Limite de funcții și de șiruri: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Limite de funcții și de șiruri, în 2010–2026: 33 de cerințe din 32 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul al III-lea, unde o problemă are trei subpuncte legate între ele. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Limite de funcții și de șiruri» la Bac M1

33 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (2,0 %), în 32 de probe din 91.
A apărut în 16 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade numai la Subiectul al III-lea (0 cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 33 la al III-lea).
Aduce 165 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 2,30 din 3 — stă spre subpunctele finale, cele care despart notele mari de restul.

Din cele 33 de cerințe, 22 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește limite de funcții și de șiruri ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Limite de funcții și de șiruri», an cu an

2026 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 4$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to 2 lim (f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = e$ .

2025 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $x \to + \infty lim (\frac{x ^{2} - 5 x}{f ( x )})^{x} = 1$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{ln x} = 3$ .

2024 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{1 - e ^{x}} = 4$ .

2023 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to + \infty lim \frac{f ( 2 x )}{f ( x )} = + \infty$ .

2022 — 2 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $x \to + \infty lim (\frac{f ( x )}{x ^{2} x})^{\frac{x}{5}} = \frac{1}{e}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to + \infty lim (\frac{f ( x ) - e ^{- x}}{f ( x ) + e ^{- x}})^{f (x) \cdot e^{x}} = e^{- 2}$ .

2021 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to 3 lim \frac{sin ( x - 3 )}{f ( x ) - 3} = \frac{1}{30}$ .

2020 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to 0 lim \frac{ln ( f ( x ) )}{x}$ .

2018 — 2 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x}$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $x \to 1 lim \frac{f ( x ) - 1}{x - 1} = \frac{7}{2}$ .

2017 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to - \infty lim f (x)$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to + \infty lim (f (x))^{2 x} = \frac{1}{e ^{2}}$ .

2016 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $n \to + \infty lim (f (1) + f (2) + \dots + f (n))^{n}$ .

2015 — 3 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim (f (x))^{x}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim f (- x)$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați $x \to 1 lim \frac{x - f ( x ) - ln 2}{x - 1}$ .

2014 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim (\frac{f ( x )}{x})^{x + 3}$ .

2013 — 4 cerințe

sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați $x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x}$ .
Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim (\frac{x + 1}{x - 1})^{f (x)}$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x \to 0 lim \frac{2 f ( x ) - g ( x )}{2 x ^{3}} = \frac{1}{6}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Fie $x_{n}$ unica soluție din intervalul $(0, + \infty)$ a ecuației $f (x) = n$ , unde $n$ este număr natural, $n \geq 2$ …

2012 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $x \to 0 lim \frac{f ( x ) - 1}{x}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{f ( x )}$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $x \to + \infty lim \frac{x}{f ( x )}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{f ( - x )}$ .

2011 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim x f (x)$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Calculați $n \to + \infty lim (\frac{f ( n + 1 ) - 1}{f ( n ) - 1})^{n}$ .

2010 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Calculați $x \to + \infty lim \frac{ln f ( x )}{ln x}$ .

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2018.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Limita unei funcții într-un punct: lectură grafică și definiția cu șiruri — clasa a XI-a
Limita unei funcții la plus infinit și la minus infinit — clasa a XI-a
Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit — clasa a XI-a
Nedeterminările zero supra zero și infinit supra infinit la funcții raționale — clasa a XI-a
Șiruri cu limită infinită. Operații — clasa a XI-a
Limite laterale — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Limite de funcții și de șiruri», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Limite, derivate și studiul funcției mai are 3 teme cu pagină proprie:

Derivate și reguli de derivare — 159 de cerințe
Asimptote și studiul funcției — 52 de cerințe
Monotonie, puncte de extrem și convexitate — 32 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu limite de funcții și de șiruri s-au dat la Bac M1?

33 de cerințe în 2010–2026, din 32 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 16, între 2010 și 2026, dintre care 7 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Cade la problemele lungi de la Subiectul al III-lea?

Da: la Subiectul al III-lea cad 33 din cele 33 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 165 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,2 puncte din cele 90.

De ce se pierd puncte tocmai aici?

Fiindcă tema stă în subpunctele de final, cele care despart notele mari de restul. Dificultatea medie iese 2,30 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Limita unei funcții într-un punct: lectură grafică și definiția cu șiruri, lecția care o predă de la zero, apoi Test: operații cu limite și cazuri de nedeterminare, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu limite de funcții și de șiruri?

Mai ales funcția de gradul al II-lea, ecuații și inecuații (16 cerințe), funcția de gradul I (1 cerință). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.