Vectori în plan: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Vectori în plan, în 2010–2026: 41 de cerințe din 41 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul I, adică în cerințele scurte de la început. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a XI-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Vectori în plan» la Bac M1

• 41 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (2,5 %), în 41 de probe din 91.
• A apărut în 15 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
• Cade numai la Subiectul I (41 de cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 0 la al III-lea).
• Aduce 205 puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 1,00 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 41 de cerințe, 24 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește vectori în plan ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Vectori în plan», an cu an

2026 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(a,0)$ și $C(1,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,4)$ și $B(1,3)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(3,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru…

2025 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$ și $B(6,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(7,4)$ și $C$, astfel încât…

2024 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,1)$. Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(3,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(4,6)$ și $C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului…

2023 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(4,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,3)$ și $B(-1,5)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$, iar punctele $D$ și $E$ aparțin segmentului $AB$, astfel…

2022 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ și $B(1,-1)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(1,6)$ și $C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $D$ mijlocul laturii $AC$ și punctul $M$ astfel încât…

2021 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,0)$, $N(8,3)$ și $P(6,3)$. Determinați coordonatele punctului… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AB=4$, $BC=6$ și măsura unghiului $ABC$ de $120°$. Determinați modulul… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$ și $P$ mijloacele segmentelor $BC$, $BM$, respectiv $CM$. Arătați că… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Segmentele $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ au același mijloc. Demonstrați că $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{0}$.

2020 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $D$ mijlocul laturii $AC$ și punctul $E$ mijlocul segmentului $BD$. Arătați că…

2019 — 3 cerințe

sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,6)$ și $B(6,2)$. Determinați coordonatele punctului $M$, știind… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(8,4)$, $B(0,6)$ și $C(m,5)$. Determinați numărul real $m$, știind… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $M$ mijlocul laturii $BC$ și punctul $N$ mijlocul segmentului $AM$. Demonstrați…

2018 — 2 cerințe

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Punctele $M$, $N$ și $P$ verifică relația $2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}=\vec{0}$. Calculați lungimea… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $MNP$ cu $MN=6$, $MP=8$ și $m(\sphericalangle M)=90^{\circ }$. Calculați lungimea…

2017 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $a$, pentru care vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+2\vec{j}$ și $\vec{v}=3\vec{i}-3\vec{j}$ sunt… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$ și $P$, mijloacele laturilor $AB$, $BC$, respectiv $AC$. Demonstrați…

2014 — 4 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră vectorii $\overrightarrow{AB}=3\vec{i}+2\vec{j}$ și… sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În triunghiul $ABC$ punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$ și, respectiv, $AC$. Arătați că… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=2$. Calculați lungimea vectorului… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j}$ și…

2013 — 5 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j}$ și… sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(4,1)$. Determinați coordonatele punctului $M$ știind că… sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=\vec{i}+4\vec{j}$ și… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=8$ și $BC=6$, se consideră vectorul… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră punctele $A$, $B$ și $C$ astfel încât $\overrightarrow{AB}=\vec{i}+6\vec{j}$ și…

2012 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră vectorii $\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}$ și $\vec{v}=a\vec{i}-\vec{j}$. Determinați numărul real $a$… sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ și $B(7,12)$. Determinați coordonatele punctului $M$, știind… sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=3\vec{i}+a\vec{j}$ și…

2011 — 1 cerință

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Triunghiul $ABC$ are măsura unghiului $A$ de $60^{\circ }$, $AB=4$ și $AC=5$. Calculați…

2010 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 6 · 5 p · dificultate 1/3 — Paralelogramul $ABCD$ are $AB=1$, $BC=2$ și $m(\sphericalangle BAD)=60^{\circ }$. Calculați produsul…

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Condiția de coliniaritate a trei puncte — clasa a XI-a
• Reperul cartezian: axe, origine, cadrane — clasa a IX-a
• Coordonatele unui punct din plan — clasa a IX-a
• Distanța dintre două puncte în plan — clasa a IX-a
• Coordonatele mijlocului unui segment — clasa a IX-a
• Figuri în reperul cartezian: perimetre și verificări — clasa a IX-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: dreapta prin două puncte și coliniaritatea
• Test: Coordonate, distanțe și mijloc de segment
• Test: Figuri în reperul cartezian
• Test: panta și ecuațiile dreptei

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Vectori în plan», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Vectori și geometrie analitică mai are o temă cu pagină proprie:

• Geometrie analitică: dreapta în plan — 60 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu vectori în plan s-au dat la Bac M1?

41 de cerințe în 2010–2026, din 41 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 15, între 2010 și 2026, dintre care 10 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Tema «Vectori în plan» cade la Subiectul I sau mai încolo?

La Subiectul I cad 41 din cele 41 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt cerințe scurte, de câte 5 puncte, cu răspuns direct.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 205 puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,0 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,00 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a XI-a?

De la Condiția de coliniaritate a trei puncte, lecția care o predă de la zero, apoi Test: dreapta prin două puncte și coliniaritatea, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.