Combinatorică: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Combinatorică, în 2010–2026: 35 de cerințe din 35 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul I, adică în cerințele scurte de la început. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a X-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Combinatorică» la Bac M1

35 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (2,1 %), în 35 de probe din 91.
A apărut în 16 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade numai la Subiectul I (35 de cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 175 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 1,00 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 35 de cerințe, 25 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește combinatorică ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Combinatorică», an cu an

2026 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = {1, 2, 4, 6, 8}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 5, 7}$ . Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {2, 4, 5, 6}$ . Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {1, 3, 5, 7, 8}$ . Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor…

2025 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {3, 4, 5, 7, 9}$ . Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte…

2024 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea $A = {1, 2, 4, 6, 8, 9}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii…

2023 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii $A$ , care au cel mult…

2021 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $16$ submulțimi. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$ , știind că mulțimea $A$ are exact $15$ submulțimi cu două elemente. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.

2020 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$ , care îl… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul natural nenul $n$ , știind că mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, n}$ are exact $10$ submulțimi cu două… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ .

2019 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin $8$ elemente ale unei mulțimi cu exact $10$ elemente. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5}$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$ , știind că mulțimea $A$ are exact $16$ submulțimi cu cel mult două…

2018 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulțimii ${0, 2, 4, 6, 8}$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul de submulțimi cu cel puțin trei elemente ale mulțimii $A = {0, 1, 2, \dots, 9}$ .

2017 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.

2016 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele $5$ , $7$ , $8$ și $9$ .

2015 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A = {1, 2, 3, 4}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele $2$ , $3$ și $4$ .

2014 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele $0$ , $1$ , $2$ și $3$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele $1$ , $3$ , $5$ și $7$ .

2013 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați câte numere naturale impare $\overline{ab}$ se pot forma, știind că $a, b \in {2, 3, 4, 5}$ și $a \neq = b$ .

2012 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați rangul termenului care conține $x^{14}$ în dezvoltarea binomului… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $A = {1, 2, \dots, 10}$ . Determinați numărul de submulțimi cu $3$ elemente ale mulțimii $A$ …

2011 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării $(1 + 2)^{10}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați $n \in N$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} + A_{n}^{2} = 18$ .

2010 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul termenilor raționali din dezvoltarea $(1 + 42)^{41}$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Câte elemente din mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, 100}$ sunt divizibile cu $4$ sau cu $5$ ?

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2021 · 2020 · 2019 · 2018.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Triunghiul lui Pascal — clasa a X-a
Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom — clasa a X-a
Permutări: definiție și formulă — clasa a X-a
Probleme de permutări cu restricții — clasa a X-a
Aranjamente: definiție și formulă — clasa a X-a
Probleme rezolvate cu aranjamente — clasa a X-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Combinatorică», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Combinatorică și probabilități mai are o temă cu pagină proprie:

Probabilități — 53 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu combinatorică s-au dat la Bac M1?

35 de cerințe în 2010–2026, din 35 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 16, între 2010 și 2026, dintre care 9 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Tema «Combinatorică» cade la Subiectul I sau mai încolo?

La Subiectul I cad 35 din cele 35 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt cerințe scurte, de câte 5 puncte, cu răspuns direct.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 175 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,0 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,00 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a X-a?

De la Triunghiul lui Pascal, lecția care o predă de la zero, apoi Test: combinări și triunghiul lui Pascal, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.