăcina cubică, apoi pătratul.

2. Pentru $a>0$, produsul $a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}$ este egal cu:

   • a) $a^{1/6}$
   • b) $a^{1/5}$
   • c) $a^{2/5}$
   • d) $a^{5/6}$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $a^{5/6}$

   La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: $a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}=a^{\frac{5}{6}}$. Varianta $a^{1/6}$ apare când se înmulțesc exponenții, iar $a^{2/5}$ când se adună separat numărătorii și numitorii.

   Recapitulează: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică →

   Competența evaluată: competența 3 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații. Domeniul cognitiv: cunoaștere — aplici o singură regulă: la produsul puterilor cu aceeași bază se adună exponenții.

3. Între ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$ are loc relația:

   • a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$
   • b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$
   • c) depinde de aproximarea aleasă
   • d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$

   Baza $\frac{1}{2}$ este între $0$ și $1$, deci funcția $x\mapsto {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ este descrescătoare: exponentul mai mare dă valoarea mai mică. Cum $\sqrt{2}\approx 1,414<1,5$, rezultă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$. Varianta a) este capcana celor care compară doar exponenții, ca la o bază mai mare decât $1$.

   Recapitulează: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică →

   Competența evaluată: competența 2 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Determinarea echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale. Domeniul cognitiv: aplicare — compari exponenții, apoi aplici monotonia funcției exponențiale cu baza subunitară.

4. Valoarea numărului ${\left(3^{\sqrt{5}}\right)}^{\sqrt{5}}$ este:

   • a) $15$
   • b) $81$
   • c) $243$
   • d) $3^{2\sqrt{5}}$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $243$

   Puterea unei puteri se calculează înmulțind exponenții: ${\left(3^{\sqrt{5}}\right)}^{\sqrt{5}}=3^{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=3^5=243$. Varianta $3^{2\sqrt{5}}$ apare când exponenții se adună în loc să se înmulțească, iar $15$ când se înmulțește baza cu exponentul.

   Recapitulează: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică →

   Competența evaluată: competența 3 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații. Domeniul cognitiv: cunoaștere — aplici regula puterii unei puteri, într-un singur pas.

5. Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x^3}$ este:

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $[0,+\infty )$
   • c) $(0,+\infty )$
   • d) ${\mathbb{R}}^{\ast }$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $[0,+\infty )$

   Radicalul de ordin par se definește doar pentru numere mai mari sau egale cu $0$, deci punem condiția $x^3\ge 0$. Cum $x^3$ are semnul lui $x$, condiția înseamnă $x\ge 0$, iar domeniul maxim este $[0,+\infty )$. Intervalul deschis $(0,+\infty )$ ar lăsa pe dinafară $x=0$, unde $\sqrt{0^3}=0$ există; $\mathbb{R}$ și ${\mathbb{R}}^{\ast }$ cuprind și numere negative, pentru care $x^3<0$. Pentru $x\ge 0$ funcția se scrie și ca putere cu exponent real: $\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}$.

   Recapitulează: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică →

   Competența evaluată: competența 3 de la „Funcții și ecuații” din programa clasei a X-a — Utilizarea de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și rezolvarea de ecuații. Domeniul cognitiv: aplicare — doi pași: scrii condiția x³ ≥ 0 pentru radicalul de ordin par și o rezolvi.

6. Câte numere din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$ sunt divizibile cu $3$ sau cu $5$?

   • a) $9$
   • b) $10$
   • c) $11$
   • d) $6$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $9$

   Multiplii lui $3$ până la $20$ sunt $3,6,9,12,15,18$ (șase), iar multiplii lui $5$ sunt $5,10,15,20$ (patru). Numărul $15$ apare în ambele liste, deci îl numărăm o singură dată: $6+4-1=9$. Varianta $10$ apare când $15$ este numărat de două ori.

   Recapitulează: Metode de numărare →

   Competența evaluată: competența 4 de la „Metode de numărare” din programa clasei a X-a — Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare. Domeniul cognitiv: aplicare — scrii cele două mulțimi de multipli, marchezi elementul comun și îl numeri o singură dată.

