Polinoame: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Polinoame, în 2010–2026: 117 cerințe din 41 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Lista de mai jos e făcută ca să se vadă tiparul, nu un exemplu-două: aceleași cerințe revin, în forme apropiate. Aproape toate cad la Subiectul al II-lea, în problemele de 15 puncte cu trei subpuncte. Materia e de clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Polinoame» la Bac M1

117 cerințe din cele 1.638 ale corpusului (7,1 %), în 41 de probe din 91.
A apărut în 15 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade mai ales la Subiectul al II-lea (6 cerințe la Subiectul I, 111 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 585 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 1,95 din 3 — la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare.

Din cele 117 cerințe, 90 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește polinoame ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Polinoame», an cu an

2026 — 9 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (0) = 8$ , pentru orice număr real $a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului $f$ este egal cu $2$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $a = 4$ și $b = 0$ , arătați că $f (- 1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = b = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^{2} - X + 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului $f$ sunt numere opuse. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (- 1) = 0$ , pentru orice număr real nenul $m$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real nenul $m$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X + 2$ este egal cu…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} + x_{4}^{3} = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ și $x_{4}$ …

2025 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $m = 3$ , arătați că $f (1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $m$ pentru care $(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})^{2} - x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4} = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ …
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m = 0$ , determinați numerele reale $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - a$ este… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (1) = - 3$ , pentru orice număr real nenul $a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^{2} + 3 X - 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) (1 + x_{3}) = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt…

2024 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (1) = 4$ , pentru orice număr real $a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = 2$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care $(x_{1} - x_{1}^{2}) (x_{2} - x_{2}^{2}) (x_{3} - x_{3}^{2}) = 4$ , unde… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (2) = 0$ , pentru orice număr real $a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = 1$ , arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care $∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ + ∣ x_{3} ∣ = 8$ , unde…

2023 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $m = 2$ , arătați că $f (1) = 3$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m = 0$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul rațional $m$ pentru care polinomul $f$ are rădăcina $x_{1} = 1 + 3$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (- 1) = - 15$ , pentru orice număr real $a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^{2} - 1$ este egal cu…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, pentru orice număr real $a$ , polinomul $f$ nu are toate rădăcinile numere întregi.

2021 — 3 cerințe

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $a = \hat{1}$ și $b = \hat{2}$ , arătați că $f (\hat{0}) + f (\hat{2}) = \hat{2}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați perechile $(a, b)$ , cu $a, b \in Z_{3}$ , pentru care polinomul $f$ este divizibil cu $X + \hat{2}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, pentru orice $a, b \in Z_{3}$ , există $x, y \in Z_{3}$ , cu $x \neq = y$ , astfel încât…

2019 — 11 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $m$ , știind că $f (1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m = 3$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{3} - 12$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ … sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (- 1) - 2 f (0) + f (1) = 2$ , pentru orice numere reale $m$ și $n$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele reale $m$ și $n$ , știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X^{2} - 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că $3 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3}) - (x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}) = 1$ , pentru orice… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} + m x + 7 = 0$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $m$ , știind că $f (- 2) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m = 1$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră $a = \frac{x _{1}^{2} + m x _{1}}{x _{2} x _{3}} + \frac{x _{2}^{2} + m x _{2}}{x _{1} x _{3}} + \frac{x _{3}^{2} + m x _{3}}{x _{1} x _{2}}$ … modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - m x - 1 = 0$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real…

2018 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (1) - f (- 1) = 12$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ , știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X - 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $a$ , știind că toate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere întregi. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (1) = 0$ , pentru orice număr natural $n$ , $n \geq 3$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că, dacă $n$ este număr natural impar, $n \geq 3$ , atunci polinomul $f$ este divizibil cu $X^{2} - 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, pentru orice număr natural $n$ , $n \geq 5$ , polinomul $f$ nu are rădăcini în mulțimea…

2017 — 14 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - 3 m x + 2 = 0$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real…
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (0) = - 1$ , pentru orice număr real $m$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $(x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{3})^{2} + (x_{3} - x_{1})^{2} = - 4 (m - 1)^{2}$ , pentru orice număr…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere reale. sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $a$ , știind că $f (2) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = - 5$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^{2} + X - 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați rădăcinile polinomului $f$ , știind că $f (i) = 0$ , unde $i^{2} = - 1$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $a$ , știind că $f (1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = 2$ , calculați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^{2} + X + 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $a$ pentru care rădăcinile polinomului $f$ au modulele egale. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $a$ , știind că $f (1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $a = 6$ , determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^{2} + 5 X + 3$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că, dacă $a \in (- 4, 4)$ , atunci polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - (2 m + 3) x + m^{2} + 3 m + 2 = 0$ . Arătați că…

2016 — 6 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $m$ , știind că $f (1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Demonstrați că $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4}) = 0$ …
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m = 3$ , descompuneți polinomul $f$ în factori ireductibili în $R [X]$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (0) = a$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 2016 - 4 a$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

2015 — 13 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (0) = m$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m = 1$ , arătați că $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 5 x_{1} x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul natural prim $m$ , știind că polinomul $f$ are o rădăcină întreagă. sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (0) = 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1} = x_{2} + x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $m = 8$ , arătați că polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (0) = m$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Pentru $m = - 1$ , demonstrați că…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $3 (x_{1} + x_{2}) - 4 x_{1} x_{2} = 3$ , știind că $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt soluțiile ecuației $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $m = 2$ , arătați că $f (1) = 0$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $m$ , știind că polinomul $f$ este divizibil cu $X + 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, pentru orice număr real strict pozitiv $m$ , polinomul $f$ are două rădăcini de module egale.

