Rezolvarea triunghiului: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Rezolvarea triunghiului, în 2010–2026: 30 de cerințe din 30 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul I, adică în cerințele scurte de la început. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a X-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Rezolvarea triunghiului» la Bac M1

30 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (1,8 %), în 30 de probe din 91.
A apărut în 16 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade numai la Subiectul I (30 de cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 150 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 1,00 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 30 de cerințe, 23 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește rezolvarea triunghiului ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Rezolvarea triunghiului», an cu an

2026 — 1 cerință

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A C = 6$ și $B = \frac{π}{3}$ . Arătați că aria triunghiului…

2025 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 4$ și raza cercului circumscris egală cu $4$ . Arătați că… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $A B = 6$ , $B C = 10$ și $cos B = \frac{4}{5}$ . Arătați că aria triunghiului $A B C$ este…

2024 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $B C = 12$ și $A B = \frac{B C}{2}$ . Arătați că aria triunghiului… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul ascuțitunghic $A B C$ , cu $A B = 5$ , $C = \frac{π}{4}$ și înălțimea $A D = 4$ . Arătați că…

2023 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 6$ și înălțimea $A D = 3$ . Arătați că raza cercului… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $A B = 8$ , măsura unghiului $C$ de $3 0^{\circ}$ și punctul $O$ , centrul cercului…

2022 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul isoscel $A B C$ , cu $A B = 10$ și $cos A = 0$ . Arătați că aria triunghiului $A B C$ este egală cu…

2021 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 12$ , $A C = 16$ și $B C = 20$ . Arătați că $\frac{r}{R} = \frac{2}{5}$ , unde $r$ este…

2020 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 23$ , $A = \frac{π}{4}$ și $B = \frac{5 π}{12}$ . Determinați raza…

2019 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 33$ , $A C = 4$ și $A = \frac{2 π}{3}$ . Arătați că aria triunghiului… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea ipotenuzei $B C$ a triunghiului dreptunghic $A B C$ , știind că $A B = 6$ și aria triunghiului $A B C$ este… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 52$ , $m (∢ A) = 4 5^{\circ}$ și…

2018 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea razei cercului circumscris $△ A B C$ , știind că $B C = 4$ , $B = \frac{π}{3}$ și…

2017 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea laturii $B C$ a triunghiului $A B C$ , știind că $A B = 4$ , $A C = 8$ și $A = \frac{π}{3}$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi $A B C$ , în care $A B = 62$ și $C = \frac{π}{4}$ .

2016 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi $A B C$ , în care $m (∢ A) = 4 5^{\circ}$ … sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $A B = 10$ , $A C = 10$ și $B C = 12$ . Arătați că $sin B = \frac{4}{5}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $A B C$ în care $A = \frac{3 π}{4}$ și $B C = 2$ .

2015 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 5$ , $A C = 12$ și $B C = 13$ . Arătați că $sin C = \frac{5}{13}$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați lungimea laturii $B C$ a triunghiului $A B C$ în care $A B = 1$ , $B = \frac{π}{3}$ și $C = \frac{π}{6}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ , știind că $A B = 12$ și $C = \frac{π}{6}$ .

2014 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = A C = 3$ și $B C = 32$ . Determinați $cos C$ .

2013 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați sinusul unghiului $A$ al triunghiului $A B C$ în care $A B = 4$ , $B C = 5$ și $sin C = \frac{4}{5}$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ dreptunghic în $A$ , știind că $B C = 8$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați sinusul unghiului $A$ al triunghiului $A B C$ în care $A B = 6$ , $B C = 10$ și $sin C = \frac{3}{5}$ .

2012 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați măsura unghiului $C$ al triunghiului $A B C$ , știind că $B C = 2$ , $A B = 2$ și măsura unghiului $B A C$ … sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați cosinusul unghiului $A$ al triunghiului $A B C$ în care $A B = 4$ , $A C = 5$ și $B C = 7$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ , știind că $A B = A C = 5$ și $B C = 6$ .

2010 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Triunghiul $A B C$ are $A B = 6$ , $A C = 3$ și $B C = 5$ . Calculați lungimea înălțimii $[A D]$ .

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL — clasa a X-a
Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU — clasa a X-a
Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a X-a
Teorema sinusurilor și cercul circumscris — clasa a IX-a
Teorema cosinusului: enunț și primele aplicații — clasa a X-a
Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor din laturi — clasa a X-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Rezolvarea triunghiului», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Trigonometrie și rezolvarea triunghiului mai are o temă cu pagină proprie:

Trigonometrie: formule și identități — 53 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu rezolvarea triunghiului s-au dat la Bac M1?

30 de cerințe în 2010–2026, din 30 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 16, între 2010 și 2026, dintre care 6 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Tema «Rezolvarea triunghiului» cade la Subiectul I sau mai încolo?

La Subiectul I cad 30 din cele 30 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt cerințe scurte, de câte 5 puncte, cu răspuns direct.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 150 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,0 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,00 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a X-a?

De la Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL, lecția care o predă de la zero, apoi Test: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.

Ce alte teme cad împreună cu rezolvarea triunghiului?

Mai ales numere reale, radicali, procente, mulțimi (12 cerințe). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.