7. Conjugatul numărului $z=-4+7i$ este:

   • a) $-4-7i$
   • b) $4-7i$
   • c) $4+7i$
   • d) $-7+4i$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-4-7i$

   Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\overline{z}=a-bi$: partea reală rămâne aceeași, iar partea imaginară își schimbă semnul. Pentru $z=-4+7i$ obținem $\overline{z}=-4-7i$. Varianta $4-7i$ este opusul lui $z$, adică $-z$, nu conjugatul.

   Recapitulează: Numere complexe →

   Competența evaluată: competența 1 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Identificarea caracteristicilor tipuri de numere utilizate în algebră și formei de scriere a unui număr real sau complex în contexte specifice. Domeniul cognitiv: cunoaștere — recunoști conjugatul după definiție: partea imaginară își schimbă semnul. Formularea competenței („caracteristicilor tipuri de numere”) e cea din programă.

8. În mulțimea numerelor reale, ecuația $x^2+1=0$ are:

   • a) nicio soluție
   • b) o soluție
   • c) două soluții
   • d) o infinitate de soluții

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) nicio soluție

   O soluție reală ar trebui să verifice $x^2=-1$. Dar pătratul oricărui număr real este cel puțin $0$, deci $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, iar ecuația nu are soluții reale. În mulțimea numerelor complexe, soluțiile ei sunt $i$ și $-i$.

   Recapitulează: Polinoame →

   Competența evaluată: competența 3 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații. Domeniul cognitiv: cunoaștere — recunoști că x² + 1 ≥ 1 > 0 pentru orice x real.

9. În triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90^{\circ }$, $AB=6$ și $AC=8$. Cât este $\sin B$?

   • a) $\frac{4}{5}$
   • b) $\frac{3}{5}$
   • c) $\frac{4}{3}$
   • d) $\frac{3}{4}$

   Răspuns:

   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{4}{5}$

   Ipotenuza este $BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Sinusul unghiului $B$ este cateta opusă lui $B$ supra ipotenuză: $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. Varianta $\frac{3}{5}$ este $\cos B$ (cu cateta alăturată $AB$), iar $\frac{4}{3}$ este $\mathrm{tg}B$.

   Recapitulează: Aplicații ale trigonometriei în geometrie →

   Competența evaluată: competența 2 de la „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană” din programa clasei a IX-a (OMECI nr. 5099/2009, 4 ore, p. 15) — Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii. Domeniul cognitiv: raționament — lanț de doi pași nespuși în enunț: ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi raportul catetă opusă supra ipotenuză. Recapitulare din clasa a IX-a: trigonometria în triunghi e materia clasei a IX-a (programa din 2009, p. 15), de unde e luată și competența; programa clasei a X-a nu o reia în conținuturi, iar geometria ei e analitică.

10. Triunghiul cu laturile $4$, $6$ și $9$ este:

    • a) ascuțitunghic
    • b) dreptunghic
    • c) obtuzunghic
    • d) inexistent

    Răspuns:

    Vezi răspunsul

    Răspuns corect: c) obtuzunghic

    Întâi verificăm că triunghiul există: $4+6=10>9$. Apoi comparăm pătratul laturii celei mai mari cu suma pătratelor celorlalte două: $9^2=81$, iar $4^2+6^2=16+36=52$. Cum $81>52$, unghiul opus laturii de lungime $9$ are cosinusul negativ (teorema cosinusului), deci este obtuz, iar triunghiul este obtuzunghic.

    Recapitulează: Aplicații ale trigonometriei în geometrie →

    Competența evaluată: competența 3 de la „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană” din programa clasei a IX-a (OMECI nr. 5099/2009, 4 ore, p. 15) — Prelucrarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia. Domeniul cognitiv: raționament — verifici existența, compari pătratul laturii celei mai mari cu suma pătratelor celorlalte și justifici concluzia prin teorema cosinusului. Recapitulare din clasa a IX-a: trigonometria în triunghi e materia clasei a IX-a (programa din 2009, p. 15), de unde e luată și competența; programa clasei a X-a nu o reia în conținuturi, iar geometria ei e analitică.

11. Aria unui triunghi cu laturile $8$ și $5$ și unghiul dintre ele de $150^{\circ }$ este:

    • a) $10$
    • b) $20$
    • c) $5$
    • d) $10\sqrt{3}$

    Răspuns:

    Vezi răspunsul

    Răspuns corect: a) $10$

    Aria se calculează cu formula $\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }$. Cum $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, aria este $\frac{1}{2}\cdot 40\cdot \frac{1}{2}=10$. Varianta $20$ apare când se uită factorul $\frac{1}{2}$ din formulă, iar $10\sqrt{3}$ când se folosește $\sin 60^{\circ }$ în loc de $\sin 150^{\circ }$.

