Numere reale, radicali, procente, mulțimi: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2025

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Numere reale, radicali, procente, mulțimi, în 2010–2025: 28 de cerințe din 26 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Sunt destul de puține cât să le citești pe toate dintr-o dată, înainte de examen. În subiectele de după 2025 nu mai apare. Aproape toate cad la Subiectul I, adică în cerințele scurte de la început. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a IX-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Numere reale, radicali, procente, mulțimi» la Bac M1

• 28 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (1,7 %), în 26 de probe din 91.
• A apărut în 14 ani din cei 17, între 2010 și 2025.
• Cade mai ales la Subiectul I (27 de cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 1 la al III-lea).
• Aduce 140 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 1,07 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 28 de cerințe, 21 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește numere reale, radicali, procente, mulțimi ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Numere reale, radicali, procente, mulțimi», an cu an

2025 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $32$ și $BC=AB\sqrt{2}$. Arătați că $AC=8$.

2024 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=9$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Arătați că $AB=3\sqrt{3}$.

2022 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=2$.

2021 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați media aritmetică a numerelor reale $a=2021-\sqrt{2}$ și $b=2021+\sqrt{2}$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al III-lea, cerința 1 c) · 5 p · dificultate 3/3 — Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are soluție.

2020 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $a=3+2\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ este natural.

2019 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că suma elementelor mulțimii $A=\{n\in \mathbb{N}\mid n-1\le 4\}$ este egală cu $15$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați elementele mulțimii $M=\left\{x\in \mathbb{Z}|\frac{3}{x+1}\in \mathbb{N}\right\}$.

2018 — 5 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $n=|1-\sqrt{2}|+|2-\sqrt{2}|$ este natural.
• Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=11-x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x+2{)}^3=(2-x{)}^3$. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați partea întreagă a numărului real $a=\sqrt[3]{125}+\sqrt{5}$.
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x+1}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x+5}$.

2017 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați suma numerelor întregi din intervalul $(-5,5)$.

2016 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{4x-6}=4^{3x-4}$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că ${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2+{\left(\sqrt{2}+3\right)}^2=22$. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-3}=27$.

2015 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $8^{4-x}=2^{2x+2}$. sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(\sqrt{5}+1{)}^2+(\sqrt{5}-1{)}^2=12$.

2013 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — După o scumpire cu $10\%$ prețul unui produs este 2200 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire. sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $n=(\sqrt{3}-1{)}^2+2\sqrt{3}$ este natural. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $n=(\sqrt{5}-1{)}^2+2\sqrt{5}$ este natural.

2012 — 2 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $m$ știind că mulțimile $A=\{2\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2+mx+4=0\}$ sunt… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid |x+1|\le 24\}$.

2011 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\left(\sqrt{2},\sqrt{5}\right)\cap \mathbb{Z}=\{2\}$.

2010 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Care dintre numerele $2\sqrt[3]{6}$ și $3\sqrt[3]{3}$ este mai mare? sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul elementelor mulțimii $A=\left\{1,3^3,3^6,3^9,\dots ,3^{2010}\right\}$. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră mulțimea $M=\{0,1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul tripletelor $(a,b,c)$ cu proprietatea că…

Toate subiectele unui an, la un loc: 2025 · 2024 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019 · 2018 · 2017.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Radicali: proprietăți, operații și expresii conjugate — clasa a IX-a
• Ecuații și inecuații cu radicali — clasa a IX-a
• Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite — clasa a XI-a
• Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți — clasa a XI-a
• Șiruri de numere reale: moduri de definire și monotonie — clasa a XI-a
• Șirul cu termenul general (1+1/n) la puterea n și numărul e — clasa a XI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: Radicali, funcția putere și ecuații cu radicali
• Test: mulțimi mărginite, dreapta reală încheiată și vecinătăți
• Test: criteriile de existență a limitei, Weierstrass și numărul e
• Test: Funcția radical și domeniul de definiție

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Numere reale, radicali, procente, mulțimi», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme cu pagină proprie

Capitolul Numere reale, radicali, procente are o singură temă destul de mare pentru o pagină a ei — asta. Restul temelor cu pagină proprie, în ordinea rulajului:

• Derivate și reguli de derivare — 159 de cerințe
• Legi de compoziție — 149 de cerințe
• Integrala definită — 145 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu numere reale, radicali, procente, mulțimi s-au dat la Bac M1?

28 de cerințe în 2010–2025, din 26 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 14, între 2010 și 2025, dintre care 5 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Tema «Numere reale, radicali, procente, mulțimi» cade la Subiectul I sau mai încolo?

La Subiectul I cad 27 din cele 28 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt cerințe scurte, de câte 5 puncte, cu răspuns direct.

Merită învățată, pentru câte puncte aduce?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 140 de puncte în 2010–2025. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,4 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,07 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a IX-a?

De la Radicali: proprietăți, operații și expresii conjugate, lecția care o predă de la zero, apoi Test: Radicali, funcția putere și ecuații cu radicali, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.