2014 — 15 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $f (2) = 2 (a - 3)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ știind că polinomul $f$ este divizibil prin $X^{2} - X + 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a = 3$ , rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $f (2^{x}) = 0$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $f (1)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = - 2$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numărul real $m$ știind că $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 8$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $f (0)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $a$ știind că $1 + i$ este rădăcină a polinomului $f$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Pentru $a = 3$ , arătați că $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = - 31$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $f (0)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X^{2} - 4$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că $(x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{3})^{2} + (x_{3} - x_{1})^{2} = 20$ știind că $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ … modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $f (- 1)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $m$ știind că $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = - 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ sunt rădăcinile complexe…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $f$ sunt reale.

2013 — 9 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Pentru $m = 4$ , arătați că $f (4) = 8$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numărul real $m$ pentru care rădăcinile polinomului $f$ verifică relația $x_{1} + x_{2} = x_{3}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Dacă $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 7 (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ , arătați că $f$ se divide cu $X - 3$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $f (2) - f (- 2)$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați restul împărțirii lui $f$ la $X + 2$ , știind că restul împărțirii polinomului $f$ la $X - 2$ este egal cu 9.
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați numerele reale $m$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = 3$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ sunt rădăcinile… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați $m$ astfel încât restul împărțirii polinomului $f (X)$ la $X - 1$ să fie egal cu 8.
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că numărul $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ este întreg, pentru orice $m \in R$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — În cazul $m = 2$ determinați patru numere întregi $a, b, c, d$ , cu $a > 0$ , astfel încât polinomul…

2012 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $a^{5} = a$ , pentru orice $a \in Z_{5}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că polinomul $f$ este reductibil peste $Z_{5}$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că polinomul $f$ nu are rădăcini în $Z_{5}$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Se notează cu $x_{1}$ , $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - 3 x + a = 0$ , unde $a$ este un număr real. Determinați $a$ pentru…

2011 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați restul împărțirii polinomului $f$ la $X - i$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că toți coeficienții polinomului $f$ sunt numere reale.
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Demonstrați că toate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere reale. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că polinomul $f$ are rădăcina $- 1$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că, dacă $p, q$ sunt numere complexe și polinomul $g = X^{2} + pX + q \in C [X]$ are două rădăcini…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați $α \in C$ pentru care polinomul $f$ are două rădăcini distincte, complex conjugate.

2010 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al II-lea, cerința 2 a) · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați valorile reale $m$ și $n$ pentru care $x_{1} = 2 + i$ .
Subiectul al II-lea, cerința 2 b) · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați valorile reale $m$ și $n$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $(X - 1)^{2}$ este egal…
Subiectul al II-lea, cerința 2 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Arătați că, dacă toate rădăcinile polinomului $f$ sunt reale și $m > 0$ , $n > 0$ , atunci $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ sunt strict…

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2021 · 2019 · 2018 · 2017.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Împărțirea polinoamelor peste un corp; teorema restului și teorema lui Bézout — clasa a XII-a
Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest — clasa a X-a
Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi — clasa a XII-a
Relațiile lui Viète pentru polinoame de grad n — clasa a X-a
Divizibilitatea polinoamelor: cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid — clasa a XII-a
Divizibilitatea polinoamelor — clasa a X-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Polinoame», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Legi de compoziție, grupuri, inele, polinoame mai are o temă cu pagină proprie:

Legi de compoziție — 149 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu polinoame s-au dat la Bac M1?

117 cerințe în 2010–2026, din 41 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 15, între 2010 și 2026, dintre care 24 de cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

La ce subiect cade tema «Polinoame»?

La Subiectul al II-lea cad 111 din cele 117 cerințe pe care le are tema aici. Sunt subpuncte ale unei probleme de 15 puncte, deci se leagă între ele: dacă pici la a), b) devine mai greu.

Cât cântărește tema în nota finală?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 585 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 14,3 puncte din cele 90.

Cât de grea e, față de restul probei?

Tema stă la mijlocul probei: nu se rezolvă din prima privire, dar nici nu cere idei rare. Dificultatea medie iese 1,95 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă nu știu deloc tema?

De la Împărțirea polinoamelor peste un corp; teorema restului și teorema lui Bézout, lecția care o predă de la zero, apoi Test: împărțirea polinoamelor și schema lui Horner, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu polinoame?

Mai ales numere complexe (17 cerințe), ecuații exponențiale (1 cerință). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.