    Recapitulează: Aplicații ale trigonometriei în geometrie →

    Competența evaluată: competența 2 de la „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană” din programa clasei a IX-a (OMECI nr. 5099/2009, 4 ore, p. 15) — Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii. Domeniul cognitiv: aplicare — aplici formula ariei cu sinusul și reducerea sin 150° = sin 30°. Recapitulare din clasa a IX-a: trigonometria în triunghi e materia clasei a IX-a (programa din 2009, p. 15), de unde e luată și competența; programa clasei a X-a nu o reia în conținuturi, iar geometria ei e analitică.

12. Distanța dintre punctele de afixe $z_1=1+2i$ și $z_2=4+6i$ este:

    • a) $5$
    • b) $7$
    • c) $25$
    • d) $3$

    Răspuns:

    Vezi răspunsul

    Răspuns corect: a) $5$

    Distanța dintre punctele de afixe $z_1$ și $z_2$ este modulul diferenței: $|z_2-z_1|=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Varianta $25$ apare când se uită radicalul, iar $7$ când se adună direct $3+4$.

    Recapitulează: Numere complexe →

    Competența evaluată: competența 4 de la „Mulțimi de numere” din programa clasei a X-a — Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex funcție de contexte în vederea optimizării calculelor. Domeniul cognitiv: aplicare — alegi forma potrivită: distanța e modulul diferenței afixelor, apoi calculezi modulul.

13. Un meniu se alcătuiește dintr-un fel principal (din $3$) și un desert (din $4$). Câte meniuri diferite există?

    • a) $7$
    • b) $12$
    • c) $24$
    • d) $34$

    Răspuns:

    Vezi răspunsul

    Răspuns corect: b) $12$

    Pentru fiecare dintre cele $3$ feluri principale se poate alege oricare dintre cele $4$ deserturi, deci arborele are $3$ ramuri, fiecare cu câte $4$ ramificații: $3\cdot 4=12$ meniuri (regula produsului). Varianta $7$ adună posibilitățile, ceea ce ar fi corect doar dacă am alege ori un fel principal, ori un desert, nu pe amândouă.

    Recapitulează: Metode de numărare →

    Competența evaluată: competența 2 de la „Metode de numărare” din programa clasei a X-a — Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situații –problemă date. Domeniul cognitiv: cunoaștere — recunoști regula produsului și faci o singură înmulțire.

14. Modul setului $3,5,5,6,7,7,7,8$ este:

    • a) $3$
    • b) $7$
    • c) $5$
    • d) $8$

    Răspuns:

    Vezi răspunsul

    Răspuns corect: b) $7$

    Modul este valoarea care apare de cele mai multe ori. În set, $7$ apare de trei ori, $5$ de două ori, iar $3$, $6$ și $8$ câte o dată, deci modul este $7$. Varianta $5$ se repetă și ea, dar doar de două ori.

    Recapitulează: Statistică matematică →

    Competența evaluată: competența 1 de la „Matematici financiare” din programa clasei a X-a — Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete. Domeniul cognitiv: cunoaștere — recunoști valoarea care apare de cele mai multe ori.

15. Dacă $P(A)=0,3$, atunci $P(\overline{A})$ este:

    • a) $0,7$
    • b) $0,3$
    • c) $1,3$
    • d) $3,33$

    Răspuns:

    Vezi răspunsul

    Răspuns corect: a) $0,7$

    Evenimentul contrar $\overline{A}$ se produce exact atunci când $A$ nu se produce, iar $P(A)+P(\overline{A})=1$. Deci $P(\overline{A})=1-0,3=0,7$. Variantele $1,3$ și $3,33$ sunt mai mari decât $1$, deci nu pot fi probabilități.

    Recapitulează: Probabilități →

    Competența evaluată: competența 3 de la „Matematici financiare” din programa clasei a X-a — Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz. Domeniul cognitiv: cunoaștere — aplici într-un singur pas P(A) + P(Ā) = 1.

Vrei varianta interactivă? În aplicație, testul de plasare îți dă nota pe loc și îți construiește automat traseul de recuperare.

Întrebări frecvente